123角的平分線的性質(zhì)

1、12.3 角的平分線的性質(zhì)1.1.在探究作角平分線的方法和角平分線性質(zhì)的過(guò)程中，掌握在探究作角平分線的方法和角平分線性質(zhì)的過(guò)程中，掌握角平分線的作法和角平分線的性質(zhì)角平分線的作法和角平分線的性質(zhì). .2.2.提高綜合運(yùn)用三角形全等的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力；掌提高綜合運(yùn)用三角形全等的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力；掌握簡(jiǎn)單的角平分線在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用握簡(jiǎn)單的角平分線在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用. . 不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角等的角. .你有什么辦法？你有什么辦法？AOBC再打開(kāi)紙片再打開(kāi)紙片 ，看看折痕與這個(gè)角有，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？

2、何關(guān)系？ 對(duì)折對(duì)折 如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒(méi)法折的如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒(méi)法折的角，又該怎么辦呢？角，又該怎么辦呢？ 觀察下面簡(jiǎn)易的平分角的儀器，其中觀察下面簡(jiǎn)易的平分角的儀器，其中AB=ADAB=AD，BC=DC.BC=DC.將點(diǎn)將點(diǎn)A A放在角的頂點(diǎn)，放在角的頂點(diǎn)，ABAB和和ADAD沿著角的兩邊放下，沿沿著角的兩邊放下，沿ACAC畫(huà)一條射線畫(huà)一條射線AEAE，AEAE就是就是DABDAB的平分線的平分線. .你能說(shuō)明它的道你能說(shuō)明它的道理嗎？理嗎？B BD DA AC CE E 【證明證明】 在在ACDACD和和ACBACB中中 AD=ABAD=AB（已知）（

3、已知） DC=BCDC=BC（已知）（已知） CA=CACA=CA（公共邊）（公共邊） ACD ACD ACBACB（SSSSSS） CAD=CABCAD=CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） ACAC平分平分DABDAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）B BD DA AC CE E 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）器）尺規(guī)作角的平分線尺規(guī)作角的平分線畫(huà)法：畫(huà)法：1.1.以以O(shè) O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OAOA于于M M，交，交OBOB

4、于于N N2.2.分別以，為圓心大于分別以，為圓心大于 的長(zhǎng)的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧在為半徑作弧兩弧在AOBAOB的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于3.3.作射線作射線OCOC射線射線OCOC即為所求即為所求OABNMC12證明證明: :連接連接MC,NCMC,NC由作法知由作法知: :在在OMCOMC和和ONCONC中中OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OC=OCOC，OMCOMCONC(SSS)ONC(SSS)，AOC=BOCAOC=BOC，即即OC OC 是是的平分線的平分線. .為什么為什么OCOC是是AOBAOB的平分線的平分線? ?OABNMC 將將AOBAOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角

5、形（使第一條折對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀察兩次折疊形成的三條折痕，痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？你能得出什么結(jié)論？猜想猜想: :角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. .證明證明: : C C平分平分, P, P是是OCOC上一點(diǎn)（已知），上一點(diǎn)（已知），D DP=BP=BP P（角平分線定義），（角平分線定義），PDOA,PEOB PDOA,PEOB （已知），（已知），ODP=OEP=90ODP=OEP=90（垂直的定義），（垂直的定義），在在OPDOPD和和OPEOPE中中 DO

6、P=BOP DOP=BOP （已證），（已證）， ODP=OEP ODP=OEP （已證），（已證），OP=OP=OPOP（已知），（已知）， OPDOPDOPE(AAS)OPE(AAS)，PDPDPEPE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）. . 已知：已知：OCOC平分平分AOBAOB，點(diǎn)，點(diǎn)P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于于D D， PEOBPEOB于于E E，求證求證: PD=PE.: PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D12定理：定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. .用符號(hào)語(yǔ)言表示為：用符號(hào)語(yǔ)言表

7、示為：1= 21= 2， PD OA PD OA ，PE OBPE OB，PD=PE.PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D1 12 2角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì) 如圖，要在如圖，要在S S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等，距離相等， 離公路與鐵路交叉處離公路與鐵路交叉處500 m500 m，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺為應(yīng)建在何處？（比例尺為1 120 00020 000）s s【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】DCs【解析解析】 作夾角的角平分線作夾角的角平分線OCOC，截取，截取OD=2.5cm ,DOD=2.5cm

8、,D即為所求即為所求. .O 反過(guò)來(lái)，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是反過(guò)來(lái)，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上呢？否一定在這個(gè)角的平分線上呢？ 已知：如圖已知：如圖,QDOA,QDOA，QEOBQEOB，點(diǎn)點(diǎn)D D、E E為垂足，為垂足，QDQDQEQE求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)Q Q在在AOBAOB的平分線上的平分線上證明證明: : QDOA QDOA，QEOBQEOB， QDOQDOQEOQEO9090（垂直的定義）（垂直的定義）. .在在RtRtQDOQDO和和RtRtQEOQEO中中 QOQOQOQO（公共邊），（公共邊）， QD=QEQD=QE（已知），（已知）， RtRt

9、QDORtQDORtQEOQEO（HLHL），）， QODQODQOEQOE， 點(diǎn)點(diǎn)Q Q在在AOBAOB的平分線上的平分線上. .角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上. . QDOA QDOA，QEOBQEOB，QDQDQEQE點(diǎn)點(diǎn)Q Q在在AOBAOB的平分線上的平分線上用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：(1)1= 2,DCAC, DEAB (1)1= 2,DCAC, DEAB _(_)(_)(2)DCAC ,DEAB ,DC=DE(2)DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_)(_)ACDEB121= 21= 2DC=DEDC=D

10、E角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上. .角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】1.1.已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分線是它的角平分線, ,且且 BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F.求證求證:EB=FC. :EB=FC. BAEDCF【解析解析】根據(jù)角的平分線的性質(zhì)根據(jù)角的平分線的性質(zhì)得得DE=DFDE=DF，再根據(jù)，再根據(jù)HLHL證明證明BEDBEDCFD,CFD,從而得到從而

11、得到EB=FC.EB=FC.2.2.直線表示三條相互交叉的公路直線表示三條相互交叉的公路, ,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站站, ,要求它到三條公路的距離相等要求它到三條公路的距離相等, ,則可供選擇的地址則可供選擇的地址有有:( ):( )A.A.一處一處 B.B.兩處兩處 C.C.三處三處 D.D.四處四處【解析解析】選選D.D.由于沒(méi)有限制在何處選址由于沒(méi)有限制在何處選址, ,故要求的故要求的地址共有四處地址共有四處, ,在各自?shī)A角的平分線上，即：在各自?shī)A角的平分線上，即：A A、B B、C C、D D各一處各一處. .A AD DC CB B3.3.（寧德（寧德中考）如圖，已知

12、中考）如圖，已知ADAD是是ABCABC的角平分線，在不的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使添加任何輔助線的前提下，要使AEDAEDAFDAFD，需添加一個(gè)，需添加一個(gè)條件是：條件是：_，并給予證明，并給予證明. . B D AEFc【解析解析】解法一：解法一：添加條件：添加條件：AEAEAF.AF. 在在AEDAED與與AFDAFD中，中，AEAEAFAF，EADEADFADFAD，ADADADAD，AEDAEDAFDAFD（SASSAS）. . 解法二：解法二：添加條件：添加條件：EDAEDAFDA.FDA. 在在AEDAED與與AFDAFD中，中， EADEADFADFAD，ADADADAD，EDAEDAFDAFDA， AEDAEDAFDAFD（ASAASA）. . 1.1.角的平分線的性質(zhì)：角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等2.2.角平分線的判定：角平分線的判定