線性代數(shù)考試題及答案3

1、2009 2010學(xué)年第一學(xué)期期末考試線性代數(shù)試卷答卷說明：1、本試卷共6頁(yè)，五個(gè)大題，滿分 100分，120分鐘完卷。題號(hào)一一三四五總分分?jǐn)?shù)2、閉卷考試。評(píng)閱人:總分人：、單項(xiàng)選擇題。(每小題3分，共24分)-3111一 1-3111.行列式11-31111-3(A) 0(B)1(C)2(D)【】2.設(shè)A為3階方陣，數(shù)九=2,人=3,則|74 =(A) 24(B)-24 (C)6(D)-6【】3.已知A, B,為n階方陣，則下列式子一定正確的是(A) AB =BA (B) (A B)2 = A2 2AB B2(C) AB| |BA(D) (A B)(A - B)= A2 - B2【】4.設(shè)A

2、為3階方陣，|A =a#0,則A* =(A) a(B)a2(C) a3(D) a4【】5.設(shè)矩陣A與B等價(jià)，則有(A) R(A) < R(B) (B)R(A) R(B)(C) R(A) = R(B)(D)不能確定R(A)和R(B)的大小【】6.設(shè)n元齊次線性方程組 Ax = 0的系數(shù)矩陣 A的秩為r ,則Ax = 0有非零解 的充分必要條件是(A) r = n (B) r _ n (C) r ： n (D) r . n【】7.向量組a1，a2,，am(m之2)線性相關(guān)的充分必要條件是(A)a, am中至少有一個(gè)零向量(B) a1,a2, am中至少有兩個(gè)向量成比例(C) &e2,

3、 am中每個(gè)向量都能由其余m-1個(gè)向量線性表示(D) a1，a2, am中至少有一個(gè)向量可由其余m -1個(gè)向量線性表示【】8. n階方陣A與對(duì)角陣相似的充分必要條件是(A) R( A) = n(B)A有n個(gè)互不相同的特征值(C) A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量(D)A一定是對(duì)稱陣、填空題。(每小題3分，共15分)1.已知3階行列式D的第2行元素分別為1,2-1 ,它們的余子式分別為1,-1,2 ,則2.設(shè)矩陣方程4 2.-X1 O3 .設(shè)x ="是非齊次線性方程組 Ax = b的一個(gè)特解，2為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組 Ax = b的通解為.4 .設(shè)m

4、m n矩B$ A的秩R(A) = r ,則n元齊次線性方程組 Ax = 0的解集S的最大無關(guān)組S0的秩Rs0 =。25 .設(shè)K是萬陣A的特征值，則 是A的特征值三、計(jì)算題（每小題8分，共40分）.102-512131 .計(jì)算行列式2-1011342一12.已知矩陣A = 2402. 一 _1-1 3 ,求其逆矩陣A 。183.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知»產(chǎn)2尸3是它的三個(gè)解向量且21rnI +n3)23,求該方程組的通解。求矩陣A='的特征值和特征向量。2_225.用配萬法化一次型 f =x1 +2x2 +5x3 +2x1x2+2x1x3+6x2x3 成標(biāo)

5、準(zhǔn)型。四、綜合體（每小題8分，共16分）1.解下列非齊次線性方程組1 2xi x2 - x3 x4 = 1* 4x1 +2x2 -2x3 + x4 = 22x x x2 - x3 x4 12.已知向量組求（1）向量組的秩；（2）向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的向量用該最大無關(guān)組線性表示。B五、證明題（5分）證明：設(shè)n階方陣A滿足A2 -A-2E =0 ,證明A及A + 2E都可逆，并求A，及（A+2E）。一、單項(xiàng)選擇題。（每小題3分，共24分1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C二、填空題。（每小題3分，共15分）21,1.4 2. I3. x =G-1

6、+c22+"（C1，C2 w R） 4. n -r 5.% -6一102-5102-5-1213023-22-1010-1-41113420327 -三、計(jì)算題（每小題8分，共40分）.1.解:2分）一12.已知矩陣A = 2L4一102-5"0-1-411=00-520_00-1040_102-50-1-411=00-520-0000_=0 （2 分）02-1 3 ,求其逆矩陣A，。182分）2分）（2分）一1解：（A,E） = 2402 10 0-13 0 1018 0 0 1100-1122r11_4分）1-1121則 A = -406 12

7、1 - 1（2分）3.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知？尸2尸3是它的三個(gè)解向量且21340-ll2I +n3 =,求該方程組的通解。34解：由已知可得：對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax = 0的解集S的秩為4-3 = 1,因此齊次線性方程組 Ax = 0的任意非零解即為它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 （3分）令二2 1 一（ 2 3）則 A = A2 i 一（ 2 - 3） -2A i - A 2 - A 3 =2b b b = 0所以七=（3,4,5,6）T #0為齊次線性方程組 Ax = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 （3分）由此可得非齊次線性方程組 Ax = b的通解為:R）（2分）4.求矩陣A =

8、I的特征值和特征向量。12解：A的特征多項(xiàng)式為：2 九 1A *uE =（九一 1）（九一3）12 f所以A的特征值為=1,%=3。（4分）（1）當(dāng)人=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量滿足,解得：x1 - -x2則九 1 =1對(duì)應(yīng)的特征向量可取（2分）（2）當(dāng) =3時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量滿足收二巴解得：x1=x2一1-1x20則，勺=3對(duì)應(yīng)的特征向量可取 p21 = (I（2分）5.用配方法化二次型 f =x12 +2x22 +5x32 + 2x1x2 + 2x1x3 +6x2x3 成標(biāo)準(zhǔn)型。222_解：f = x12x1x2 2x1x3 2x2 5x36x2x3= （x1 x2 x3）222x2 4x3 4

9、x2 x3 （x1 x2 x3）2（x2 2x3）2（4分）fy1x1x2x3令y2 =x2 +2x3 則把f化成標(biāo)準(zhǔn)型得:2 .2一 y1y2（4分）)3 = x3四.綜合題(每小題 8分，共16分)1 .解下列非齊次線性方程組2x1 x2 -x3 x4 =1« 4x1 +2x2 -2x3 + x4 = 2 2x1 +x2 -x3 -x4 =1解：對(duì)增廣矩陣B作初等行變換-1_2 1-1 7 1- _0100（5分）由上式可寫出原方程組的通解為:-x11一 1 1-01 -01x2x3-20-0C2（c1,C2 JR）（3分）2 .已知向量組一1一21一3 1求（1）向量組的秩；（2）向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的向量用該最大無關(guān)組線性表示。1 2310-7r(2分)解：A = 2 31 0 153 1 -160 0 0則Ra =2, （2分）故向量組的最大無關(guān)組有2個(gè)向量，知a1,a2為向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。（2分）且 a3 = 7a1 +5a2 （2 分）五、證明題（5分）證明：設(shè)n階方陣A滿足A2 A2E = 0 ,證明A及A + 2E都可逆，并求 A及(A+2E)。證明：1-(