金融時間序列分析非平穩(wěn)部分

1、第1節(jié) 有關(guān)單位過程的極限分布對單位根過程這種非平穩(wěn)序列的分析，傳統(tǒng)分析方法失效，需尋找新的處理方法。這些新的分析方法都是建立在維納過程（布朗運動）和泛函中心極限定理之上的。一、 維納過程維納過程(Wiener Process)也稱為布朗運動過程(Brownian MotionProcess)，是現(xiàn)代時間序列經(jīng)濟(jì)計量分析中的基本概念之一。設(shè)是定義在閉區(qū)間0，1上一連續(xù)變化的隨機(jī)過程，若該過程滿足：(a) W(0)=0；(b) 對閉區(qū)間0，1上任意一組分割，的變化量：為相互獨立的隨機(jī)變量；(c) 對任意，有(5.2.1)則稱為標(biāo)準(zhǔn)維納過程（或標(biāo)準(zhǔn)布朗運動過程）。從定義我們可以看出，標(biāo)準(zhǔn)維納過程是

2、一個具有正態(tài)獨立增量的過程。由定義顯然有：(5.2.2)即標(biāo)準(zhǔn)維納過程在任意時刻t服從正態(tài)分布。將標(biāo)準(zhǔn)維納過程推廣，可得到一般維納過程的概念。令稱是方差為的維納過程。顯然，滿足標(biāo)準(zhǔn)維納過程定義中的前兩個條件，第三個條件則變?yōu)椋簩θ我?，有根?jù)上式，顯然有(5.2.3)利用標(biāo)準(zhǔn)維納過程還可以構(gòu)造其它的連續(xù)隨機(jī)過程，例如，對于，在任意時刻t，有分布：更為重要的是：維納過程所具有的良好性質(zhì)以及它相當(dāng)廣泛的適用性，使得它在概率極限定理，隨機(jī)積分和隨機(jī)微分方程等許多理論研究和實際應(yīng)用中扮演著十分重要的角色。二、 有關(guān)隨機(jī)游動的極限分布1、泛函中心極限定理泛函中心極限定理是對一般中心極限定理的推廣，它是研究

3、非平穩(wěn)時間序列過程的重要工具。在給出泛函中心極限定理之前，我們先回顧一下概率論與數(shù)理統(tǒng)計中研究平穩(wěn)隨機(jī)變量序列的中心極限定理：如果隨機(jī)變量序列：獨立同分布，且有令，則(5.2.4)中心極限定理表明：獨立同分布的隨機(jī)變量之和（或樣本均值）為正態(tài)分布。對于白噪聲序列，由于根據(jù)中心極限定理，有(5.2.5)下面，我們根據(jù)白噪聲序列，構(gòu)造一新統(tǒng)計量：設(shè)r為閉區(qū)間0，1上的任一實數(shù)，記為不超過rN的最大整數(shù)，對于給定白噪聲序列：，取其前項構(gòu)造統(tǒng)計量：(5.2.6)顯然為一樣本均值，當(dāng)N固定，r在閉區(qū)間0，1上變化時，是定義在0，1上的一個階梯函數(shù)，其具體表達(dá)式為：(5.2.7)將乘上，再寫成如下形式：由

4、前述中心極限定理，有另一方面，對于0，1上的任意實數(shù)r，有因此，有如下極限分布：(5.2.8)對照(5.2.3)式，有這表明，的極限分布與一般維納過程的分布是一致的。將上述結(jié)論整理如下，就得到泛函中心極限定理。泛函中心極限定理：設(shè)序列：獨立同分布，且滿足r為閉區(qū)間0，1上的任一實數(shù)，給定樣本，取其前項構(gòu)造統(tǒng)計量：那么，當(dāng)時，統(tǒng)計量有如下極限： (5.2.9)在(5.2.9)式中令r=1，有(5.2.10)與(5.2.5)式對照可以看出，一般中心極限定理是泛函中心極限定理的一個特例。下面給出非平穩(wěn)時間序列分析中經(jīng)常用到的有關(guān)隨機(jī)游動的極限分布，所使用的基本工具就是泛函中心極限定理。2、 有關(guān)隨機(jī)

5、游動的極限分布設(shè)序列遵從隨機(jī)游動過程： （5.1.4）其中，獨立同分布，且，=0。則以下極限成立：（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。證明過程中，可用到下列關(guān)系：，證明：（1）由(5.2.10)式，顯然成立。（2）因為整理得兩邊求和并除以N，得又因為代入上式，有根據(jù)大數(shù)定理，有注意(5.2.10)式，從而有 （2）證畢。(3)根據(jù)(5.2.7)式知，是0，1上的一個階梯函數(shù)，再由（5.1.4），有因此可表示為(5.2.11)求階梯函數(shù)在0，1上的積分，有兩邊同乘，得由于根據(jù)連續(xù)映射定理 連續(xù)映射定理是指：若，是連續(xù)泛函，則有：。，則有 （3）證畢。（1） 因為所以利用（1）和（3

6、）的結(jié)論，有 （4）證畢。（2） 因為根據(jù)泛函中心極限定理(5.2.9)式，并利用連續(xù)映射定理，得到 （5）證畢。（3） 因為根據(jù)泛函中心極限定理(5.2.9)式，并利用連續(xù)映射定理，得 （6）證畢。三、有關(guān)單位根過程的極限分布1、 一般形式的泛函中心極限定理前面所介紹的泛函中心極限定理是針對獨立同分布序列而言的。如果序列不是白噪聲序列而是一般的平穩(wěn)序列，則上述結(jié)論就不再成立。此時，有更一般形式的泛函中心極限定理。一般形式的泛函中心極限定理：設(shè)序列：為一平穩(wěn)過程，它有無窮階MA表示形式：(5.2.12)其系數(shù)滿足條件：(5.2.13)比絕對收斂條件略強(qiáng)，任意平穩(wěn)ARMA過程都滿足它。獨立同分布

7、，且滿足貝弗里奇-納爾遜分解Beveridge-Nelson(1981)提出，有，其中且。故為一平穩(wěn)過程。r為閉區(qū)間0，1上的任一實數(shù)，記，構(gòu)造如下統(tǒng)計量：(5.2.14)那么，當(dāng)時，統(tǒng)計量有如下極限：(5.2.15)顯然，一般形式的泛函中心極限定理是前述泛函中心極限定理的推廣。根據(jù)該定理，可以得到有關(guān)單位根過程的極限分布。2、 有關(guān)單位根過程的極限分布假設(shè)序列遵從單位根過程：(5.1.5)其中平穩(wěn)過程滿足一般形式泛函中心極限定理中的條件。則有令若，那么，下列極限成立：（1） ；（2） ；（3） ;（4） ;（5） ;（6） ；（7） ；（8） ;（9） ；（10） .第3節(jié) DickeyFu

8、ller單位根檢驗（DF檢驗）前面兩節(jié)已為檢驗單位根做了理論準(zhǔn)備。下面我們介紹DickeyFuller建立的單位根檢驗法。任何一個序列都有其自身的真實生成過程。DickeyFuller假設(shè)數(shù)據(jù)序列是由下列兩種模型之一產(chǎn)生：（1） ， (5.3.1)（2） ； (5.3.2)其中，。然后分為如下四種情形建立估計模型，并在其中進(jìn)行單位根檢驗：情形一：假設(shè)數(shù)據(jù)由（真實過程）(5.3.1)產(chǎn)生，在回歸模型(5.3.1)中檢驗假設(shè)：情形二：假設(shè)數(shù)據(jù)由（真實過程）(5.3.1)產(chǎn)生，在回歸模型(5.3.2)中檢驗假設(shè)：情形三：假設(shè)數(shù)據(jù)由（真實過程）(5.3.2)產(chǎn)生，在其中檢驗假設(shè)：情形四：假設(shè)數(shù)據(jù)由（真

9、實過程）(5.3.2)產(chǎn)生，在回歸模型中檢驗假設(shè)：對于上述各種情形下的回歸模型，可以使用最小二乘法得到參數(shù)估計量和相應(yīng)的t或F統(tǒng)計量。但是，Dickey與Fuller的研究發(fā)現(xiàn)，在原假設(shè)成立的條件下，相應(yīng)的t統(tǒng)計量不再服從漸近正態(tài)分布，F(xiàn)統(tǒng)計量的分布與普通的F分布也大不相同，從而臨界值與拒絕域發(fā)生變化。此時，統(tǒng)計量的極限分布依賴于數(shù)據(jù)生成過程及回歸模型形式的選擇（即是否包含常數(shù)項和趨勢項），具體分布如下：一、 情形一的DF檢驗法1、檢驗方法回歸模型(5.3.1)系數(shù)的OLS估計為：構(gòu)造統(tǒng)計量：(5.3.3)其中為模型的剩余方差。在成立的條件下，t統(tǒng)計量為：在成立的條件下，模型(5.3.1)為隨

10、機(jī)游動過程，有關(guān)隨機(jī)游動的極限定理成立，因此，其中W(r)為維納過程。又因為為的相合估計，根據(jù)連續(xù)影射定理，t統(tǒng)計量具有如下極限：(5.3.4)即t統(tǒng)計量依分布收斂于維納過程的泛函，表明t檢驗統(tǒng)計量不再服從傳統(tǒng)的t分布，傳統(tǒng)的t檢驗法失效。上面的極限分布一般稱為DickeyFuller分布，對應(yīng)的檢驗稱為DF檢驗。由于，(5.3.4)式的分母恒正，分子是分布與其均值之差，因此上述檢驗統(tǒng)計量的極限分布是非對稱、左偏的。又因，所以檢驗值大都是負(fù)數(shù)。DickeyFuller分布是非標(biāo)準(zhǔn)的，因此人們用Monte Carlo方法模擬得到檢驗的臨界值，并編成DF檢驗臨界值表（情形一）供查。在進(jìn)行DF檢驗時

11、，比較t統(tǒng)計量值與DF檢驗臨界值，就可在某個顯著性水平上拒絕或接受原假設(shè)。在實際應(yīng)用中，可按如下檢驗步驟進(jìn)行：(1) 根據(jù)所觀察的數(shù)據(jù)序列，用OLS法估計不帶常數(shù)項的一階自回歸模型：得到回歸系數(shù)的OLS估計(2) 提出假設(shè)：檢驗用統(tǒng)計量為常規(guī)t統(tǒng)計量，根據(jù)(5.3.4)式，在成立的條件下，該統(tǒng)計量的極限分布為DickeyFuller分布。(3) 計算在原假設(shè)成立條件下的t統(tǒng)計量值，查DF檢驗臨界值表（情形一），得臨界值，然后將t統(tǒng)計量值與DF檢驗臨界值進(jìn)行比較：若t統(tǒng)計量值小于DF檢驗臨界值，則拒絕原假設(shè)，說明序列不存在單位根；若t統(tǒng)計量值大于或等于DF檢驗臨界值，則接受原假設(shè)，說明序列存在單

12、位根；需要說明的是，在一般計量經(jīng)濟(jì)軟件中對回歸模型回歸系數(shù)的檢驗，原假設(shè)都是回歸系數(shù)為零。因此，為了能直接使用計算機(jī)輸出結(jié)果，通常將回歸模型(5.3.1)變形為：令，上述模型等價地變成：(5.3.5)原假設(shè)則變?yōu)?。二?情形二的DF檢驗法對于情形二，估計模型：； (5.3.2)中含有常數(shù)項，模型參數(shù)的OLS估計為：在成立時，上式可改寫為：以矩陣左乘上式兩端，得在成立時，序列服從隨機(jī)游動過程，利用有關(guān)隨機(jī)游動的極限定理，可得據(jù)此，可得和的極限分布分別為：(5.3.6)(5.3.7)另一方面，估計量的樣本方差為其中 =為模型的剩余方差，它是隨機(jī)擾動項方差的最小二乘估計。可以證明，統(tǒng)計量有以下極限分

13、布：(5.3.8)由連續(xù)影射定理，可得t統(tǒng)計量的極限分布為(5.3.9)這表明當(dāng)估計模型中含有常數(shù)項時，t統(tǒng)計量的極限分布發(fā)生了變化，從而臨界值也就不同。Dickey、Fuller利用Monte Carlo方法得到不同樣本長度和顯著性水平下DF檢驗臨界值表（情形二）供查。得到顯然截距項的t檢驗也不是通常的t分布。三、 情形三的DF檢驗法估計模型跟情形二相同，但數(shù)據(jù)生成過程不同，此時為，其中。此時，顯然趨勢項變化最快，于是有：（易證其方差為）事實上，根據(jù)中心極限定理，容易證明：比如符合正態(tài)分布，可以構(gòu)建傳統(tǒng)的t、F檢驗。（三）情形四的DF檢驗法Dickey、Fuller還考察了情形四的單位根檢驗

14、問題，檢驗統(tǒng)計量同前?？梢宰C明，在情形四下，檢驗用的t統(tǒng)計量的極限分布為非正規(guī)分布，需要參考其特殊的臨界值表。最后需要說明的是，DF單位根檢驗法依賴于對數(shù)據(jù)真實生成過程的設(shè)定及估計模型類型的選擇。如果模型選擇不當(dāng)，則可能會導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。在實際應(yīng)用中，應(yīng)盡可能從被檢序列的經(jīng)濟(jì)背景考慮數(shù)據(jù)的生成過程，以決定模型中是否應(yīng)包含常數(shù)項。在沒有先驗信息的情況下，應(yīng)盡量先采用較一般的模型進(jìn)行檢驗，比如按照情形四進(jìn)行單位根檢驗。第4節(jié) PP單位根檢驗法與ADF單位根檢驗法DF檢驗要求模型的隨機(jī)擾動項獨立同分布。但在實際應(yīng)用中這一條件往往不能滿足。一般來說，如果估計模型的DW值偏離2較大，表明隨機(jī)擾動項是序列

15、相關(guān)的，在這種情況下使用DF檢驗可能會導(dǎo)致偏誤，需要尋找新的檢驗方法。本節(jié)我們將介紹在隨機(jī)擾動項服從一般平穩(wěn)過程的情況下，檢驗單位根的PP檢驗法和ADF檢驗法。一、 PP（Phillips&Perron）檢驗首先考慮上一節(jié)情形二中擾動項為一平穩(wěn)過程的單位根檢驗。假設(shè)數(shù)據(jù)由（真實過程） ()產(chǎn)生，其中獨立同分布，。，其中B為滯后算子，其系數(shù)滿足條件。在回歸模型中檢驗假設(shè)：與DF檢驗（情形二）一樣，模型參數(shù)的OLS估計為：在成立時，上式可改寫為：以矩陣左乘上式兩端，得利用有關(guān)單位根過程的極限分布（參見第2節(jié)），可得其中，。將統(tǒng)計量的極限分布分離出來如下：可整理為()此式表明，的極限為兩項之和，其中

16、第一項是為獨立同分布時的極限分布(6.3.7)；第二項是由的自相關(guān)性產(chǎn)生的，當(dāng)獨立時，它等于零。說明(6.4.2)是(6.3.7)的推廣?？梢宰C明，統(tǒng)計量有以下極限分布： ()與(6.3.8)式相比，此式多了一個因子，它反映了擾動項自相關(guān)程度對的極限分布的影響。當(dāng)擾動項相互獨立時，從而有=1，(6.4.3)式就退化為(6.3.8)式?，F(xiàn)利用統(tǒng)計量對進(jìn)行修正，修正式如下： ()其中為的一致估計，結(jié)合()和(6.4.3)，有 ()可以看出，修正后的統(tǒng)計量與DF檢驗情形二中的統(tǒng)計量的極限分布(6.3.7)一致，從而可用相同的臨界值表。類似地，可以考慮統(tǒng)計量的極限分布和修正方法，根據(jù)()和(6.4.3

17、)，有()對t統(tǒng)計量修正如下： ()結(jié)合()和(6.4.6)，有如下極限分布： ()修正后的統(tǒng)計量與DF檢驗情形二中的t統(tǒng)計量有相同的極限分布(6.3.9)，從而可用相同的臨界值表。但是，修正統(tǒng)計量()與(6.4.7)不能直接用于檢驗，因為其中含有未知參數(shù)，必需再進(jìn)行修正。令 () ()其中、，q是殘差序列自相關(guān)的最大階數(shù)。理論上，可以證明，修正后的統(tǒng)計量的極限分布與() 、(6.4.8)相同，從而可由(6.4.9)或 (6.4.10)計算統(tǒng)計量的值，然后與DF檢驗臨界值表中情形二的臨界值進(jìn)行比較，以判斷序列是否存在單位根。此外，對于其它情形（情形一、四），Phillips&Perron證明了

18、，修正統(tǒng)計量和的極限分布與DF檢驗中對應(yīng)情形的極限分布相同，從而可使用DF檢驗的臨界值表。綜上所述，PP單位根檢驗法是針對擾動項存在序列相關(guān)性而提出的，該方法是對DF單位根檢驗法的進(jìn)一步推廣，其關(guān)鍵點是，在DF檢驗統(tǒng)計量的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，由于修正后的統(tǒng)計量與DF檢驗中的統(tǒng)計量有相同的極限分布，因此可借用DF檢驗臨界值表進(jìn)行檢驗。下面給出PP檢驗的步驟：（1） 以最小二乘法估計回歸模型，得到參數(shù)估計和殘差序列；（2） 計算殘差序列的樣本自協(xié)方差：， j=0,1,2,.及的估計值：其中，q的大小根據(jù)實際情況確定。若從某一階之后（比如從第h階之后），對的貢獻(xiàn)可忽略不記，則q取為h。構(gòu)造該估計量的Ne

19、wey和West建議q取3或4。（3） 計算參數(shù)估計量的標(biāo)準(zhǔn)差和殘差的估計方差。（4） 將上述計算結(jié)果代入或統(tǒng)計量的表達(dá)式，得到統(tǒng)計量的值，查臨界值并進(jìn)行比較，然后作出推斷。二、ADF （Augmented DickeyFuller）檢驗ADF （Augmented DickeyFuller）檢驗法由Dickey和Fuller于1979年提出，該方法是對DF檢驗的推廣，所以常稱為增廣DF檢驗。其特點是，假設(shè)時間數(shù)據(jù)序列是由一個P階自回歸過程AR（P）生成的，然后建立估計模型并進(jìn)行單位根檢驗。在介紹ADF檢驗法之前，先分析P階自回歸過程的特性。1、P階自回歸過程的特性假設(shè)時間序列服從AR(P)過

20、程：()其中，為白噪聲。利用滯后算子，可將上式表示為： ()令可將滯后多項式分解成： ()則()式可轉(zhuǎn)化為：整理可得： ()若服從()的序列有且只有一個單位根，則其特征方程：有且只有一個值為1的根，從而有：上式等價于。因此，對服從()的序列的單位根檢驗，就是檢驗?zāi)Ｐ?6.4.14)中是否有。將模型()與(6.3.1)對比可以發(fā)現(xiàn)，模型(6.4.14)中多了的p-1個滯后項。如果將這些滯后項歸到隨機(jī)擾動項中，則擾動項就成為序列相關(guān)的平穩(wěn)過程，這樣，在模型(6.4.14)中檢驗單位根，實際上就是對擾動項為一平穩(wěn)過程的單位根檢驗。因為事實上，由(6.4.13)式可得特征多項式的如下表示形式：當(dāng)序列有

21、且只有一個單位根時，從而有使上式左邊為零的根中，除了一個根為1外，其余的根全在單位圓之外。這一結(jié)論對于等式右邊也成立，因此的根全在單位圓之外。這樣，滯后多項式的逆存在，在 為真的情況下，()式可寫成： ()進(jìn)一步可表示為： ()其中，為一無窮階的滯后多項式。() 式恰好為模型(6.4.1)在時的形式。說明在模型(6.4.14)中檢驗單位根，與PP單位根檢驗在本質(zhì)上是相通的。正因如此，基于模型(6.4.14)的單位根檢驗被稱為增廣DF檢驗。2、ADF檢驗：與DF檢驗一樣，ADF檢驗也分為四種情形建立估計模型，并在其中進(jìn)行單位根檢驗。情形一：數(shù)據(jù)序列由模型()生成，并在其中單位根，即。情形二：數(shù)據(jù)

22、序列由模型()生成，在如下估計模型中檢驗。 ()情形三：數(shù)據(jù)序列由模型()生成，在其中檢驗。情形四：數(shù)據(jù)序列由模型()生成，在如下估計模型中檢驗。 ()首先考察情形二：（1）可以證明，在成立時，對模型()進(jìn)行最小二乘估計，得到的是的超一致估計，并且有如下極限： ()可見，此極限分布與DF檢驗情形二中統(tǒng)計量的極限分布(6.3.7)一致，從而可用相同的臨界值表。但是，上述統(tǒng)計量中含有未知參數(shù)，因此不能直接用于檢驗?，F(xiàn)用（j=1,2,p-1）的最小二乘估計代替，得修正統(tǒng)計量： ()該統(tǒng)計量的極限分布與()相同。（2）對于檢驗的t統(tǒng)計量，可以證明有如下極限分布：(6.4.21)此極限與DF檢驗情形二中

23、t統(tǒng)計量的極限分布(6.3.9)是完全一致的。說明在ADF檢驗中，不需要對t統(tǒng)計量進(jìn)行修正，就可直接利用DF檢驗中的臨界值表進(jìn)行檢驗。ADF與DF單位根檢驗的t統(tǒng)計量分布完全重合（T=100）這與PP檢驗形成鮮明對照。我們知道，在PP檢驗中，需要對t統(tǒng)計量進(jìn)行修正。其原因主要是，PP檢驗中對回歸系數(shù)的最小二乘估計沒有考慮受擾動項序列相關(guān)性的影響。當(dāng)擾動項序列相關(guān)時，最小二乘估計是的超一致估計，但t統(tǒng)計量的極限分布由于受擾動項序列相關(guān)性的影響而發(fā)生了變化，為了能借用DF檢驗臨界值表，就必須對t統(tǒng)計量進(jìn)行修正，修正后的統(tǒng)計量（見(6.4.10)）的極限分布才與DF檢驗情形二中t統(tǒng)計量的極限分布相同

24、。ADF檢驗則不同，在該檢驗法中，和是同時估計的，由于增添了的滯后項，隨機(jī)擾動項不再序列相關(guān)，因此在構(gòu)造t統(tǒng)計量時不需再作修正。（3）可以證明，滯后項的系數(shù)估計量有正態(tài)的極限分布，從而對參數(shù)的假設(shè)檢驗可由一般的t統(tǒng)計量和F統(tǒng)計量進(jìn)行檢驗，臨界值可在一般的t分布和F分布表中查得。（4）對于聯(lián)合假設(shè)，可用F統(tǒng)計量進(jìn)行檢驗。F統(tǒng)計量為(6.4.22)其中，為有約束的殘差平方和，為無約束的殘差平方和，2為假設(shè)中受約束的個數(shù)，p+1為模型中待估參數(shù)的個數(shù)。F檢驗統(tǒng)計量的極限分布存在，但不再是標(biāo)準(zhǔn)的F分布，相應(yīng)的臨界值已由人們用Monte Carlo模擬方法得到并編制成表供查。此外，Dickey和Full

25、er還證明了，對于情形一和情形四，檢驗的統(tǒng)計量：和t統(tǒng)計量：都有非常規(guī)的極限分布，它們的極限分布與DF檢驗中對應(yīng)情形的極限分布完全一致，從而可直接使用DF檢驗對應(yīng)情形的臨界值表。而對于情形三，t統(tǒng)計量的極限分布為常規(guī)的t分布，因此可用常規(guī)的t檢驗，臨界值由t分布表查得。上面我們對ADF檢驗的相關(guān)理論做了簡要介紹。在實際應(yīng)用中，出于理論上和實踐上的考慮，常用如下三種回歸模型進(jìn)行ADF檢驗：(6.4.23) (6.4.24) (6.4.25)在模型中引入足夠的滯后項，目的在于使殘差白化。因此，檢驗單位根的假設(shè)在上述模型中就變?yōu)椤Ｎ?、其它高效的單位根檢驗法簡介在樣本數(shù)較小時，DF單位根檢驗的檢驗功效是很低的，這時常常會將平穩(wěn)過程誤判為存在單位根。ADF與PP的檢驗功效盡管有所改善，但也并不讓人特別滿意。為了解決這個問題，人們從不同的角度，提出了各種提高單位根檢驗功效的檢驗方法。（一） WS（對