新人教版2020年中考數(shù)學二輪復習專題練習下幾何問題_線段的旋轉

1、1.旋轉一線段1.在 VABC 中，ABAC , BAC （0 < <60 ），將線段BC繞點B逆時針旋轉60得到線段BD .（1）如圖1,直接寫出 ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如圖2,BCE 150 , ABE 60 ,判斷VABE的形狀并加以證明;（3）在（2）的條件下，連接 DE，若 DEC 45 ,求 的值.解析：（1） QABDABC60 又 Q ABC180290ABD 906030（2） VABE是等邊三角形E證明：連接AD、CDDBC 60 , DBBC VBCD是等邊三角形,BDC 60 , BDDC又 AB AC, ADAD, VABD 仁 VACD3

2、ADB ADC, ADB 150ABE DBC 60 , ABD EBC又 BD BC, ADB ECB 150VABD仁VEBC , AB EBvabe是等邊三角形(3)解：VBDC是等邊三角形，BCD 60DCE BCE BCD 90又 DEC 45 , EC DC BC,EBC180 BCE 180150“CEB 1522aEBC ABD 30 一, 2302.在VABC中，BA BC , BAC , m是AC的中點，p是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順 時針旋轉2得到線段PQ.（1）若60且點P與點M重合（如圖1）,線段CQ的延長線交射線 BM于點D，請補全圖形，并寫出CDB的度數(shù)

3、；（2）在圖2中，點P不與點B, M重合，線段 CQ的延長線與射線 BM交于點D ,猜想 CDB的大小（用 含的代數(shù)式表示），并加以證明；（3）對于適當大小的，當點P在線段BM上運動到某一位置（不與點B, M重合）時，能使得線段 CQ的延長線與射線BM交于點D ,且PQ QD ,請直接寫出的范圍.解析:(1)補全圖形，見圖1； CDB 30(2)猜想： CDB 90證明：如圖2 ,連結ad , PCBA BC, M 是 AC 的中點， BM ACDC.點D , P在直線BM上，PA PC , DA又.DP為公共邊，. VADPWCDPDAP DCP, ADP CDP又.PA PQ , PQ P

4、CDCP PQC, DAP PQC . PQC DQP 180 , . DAP DQP 180. 在四邊形 APQD 中， ADQ APQ 180. APQ 2 , . ADQ 180 2 1 一 “CDB ADQ 90 2（3） 45 c <60提示：由（2）知 CDB 90 ，且PQ QDQPD CDBPQC QPD CDB 2 CDB 1802 PAD PCQ點P不與點B，M重合，MAD< PAD< BAD<1802 <2 ,45 < <603.如圖1,邊長為4的正方形ABCD中，點E在AB邊上（不與點 A，B重合），點F在BC邊上（不與點B，

5、C重合）.第一次操作：將線段 EF繞點F順時針旋轉，當點 E落在正方形上時，記為點 G ;第二次操作：將線段 FG繞點G順時針旋轉，當點 F落在正方形上時，記為點 H ；依此操作下去備用圖1備用圖2(1)圖2中的vefd是經過兩次操作后得到的，其形狀為 ,求此時線段 EF的長;(2)若經過三次操作可得到四邊形EFGH .請判斷四邊形 EFGH的形狀為,此時AE與BF的數(shù)量關系是 ;以中的結論為前提， 設AE的長為x,四邊形efgh的面積為y,求y與x的函數(shù)關系式及 y的取值范圍.(3)若經過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是多少？它可能是正多邊形嗎？如果是，請直接寫出其邊長；如果

6、不是，請說明理由.解析:(1)由旋轉可得： EF FD DEVDEF為等邊三角形BF C四邊形ABCD是正方形，AD CD BC AB, A B C 90ED FD , VADEWCDFAE CF , BE BF，三角形BEF是等腰直角三角形設 BE 的長為 x ,則 DE EF J2X，AE 4 x在 RtVADE 中，de2 AD2 AE2(、2x)2 42 (4 x)2解得*4 4布，x24 4J3 (舍去)EF ,2x 4,2 4.6(2)四邊形 EFGH 的形狀為正方形，此時 AE BF .理由如下:依題意畫出圖形，如答圖 1所示：馨圖1由旋轉性質可知， EF FG GH HE四邊形

7、EFGH的形狀為正方形.Q12 90 ,23 90,1 3 .Q34 90 ,23 90,2 4 .在VAEH 與VBFE中，1 3EH EF2 4VAEHVBFE (ASAAE BF .利用中結論，易證 VAEH、VBFE、VCGF、VDHG均為全等三角形,BF CG DH AE x , AH BE CF DG 4 x .在 RtVBEF 中，EF2 BE2 BF 2y 2x2 8x 16 2(x 2)2 8當x 2時，y取得最小值8;當x 0時，y 16. y的取值范圍是8 y <16(3)經過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是8,它可能為正多邊形，邊長為 4J2 4如

8、答圖2所示，粗線部分是由線段 ef經 過7次操作所形成的正八邊形.設邊長EF FG x ,則BFCG也x，2BC BF FG2CG x x212x 4,解得：x 4J2 44.已知，四邊形 ABCD是正方形，點P在直線BC上，點G在直線AD± ( P> G不與正方形頂點重合，且 在CD的同側)，PD PG, DF PG于點H ,交直線AB于點F ,將線段PG繞點P逆時針旋轉90得 到線段PE,連結EF .(1)如圖1,當點P與點G分別在線段BC與線段AD上時.求證：DG 2PC ；求證：四邊形PEFD是菱形；(2)如圖2,當點P與點G分別在線段 BC與線段AD的延長線上時，猜想

9、四邊形 PEFD是怎樣的特殊四邊形， 并證明你的猜想.7圖1圖2解析:(1)E彳PM AD于點MPD PG, MG MD又 MD PC, DG 2PC PG FD 于 H ,DGHADF 90又 ADF AFD 90DGP AFD四邊形ABCD是正方形，PM AD于點MA PMD 90 , PM ADVPMG二VDAF , DF PGPG PE, DF PEDF PG, PE PG , DF PPE.四邊形PEFD是平行四邊形又 PE PD， YPEFD是菱形(2)四邊形pefd是菱形證明：四邊形 ABCD是正方形，DH PG于HADCDHG90CDGDHG90CDPPDG90 , GDH G

10、 90PD PG,PDGGCDPGDHCDPADF又 AD DC, FADPCD 90VPCD仁VFAD , DF PDPD PG PE, DF PE又 FD PG, PE PG, DF PPE，四邊形PEFD是平行四邊形又 DF PD ,，平行四邊形PEFD是菱形5.如圖1,在正方形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，且DE平分 ADF .(1)求證：AE CF DF ；(本小問不予評分，自行查看解析)(2)當FE平分 BFD時(如圖2),將線 段DF繞點F逆時針旋轉45 ,旋轉后的線段分別交 AD、ED于 點P、Q ,若正方形ABCD的邊長為4,求VPEQ的面積.9EF國1nEB解析

11、:(1)證明:DC將VADE繞點D順時針旋轉90 到 VCDG則 AE CG , ADECDG, AED. AB P DC , AEDEDCEDCADEEDF，CDGEDFFDGFDC CDGFDCEDFEDCFDG , DF FGCF CG FG , AE CFDF(2)過E作EG DF于G13則 VADERGDE, VBEFRGEFAE GE BE 2, de 2底ADPBC,. ADF BFD 180FE平分 BFD18090 , DEF 90EF 75，DF 5設QH xDE平分 ADF，ADF BFDEDF DFEVEDFsVADE ,CF 3, BF 1過Q作QH DF于HQ DF

12、P 45 , FH QH x又 Q ADEAE 2 1EDH , tan ADEtan EDHAD 4 2DH 2x5_ 5 5 x 2x 5, x - , DQ -V5, QF -V2333EQ DE DQ過e作EI P BF交pf于I ,則EI是梯形ABFP的中位線設 EI t,EQ1DPEQ1Q ，DQ5EIDQ5DP5t, AP45t1 , t (4 5t 1), t7 DP25T2過P作PK DE于K，則 PKPD sin ADE25272.5_1 -Svpeq-EQ PK2-1! 55 25237、426.在 RtVABC 中,ACB 90A 30,點D是AB的中點，DE BC,垂

13、足為點E,連接CD.（1）如圖1, DE與BC的數(shù)量關系是 （2）如圖2,若P是線段CB上一動點（點P不與點B、C重合），連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉60 , 得到線段DF，連接BF ,請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）若點P是線段CB延長線上一動點，按照（2）中的作法，請在圖3中補全圖形，并直接寫出 de、BF、BP 三者之間的數(shù)量關系.解析：(1)Q ACB 90, A 30B 60 ,Q點D是AB的中點,DB DC ,VDCB為等邊三角形,Q DE BCDE BC； 2故答案為de 23 BC2(或 BC 2V3DE )32 (2) BF BP 、3

14、DE3(或(BF BP) DEC E P B證明：.在 RtVABC中， ACB 90 , A 30ABC 601 . D是AB的中點， CD AB BD 2VDCB是等邊三角形，CDB PDF 60CDP BDP BDF BDP即 CDP BDF又 DP DF， VCDPVBDFCP BFDE 2 -BC BP CP, BC BP BF , BC CD 2V3DEsin60 3BP BF 2 v3DE315（3）如圖,C E B P與(2)一樣可證明VDCPVDBFBP ,BC , 2>/3DE (或近CP BF而 CP BCBF BP(BF BP) DE)BF BP7.在VABC中，

15、AC BC 4, ACB 90 , D是AC的中點，E為射線DC上任意一點，將線段DE繞點D逆時針旋轉90得到線段DF，連接FC ,過點F作FG FC ,交直線AB于點G .（1）如圖1,當點E在線段DC上時，判斷FG與FC的數(shù)量關系并加以證明；（2）如圖2,當點e在線段DC的延長線上時，其它條件不變，你在（1）中得到的結論是否成立，請說明理由;（3）當點E從DC的中點M移動到C點時，直接寫出線段 FG的中點N所經過的路徑長.解析：（1） FG FC證明:連接EF，延長DF交AB于HEDF ACB 90 , DH P BC1 _D是AC的中點，H為AB的中點，DC AC 21 DH是VABC的

16、中位線，DH -BC2AC BC, DC DHDE DF， CE FHEDF 90 , FG FCECF DFC 90 , HFG DFC 90ECF HFG VDEF和VADH都是等腰直角三角形DEF AHD 45 , CEF FHG 135VCEFWFHG , FG FC(2)成立證明：連接 EF ,設DF交AB于H同理可證 CE FH , CEF FHG 45ECF 90 FCB, HFG 90 DFC.DF P BC , . DFC FCBECF HFG , VCEFWFHGFG FC(3)線段FG的中點N所經過的路徑長為提示：延長df交AB于H，取DH中點P，連接PC、PN、則 CD

17、 2DP, CF 2FNVCDgVCFN ,DCP FCNDCF PCN. CD 2DP, CF 2FN 5- 5CP CD，CN -CF22CNCPCNCDCF,VCDFsVCPNCPN CDF 90FPN 90 DPC ,是定值，線段FG的中點N所經過的路徑是一條線段 當點E與點M重合時，F(xiàn)是DH的中點連接 MF、CG,則MF是VDCH的中位線由(1)知，VCMF WFHG11HG MF -CH BH 22當點E與點C重合時，點 G與點B重合，此時N為BH的中點點N所經過的路徑長即為圖中 NG的長AC BC 4, CD 2, DF 1，fg FC J5NG8.已知 ACD 90, AC D

18、C, MN是過點A的直線，DB MN于點B(1)如圖 1,求：bd ab >/3cb；(2)當MN繞點A旋轉到如圖(2)和圖(3)兩個位置時，猜想 BD、AB、CB滿足的關系式，并給予證明；(3)在MN在繞點A旋轉過程中，當 BCD 30 , BD J2時，則CD , CB 解析:19(1)證明：如圖1,過點C作CE CB,交MN于點EACB ACE 90 , ACB BCD 90ACE BCD四邊形ACDB內角和為360D CAB 180EAC CAB 180 , EAC D又 AC DC , VACEVDCBAE DB , CE CB VECB為等腰直角三角形BE2CB又 BE AE

19、 AB， BE BD ABBD AB，2cB.2CB(2)圖2 中，AB BD J2CB；圖3 中，BD AB證明：如圖2,過點C作CE CB,交MN于“ACB ACE 90 , ACB BCDACE BCDACD ABD 90 , EAC D又 AC DC , VACEVDCBAE DB，CE CB VECB為等腰直角三角形E90BE 2cB又 BE AB AE, BE AB BDAB BD J2CB如圖3,過點C作CE CB ,交MN于點EACBACE 90 ACB, BCD 90ACE BCD. ABD ACD 90 , EAC D又 AC DC , . VACEVDCBAE DB ,

20、CE CBVECB為等腰直角三角形BE 2cB又 BE AE AB, BE BD ABBD AB . 2CB cd 2, cb 73 i或73 i提示：過點C作CE CB ,交MN于點E，連接AD，VACD和VECB都是等腰直角三角形CAD CEB 45VACEWDCB,ACE BCD 30當C、D兩點在直線MN異側時則 EAC 15 , BAD 30BD E AE BD 72, AD 2豉，AB 76CD 2AB BD >/2CB ； 76 6 V2CBCB 3 1當C、D兩點在直線MN同側時ABC ADC 45 , . BAD BCD 30BD 萬 AE BD 短，AD 2應，AB

21、娓CD 2BD AB 72cb ,四娓 2ccbCB .3 19.在YABCD中，過點C作CE CD交AD于點E，將線段EC繞點E逆時針旋轉90得到線段EF （如 圖1）.（1）在圖1中畫圖探究：當P為射線CD上任意一點（P不與C點重合）時，連結EP,將線段EP繞點E逆時針旋轉90得到線段EG1 ,判斷直線FG1與直線CD的位置關系并加以證明；當Pc為線段DC的延長線上任意一點時，連ZER,將線段EB繞點E逆時針旋轉90得到線段EGc ,判斷直線G1G2與直線CD的位置關系，畫出圖形并直接寫出你的結論.一 一4若AD 6, tanB AE 1,在的條件下，設 CP1 x, Svrfg1y,求y

22、與x之間的函數(shù)關31 1系式，并寫出自變量 x的取值范圍.解析：（1）直線FG1與直線CD的位置關系為互相垂直.證明：如圖，設直線 FG1與直線CD的交點為H .二線段EC、EP分別繞點E逆時針旋轉90依次得到線段 EF、EG1.PEGi CEF 90 , EGi EP, EF EC .G1EF 90REF , PEC 90 PEF .G1EFPEC , VG1EFWPEC .GiFEPCE 90 , . EFH 90 , . FHC 90 .FGi CD.圖】按題目要求所畫圖形見圖1,直線G1G2與直線CD的位置關系為互相垂直.(2)四邊形ABCD是平行四邊形，B ADC .254AD 6,

23、 AE 1, tanB -.34DE 5, tan EDC tanB -.3可彳導CE 4由（1）可得四邊形FECH為正方形CH CE 4圖2如圖2,當p點在線段CH的延長線上時QVGiEFWREC （已證）FG1 CP xQ四邊形ABCD為平行四邊形B DQ AE 1, AD 6,ED 54又Q tan B -3EC 4Q 四邊形 EFHC 中 CEF 90 , EOD 90 , FDH 90 且 EF EC四邊形EFHC為正方形CH EC 4PH CP CH x 4.-SVP1 FG11 - FG1 P1H21 x(x 4)2ix1 2 2x33如圖3,當P點在線段CH上（不與C、1 2-x 2x(x 4)2x( x> 4)H兩點重合）時FG1 CP x, PH 4 x.八1 一，1 一、12八SVPiFGi2FG1 PH2x(4X)2x2x-1 2或 y -x 2x(0vxv4)CE上,10.在VABC中，AB AC, D為BC中點，CE為AB邊的高，點 M在AB邊上，點N在線段 且 DM DN .(1)如圖i,當 B 45時，線段 AM與CN的數(shù)量關系為 ;(2)如圖 2,當 B 30 時，求證：me cn 1AB；32(3)如圖3,在(2)的條件下，將射線 dm繞點d順時針旋轉30 ,交AC邊于點F ,連接MF若BM:CN 5: