長(zhǎng)途列車的用餐銷售效益問題

1、省 城 高 校 第 三 屆 六 校 數(shù) 學(xué) 建 模 聯(lián) 賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了太原地區(qū)數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽試題題目是:A題 長(zhǎng)途列車的用餐銷售效益問題參賽報(bào)名號(hào)為：04016

2、參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1.郭舒鵬 2.韓合坤 3.陳緒高 日期：2012年04月27日評(píng)閱記錄評(píng)閱記錄（可供評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注A題 列車的用餐銷售效益問題目錄：11. 摘要22. 問題重述33. 問題假設(shè)34. 問題假設(shè)35. 符號(hào)說明46. 模型建立與求解57. 模型優(yōu)缺點(diǎn)與改進(jìn)128. 模型推廣149. 參考文獻(xiàn)14摘要鐵路旅客餐飲服務(wù)是現(xiàn)代鐵路客運(yùn)工作的重要組成部分，是吸引客流的有效手段和塑造鐵路良好形象的主要窗口。如何確定火車上餐飲價(jià)格，使列車在用餐銷售上效益最大，是一個(gè)最優(yōu)化問題。首先要考慮到售出相同的食物，單位價(jià)格越高，銷售效益越大；但是，單價(jià)越高，購買食物的人相應(yīng)

3、會(huì)減少，此消彼長(zhǎng)，最終會(huì)有一個(gè)最大值。我們就是要確定售價(jià)與購買人數(shù)"相應(yīng)"的關(guān)系。為確定這個(gè)"相應(yīng)關(guān)系"，即建立銷售價(jià)格與銷售量的關(guān)系。對(duì)于本題目我們需要引入微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的理念由于提高價(jià)格會(huì)降低購買意欲， 我們將運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)知識(shí),通過定量分析,擬采用線性規(guī)劃單純形表法, 建立實(shí)現(xiàn)目標(biāo)利潤最大化和目標(biāo)成本最小化的數(shù)學(xué)模型,以實(shí)現(xiàn)利潤最大化。根據(jù)火車上各種資源的限制,利用線性規(guī)劃方法建立生產(chǎn)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型,就利潤最大和成本最小問題, 采用單純形法及單純形表的格式,應(yīng)用求三元函數(shù)的極值方法,按照相應(yīng)的數(shù)學(xué)程序進(jìn)行相關(guān)的邏輯運(yùn)算, 以期找到最大目標(biāo)利潤和最小目標(biāo)成本

4、，并給出相應(yīng)的銷售最優(yōu)方案，最終求出列車在用餐銷售上效益最大為1887.81元；春運(yùn)期間列車在用餐銷售上效益最大為3446.70元。關(guān)鍵詞： 運(yùn)籌學(xué)，線性規(guī)劃，最優(yōu)方案，最大收益.問題重述長(zhǎng)途列車由于時(shí)間漫長(zhǎng)，需要提供車上的一些服務(wù)，尤其是提供三餐。由于火車上各方面的成本高，因此車上食物的價(jià)格也略高。以K237次太原到廣州的長(zhǎng)途列車為例，每天早餐為一碗粥、一個(gè)雞蛋及些許咸菜，價(jià)格15元；中午及晚上為盒飯，價(jià)格一律20元。由于價(jià)格偏貴，乘客一般會(huì)自帶食品如方便面、面包等。列車上也賣方便面及面包等食品，但價(jià)格也偏貴。如一般售價(jià)5元的方便面賣10元。當(dāng)然，由于列車容量有限，因此提供的用餐量及食品是有

5、限的，適當(dāng)提高價(jià)格是正常的。但高出的價(jià)格應(yīng)有一個(gè)限制，不能高得過頭。假如車上有乘客1500人，其中750人有在車上買飯的要求，但車上盒飯每餐只能供給300人；另外，車上還可提供每餐200人的方便面。在上面原則的基礎(chǔ)上解決以下兩個(gè)問題：（1）根據(jù)實(shí)際情況設(shè)計(jì)一個(gè)價(jià)格方案，使列車在用餐銷售上效益最大。（2）在設(shè)計(jì)的價(jià)格方案基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析春運(yùn)期間三餐價(jià)格的制定方案，使得列車的用餐銷售效益最大化。.問題分析 上面兩個(gè)問題是最優(yōu)化問題，首先應(yīng)該考慮食物價(jià)格和食物的銷售量。根據(jù)需求規(guī)律：在假設(shè)其他因素既定的條件下，盒飯與方便面的需求量（乘客的購買量）與價(jià)格之間存在著反向的依存關(guān)系，即，商品的價(jià)格上升，

6、需求量減少；商品的價(jià)格下降，需求量增加。收益函數(shù)=價(jià)格×需求量，是非單調(diào)函數(shù)，這樣把離散函數(shù)近似看成連續(xù)函數(shù)利用求導(dǎo)法則可求出最大值 最優(yōu)化價(jià)格方案問題可以歸結(jié)為最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立于求解問題。在列車的特定條件下，其需求量、供給量及價(jià)格將直接決定銷售的最大利益。由于列車容量有限，所提供的用餐量和食品是有限的。要達(dá)到銷售利潤最大，最好能達(dá)到供求均衡，才能保證成本與虧損最小，同時(shí)保證銷售額最大。.問題假設(shè)、假設(shè)進(jìn)貨渠道貨源充足，沒有價(jià)格變動(dòng)的情況；、假設(shè)食品質(zhì)量良好，對(duì)銷售情況不產(chǎn)生影響；、假設(shè)列車售票情況良好，客源充足；、假設(shè)一份早餐的成本價(jià)為5元，一份盒飯的成本價(jià)為10元，方便面的成

7、本為5元；而且隨著食品價(jià)格的變化，乘客可以自由選擇自己想吃的東西；、飯菜質(zhì)與量不變且不影響人們購買欲；、每餐后早飯、盒飯、方便面賣不完的按成本價(jià)出售完；、乘務(wù)員服務(wù)態(tài)度不影響乘客購買欲，飯菜分量相同，且一份飯成年人吃后不必再買泡面吃，吃泡面一樣，不再買盒飯；、乘客個(gè)人是否購買不受其他人的影響；、考慮到春運(yùn)期間人流量要比平常大很多，所以火車上食品的需求量大于供給量，所以火車上所供給的200袋方便面，100份早餐，300份盒飯都可以賣完；、春運(yùn)期間早餐，盒飯，方便面在火車上有的前提下，乘客在任何時(shí)段都可以買到；.符號(hào)說明：一份盒飯的成本價(jià)；：一份盒飯的銷售價(jià)；：一份盒飯售價(jià)為時(shí)的銷售量；：盒飯的進(jìn)

8、貨量；：一包方便面的成本價(jià)；：一包方便面的銷售價(jià)；：一包方便面售價(jià)為時(shí)的銷售量；：方便面的進(jìn)貨量； ：一份早餐的成本價(jià)； : 一份早餐的銷售價(jià)； : 一份早餐售價(jià)為時(shí)的銷售量 : 早餐的庫存量； ：銷售總收入； ：進(jìn)貨總成本； ：總利潤.模型建立與求解1）制定價(jià)格方案，使列車在用餐銷售上效益最大。在火車上，食品的銷售量隨食品的價(jià)格的變化而變化。根據(jù)實(shí)際調(diào)查統(tǒng)計(jì)顯示，它們之間的關(guān)系是的（見表一，二，三）?？捎煤瘮?shù)、和表示，其中均為常數(shù)。此時(shí)，總收入可表示為，總成本可表示為。則總利潤為:對(duì)收集到的數(shù)據(jù)用進(jìn)行擬合，得到函數(shù)關(guān)系和圖像（見圖，）。即，。若要利潤最大，則最好達(dá)到狀態(tài)，即，此時(shí)總利潤的表達(dá)

9、式為：。要求的最大值，先對(duì)求偏導(dǎo)，再，對(duì)求偏導(dǎo)最后對(duì)求偏導(dǎo)，然后取最大值。,令，得到時(shí)，出售盒飯的利潤最大。,令，得到時(shí)，出售方便面的利潤最大。,令，得到時(shí)，出售盒飯的利潤最大通過得到，一份盒飯的成本價(jià)為10元，一包方便面的成本價(jià)為5元，一份早餐的成本價(jià)為5元。帶入上式，得到：，此時(shí)銷售量分別為，?？偫麧櫲∽畲笾禐?887.81元。從以上模型看出，在供求平衡的條件下，在一餐的進(jìn)貨量分別為盒飯143份，方便面89包，早餐份數(shù)為96時(shí)，總利潤最大為1887.81元，此時(shí)指定的價(jià)格方案為：盒飯一份16.7元，方便面一包8.2元，早餐一份11.7元。 實(shí)際調(diào)查得到的表格盒飯的銷售量隨售價(jià)的變化(表一)

10、售價(jià)1011121314151617181920銷售量2872652492202011791561381179875方便面的銷售量隨售價(jià)的變化(表二)售價(jià)55.566.577.588.599.5銷售量18216815513712210894827057早餐的銷售量隨售價(jià)的變化(表三)售價(jià)56789101112131415銷售量9689807567605445393325表格的圖像Matlab擬合程序及圖像：1、表一的擬合程序及圖像 X= 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Y= 287 265 249 220 201 179 156 138 117 98 75 P

11、lot ( X ,Y,'-xo')圖2、表二的擬合程序及圖像： X= 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 Y= 182 168 155 137 122 108 94 82 70 57 Plot ( X ,Y,'-y o')圖3、表三的擬合程序及圖像： X= 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Y= 96 89 80 75 67 60 54 45 39 33 25 Plot (X , Y,'-z o')圖2）在上述價(jià)格方案基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析春運(yùn)期間三餐價(jià)格的制定方案，使得列車的用餐銷售效益最大化 春運(yùn)期間

12、方便面，早餐，盒飯的相關(guān)價(jià)格數(shù)據(jù)如表四、五、六；對(duì)收集到的數(shù)據(jù)用進(jìn)行擬合，得到函數(shù)關(guān)系和圖像（見圖（四）、）。即；。同1）中的分析：若要利潤最大，則最好達(dá)到狀態(tài)，即，此時(shí)總利潤的表達(dá)式為：。同理可得：要求的最大值，先對(duì)求偏導(dǎo)，再，對(duì)求偏導(dǎo)最后對(duì)求偏導(dǎo)，然后取最大值。,令，得到時(shí)，出售盒飯的利潤最大。,令，得到時(shí)，出售方便面的利潤最大。,令，得到時(shí)，出售早餐的利潤最大。通過得到，一份盒飯的成本價(jià)為10元，一包方便面的成本價(jià)為5元，一份早餐的成本價(jià)為5元。帶入上式，得到：，此時(shí)銷售量分別為，；則：春運(yùn)期間總利潤取最大值為3446.70元。從以上模型看出，在供求平衡的條件下，在一餐的進(jìn)貨量分別為盒飯

13、151份，方便面97包，早餐份數(shù)為49時(shí)，總利潤最大為3446.70元，此時(shí)的售價(jià)分別為盒飯一份25.1元，方便面一包11.6元，早餐一份15.7元。 實(shí)際調(diào)查得到的表格及表格的圖像Matlab擬合程序及圖像如下：春運(yùn)期間盒飯的銷售量隨售價(jià)的變化（表四）售價(jià)1011121314151617181920銷售量3002902822732612522402312222132011、表四的擬合程序及圖像 = 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 = 300 290 282 273 261 252 240 231 222 213 201 Plot ( , ,'-xo&

14、#39;)圖春運(yùn)期間方便面的銷售量隨售價(jià)的變化（表五）售價(jià)55.566.577.588.599.5銷售量1971901821761651581511431381312、表五的擬合程序及圖像 = 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 = 197 190 182 176 165 158 151 143 138 131 Plot (, ,'-y o')圖 春運(yùn)期間早餐的銷售量隨售價(jià)的變化（表六）售價(jià)56789101112131415銷售量100969186837569666256543、表六的擬合程序及圖像 = 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15、15 = 100 96 91 86 83 75 69 66 62 56 54 Plot ( , ,'-z o')圖模型優(yōu)缺點(diǎn)與改進(jìn)1）模型的優(yōu)點(diǎn)：1.結(jié)合實(shí)際情況對(duì)問題進(jìn)行求解，使得模型具有很好的通用性和推廣性；2.模型的最終計(jì)算方法簡(jiǎn)便，計(jì)算過程簡(jiǎn)單，最終得到結(jié)果與理論基本相符；3.建模的方法和思想對(duì)其他類似的問題也適用，易于推廣到多個(gè)領(lǐng)域，當(dāng)與類似文體結(jié)合時(shí)，僅需改變模型中的某些參數(shù)；4.通過用同類模型，在春運(yùn)期間三餐的售價(jià)均高于題目要求的售價(jià)，而在春運(yùn)期間，乘客對(duì)餐位售價(jià)的關(guān)注程度相比于平時(shí)乘坐列車時(shí)甚少；更多的考慮是在春運(yùn)列車上不適的環(huán)境中，填充自己的肚子；所以，在春運(yùn)

16、期間三餐的售價(jià)均高于平時(shí)情況下的售價(jià)是合理的；自然就會(huì)產(chǎn)出更大利潤；2）模型的缺點(diǎn) ：1火車就餐在現(xiàn)實(shí)生活中，供求不等是經(jīng)常發(fā)生的現(xiàn)象，本模型沒有考慮該情況；2. 我們觀察到此模型的約束條件簡(jiǎn)單，未能對(duì)問題要求進(jìn)行完全的表述；3. 銷售價(jià)格的浮動(dòng)由很多因素決定，同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生很多影響。我們建立的模型只是簡(jiǎn)單地研究了這個(gè)問題，比起實(shí)際問題的復(fù)雜程度，有很多因素沒有考慮到；4.將價(jià)格與銷售的關(guān)系近似為線性，給結(jié)果帶來一定的影響；3）模型的改進(jìn)：模型改進(jìn)時(shí)避免從主觀的角度進(jìn)行分析，而從列車收益的角度進(jìn)行分析，因?yàn)槊恳活D飯解決的問題是以一樣的，不妨我們就以午餐為例來進(jìn)行計(jì)算建立模型；根據(jù)需求規(guī)律：在假設(shè)

17、其他因素既定的條件下，早餐，盒飯與方便面的需求量（乘客的購買量）與價(jià)格之間存在著反向的依存關(guān)系，即，商品的價(jià)格上升，需求量減少；商品的價(jià)格下降，需求量增加，單獨(dú)考慮盒飯的，價(jià)格與需求之間的關(guān)系；考慮到價(jià)格與銷售不是線性的，而應(yīng)該是凹函數(shù)，由于任何一個(gè)函數(shù)都可以用三角函數(shù)來表示出來，為了方便起見我們不妨設(shè)為正弦曲線，模型說明和上面的一樣；設(shè)價(jià)格為，銷售為。最低價(jià)格為，銷售量為。最高價(jià)格為，銷售量為價(jià)格與銷售量之間的函數(shù)表達(dá)式：建立模型；用來表示出它的收益，建立收益與價(jià)格的關(guān)系：求出的值來，代入就可以求出具體的值。舉個(gè)更實(shí)際的例子，當(dāng)最低價(jià)格為5元時(shí)，恰好全部銷售出去，當(dāng)20元時(shí)，銷售為50份，在

18、MATLAB中的輸入程序：得到的結(jié)果為 11/2, 6, 13/2, 7應(yīng)的收益為：相應(yīng)的程序?yàn)椋簒1=input('Please input x1=:');y1=input('Please input y1=:');x2=input('Please input x2=:');y2=input('Please input y2=:');x=x1:0.01:x2;y=(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2;plot(x,y) Y=x.*y;plot(x,Y)syms x;Y=x.*(y1-y2)

19、*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)f=diff(Y)z=solve(f);x=z;Y= x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x3=fix(z)-0.5;t=x3;Y3=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x4=fix(z);t=x4;Y4=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x5=fix(z)+0.5;x=x5;Y5=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x6=fix(z)+1;x=x6;Y6=x.*(y1-y2