概率與分布列

1、概率與分布列（深圳）17（本小題滿分13分）隨機(jī)調(diào)查某社區(qū)個(gè)人，以研究這一社區(qū)居民在時(shí)間段的休閑方式與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：休閑方式性別看電視看書(shū)合計(jì)男女合計(jì)（1）將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查名在該社區(qū)的男性，設(shè)調(diào)查的人在這一時(shí)間段以看書(shū)為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和期望；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有%的把握認(rèn)為“在時(shí)間段的休閑方式與性別有關(guān)系”？參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：解：（1）依題意，隨機(jī)變量的取值為：，且每個(gè)男性在這一時(shí)間段以看書(shū)為休閑方式的概率為 2分方法一：， ， 6分的分布列為: 8分方法二：根據(jù)題意可得， 4分， 6分 8分(2) 提出假設(shè)：休閑方式

2、與性別無(wú)關(guān)系根據(jù)樣本提供的列聯(lián)表得因?yàn)楫?dāng)成立時(shí)，的概率約為，所以我們有%的把握認(rèn)為“在時(shí)間段性別與休閑方式有關(guān)” 13分（廣州）17（本小題滿分12分）圖4甲組乙組897a357966如圖4所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個(gè)小組（每小組4人）在期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以表示已知甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分相同（1）求的值；（2）求乙組四名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差；（3）分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，記這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值為，求隨機(jī)變量的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）（溫馨提示：答題前請(qǐng)仔細(xì)閱讀卷首所給的計(jì)算公式及其說(shuō)明）（1）解：依題意，得，1分解

3、得.2分（2）解：根據(jù)已知條件，可以求得兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分都為.3分所以乙組四名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為.5分（3）解：分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有種可能的結(jié)果6分甲乙X這兩名同學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值的所有情況如下表：87899696870299936433936433958611所以的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，8，9.8分由表可得，.所以隨機(jī)變量的分布列為：012346810分9隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為11分.12分（揭陽(yáng)）17. （本小題滿分12分）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)依次為，其中為標(biāo)準(zhǔn)，為標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)越大表明產(chǎn)品的質(zhì)量越好，已知某廠執(zhí)行

4、標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品，且該廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn) 從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7該行業(yè)規(guī)定產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的為一等品，等級(jí)系數(shù)的為二等品，等級(jí)系數(shù)的為三等品（1）試分別估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）從樣本的一等品中隨機(jī)抽取2件，求所抽得2件產(chǎn)品等級(jí)系數(shù)都是8的概率17解：（1）由樣本數(shù)據(jù)知，30件產(chǎn)品中等級(jí)系數(shù)有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-3分樣本中一等品的頻率為，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品

5、率為；-4分二等品的頻率為，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的二等品率為；-5分三等品的頻率為，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的三等品的頻率為-6分 （2）樣本中一等品有6件，其中等級(jí)系數(shù)為7的有3件，等級(jí)系數(shù)為8的也有3件，-7分記等級(jí)系數(shù)為7的3件產(chǎn)品分別為、，等級(jí)系數(shù)為8的3件產(chǎn)品分別為、.則從樣本的一等品中隨機(jī)抽取2件的所有可能為： ,.共15種，-10分記從“一等品中隨機(jī)抽取2件，2件等級(jí)系數(shù)都是8”為事件A，則A包含的基本事件有 共3種，-11分故所求的概率.-12分（東莞）18（本小題滿分14分）甲，乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得分，負(fù)者得分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多分或打滿局時(shí)停止設(shè)甲在每局中

6、獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為（1）求的值；（2）設(shè)表示比賽停止時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望解 （1）當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時(shí)，第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止，故，解得或又，所以6分（2）依題意知的所有可能取值為2，4，6，所以隨機(jī)變量的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望12分（仲元）9某市有A、B兩所示范高中響應(yīng)政府號(hào)召，對(duì)該市甲、乙兩個(gè)教育落后地區(qū)開(kāi)展支教活動(dòng)經(jīng)上級(jí)研究決定：向甲地派出3名A校教師和2名B校教師，向乙地派出3名A校教師和3名B校教師由于客觀原因，需從擬派往甲、乙兩地的教師中各自任選一名互換支教地區(qū)（）求互換后兩校派往兩地區(qū)教師人數(shù)不變的

7、概率；（）求互換后A校教師派往甲地人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（）記“互換后派往兩地區(qū)的兩校的教師人數(shù)不變”為事件E，有以下兩種情況：互換的是A校的教師，記此事件為，則；互換的是B校的教師，記此事件為，則則互換后派往兩地區(qū)的兩校的教師人數(shù)不變的概率為（）的可能取值為2,3,4；故的分布列為：234P數(shù)學(xué)期望11 深圳市某校中學(xué)生籃球隊(duì)假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球（即沒(méi)有用過(guò)的球）， 3 個(gè)是舊球（即至少用過(guò)一次的球）每次訓(xùn)練，都從中任意取出2 個(gè)球，用完后放回（）設(shè)第一次訓(xùn)練時(shí)取到的新球個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）求第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率（）設(shè)“從6個(gè)球中任意取

8、出2個(gè)球，恰好取到一個(gè)新球”為事件則“第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球”就是事件而事件、互斥，所以，由條件概率公式，得，9分，10分11分所以，第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率為12分21（06安徽卷）在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對(duì)各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時(shí)，需要選用兩種不同的添加劑?，F(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn)。用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和。（）寫(xiě)出的分布列；（以列表的形式給出結(jié)論，不必寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）（）求的數(shù)學(xué)期望。（要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程或說(shuō)明道

9、理）解：（）123456789P（）26（06廣東卷）某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下：6789100現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為. (I)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率(II)求的分布列（）的數(shù)學(xué)期望解：()求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率為；() 的可能取值為7、8、9、10 分布列為78910P0.040.210.390.36() 的數(shù)學(xué)希望為.32（06遼寧卷）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，一年后利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元、1.18萬(wàn)元、1.17萬(wàn)元的概率分別為、;已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是,設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格

10、在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整,記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為,對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元, 取0、1、2時(shí), 一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.3萬(wàn)元、1.25萬(wàn)元、0.2萬(wàn)元.隨機(jī)變量、分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬(wàn)元一年后的利潤(rùn).(I) 求、的概率分布和數(shù)學(xué)期望、;(II) 當(dāng)時(shí),求的取值范圍.【解析】(I)解法1: 的概率分布為1.21.181.17PE=1.2+1.18+1.17=1.18.由題設(shè)得,則的概率分布為012P故的概率分布為1.31.250.2P所以的數(shù)學(xué)期望為E=+=.解法2: 的概率分布為1.21.181.17PE=1.2+1.18+1.17=1.18.設(shè)表示事件”第i次調(diào)整,價(jià)格下

11、降”(i=1,2),則P(=0)= ;P(=1)=;P(=2)=故的概率分布為1.31.250.2P所以的數(shù)學(xué)期望為E=+=.(II) 由,得: 因0<p<1,所以時(shí),p的取值范圍是0<p<0.3.34（06全國(guó)卷I）A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為。（）求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；（）觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求的分布

12、列和數(shù)學(xué)期望。解: (1)設(shè)Ai表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,Bi表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2, 依題意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = , P(B1)=2× × = , 所求概率為: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)= × + × + × = ()的可能值為0,1,2,3且B(3,) . P(=0)=()3= , P(=1)=C31××()2=,P(=2)=C32×()2× = , P(=3)=( )3= 0123