函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性

1、1.3函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性教學設(shè)計【教學目標】1. 理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念；掌握增（減）函數(shù)的證明和判別；學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；2. 理解函數(shù)單調(diào)性的概念及證明方法、判別方法，理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義；3. 理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念及圖象的特征，能熟練判別函數(shù)的奇偶性.【導入新課】1.通過對函數(shù)、及的觀察提出有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的問題.2閱讀教材明確單調(diào)遞增、單調(diào)遞減和單調(diào)區(qū)間的概念.3.實踐活動：取一張紙，在其上畫出平面直角坐標系，并在第一象限任畫一可作為函數(shù)圖象的圖形，然后按如下操作并回答相應問題： 以y軸為折痕將紙對折，并在紙的背面（即第二象限）畫

2、出第一象限內(nèi)圖形的痕跡，然后將紙展開，觀察坐標系中的圖形；問題：將第一象限和第二象限的圖形看成一個整體，則這個圖形可否作為某個函數(shù)y=f(x)的圖象，若能請說出該圖象具有什么特殊的性質(zhì)？函數(shù)圖象上相應的點的坐標有什么特殊的關(guān)系？答案：（1）可以作為某個函數(shù)y=f(x)的圖象，并且它的圖象關(guān)于y軸對稱；（2）若點（x，f(x)）在函數(shù)圖象上，則相應的點（x，f(x)）也在函數(shù)圖象上，即函數(shù)圖象上橫坐標互為相反數(shù)的點，它們的縱坐標一定相等. 以y軸為折痕將紙對折，然后以x軸為折痕將紙對折，在紙的背面（即第三象限）畫出第一象限內(nèi)圖形的痕跡，然后將紙展開，觀察坐標系中的圖形：問題：將第一象限和第三象限

3、的圖形看成一個整體，則這個圖形可否作為某個函數(shù)y=f(x)的圖象，若能請說出該圖象具有什么特殊的性質(zhì)？函數(shù)圖象上相應的點的坐標有什么特殊的關(guān)系？答案：（1）可以作為某個函數(shù)y=f(x)的圖象，并且它的圖象關(guān)于原點對稱；（2）若點（x，f(x)）在函數(shù)圖象上，則相應的點（x，f(x)）也在函數(shù)圖象上，即函數(shù)圖象上橫坐標互為相反數(shù)的點，它們的縱坐標也一定互為相反數(shù).新授課階段一、函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；減函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域

4、為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).例1 如圖是定義在閉區(qū)間-5，5上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間，及在每一單調(diào)區(qū)間上，是增函數(shù)還是減函數(shù).xy-55xy-55解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有，其中在區(qū)間，上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).注意：1.單調(diào)區(qū)間的書寫 2各單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系以上是通過觀察圖象的方法來說明函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，是一種比較粗略的方法，那么，對于任給函數(shù)，我們怎樣根據(jù)增減函數(shù)的定義來證明它的單調(diào)性呢？例2 證明函數(shù)在R上是增函數(shù).證明：設(shè)是R上的任意兩個實數(shù)，且，則，.所

5、以，在R上是增函數(shù).例3 證明函數(shù)在上是減函數(shù).證明：設(shè)是上的任意兩個實數(shù)，且，則.由，得，且.于是.所以，在上是減函數(shù).利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1） 取值；（2） 計算、；（3） 對比符號；（4） 結(jié)論.二、奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念：1偶函數(shù) 一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù).2奇函數(shù) 一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).注意：函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)

6、的任意一個x，則x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）.（二）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.例4 （1）下面四個結(jié)論中，正確命題的個數(shù)是（ A ）偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（xR）.A1 B2 C3 D4【提示】不對，如函數(shù)是偶函數(shù)，但其圖象與軸沒有交點；不對，因為奇函數(shù)的定義域可能不包含原點；正確；不對，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為f（x）=0x（，），答案為A.（2）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且其定義域為，則（）A，b0 B，b0

7、 C，b0 D，b0【提示】由為偶函數(shù)，得b0.又定義域為， ，故答案為A.例5 判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；(2)；（3）；（4）.解：（1）由，得定義域為，關(guān)于原點不對稱，為非奇非偶函數(shù).(2) ， 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（3）由得定義域為， 為偶函數(shù).（4）當時，則，當時，則，綜上所述，對任意的，都有，為奇函數(shù).例6 若奇函數(shù)是定義在（，1）上的增函數(shù)，試解關(guān)于的不等式：.解：由已知得，因f(x)是奇函數(shù)，故 ，于是.又是定義在（1，1）上的增函數(shù)，從而，即不等式的解集是.例7 已知定義在R上的函數(shù)對任意實數(shù)、，恒有，且當時，又.（1）求證：為奇函數(shù)；（2）求證：在R上是減函數(shù)；（3）

8、求在，6上的最大值與最小值.（1）證明：令，可得 ，從而，f(0) = 0.令，可得 ，即，故為奇函數(shù).（2）證明：設(shè)R，且，則，于是從而.所以，為減函數(shù).（3）解：由（2）知，所求函數(shù)的最大值為，最小值為.，.于是，在-3，6上的最大值為2，最小值為 -4.課堂小結(jié)1. 單調(diào)遞增、單調(diào)遞減和單調(diào)區(qū)間的概念及判定方法.2. 求函數(shù)最值的常用方法有：（1）配方法：即將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的最值.（2）換元法：通過變量式代換轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值.（3）數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法求出最值.3. 判斷函數(shù)的奇偶性通常有兩種方法，

9、即定義法和圖象法，用定義法判斷函數(shù)的奇偶性時，必須注意首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱單調(diào)性與奇偶性的綜合應用是本節(jié)的一個難點，需要學生結(jié)合函數(shù)的圖象充分理解好單調(diào)性和奇偶性這兩個性質(zhì).作業(yè)見同步練習部分拓展提升1.下列四個函數(shù)： ; ； ; ，其中在 上為減函數(shù)的是（ ） （A） （B） （C）、 （D）、2.函數(shù)在和都是增函數(shù)，若，且那么（ ）A B C D無法確定3. 已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，若，實數(shù)的取值范圍為( )A. B. C. D. 4下列命題中，真命題是（ ）A函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為減函數(shù)B函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)C函數(shù)是偶函數(shù)，且在（3，0）上為減函數(shù)

10、D函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0，2）上為增函數(shù)5若，都是奇函數(shù)，在（0，）上有最大值5，則在（，0）上有（）A最小值5B最大值5 C最小值1D最大值36則a的范圍為( ) A B C D 7函數(shù))是單調(diào)函數(shù)的充要條件是( ) A B C D8已知在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則下列表達正確的是（ ）A BC D9畫出下列函數(shù)圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1） （2）10根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù) 在 上是減函數(shù)11.設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對、恒有，且當時，.（1）求證：； （2）證明：時恒有；（3）求證：在R上是減函數(shù)； （4）若，求的范圍.參考答案1. A 2. D 3.B 4.C【提示】A中，在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性；B中，函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱；D中，當時，在（0，2）上為減函數(shù)，答案為C.5.C【提示】、為奇函數(shù)，為奇函數(shù).又有最大值5，2在（0，）上有最大值3.2在上有最小值3，在上有最小值1答案為C.6.D【提示】210時該函數(shù)是R上的減函數(shù).7. A【提示】考慮對稱軸和區(qū)間端點.結(jié)合二次函數(shù)圖象.8.D【提示】可轉(zhuǎn)化為和在利用函數(shù)單調(diào)性可得. 9.解：(1) 即 如圖所示，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）當，函數(shù)當，函數(shù)，即.如圖所示，單調(diào)增