隨機過程課后習(xí)題

1、習(xí)題一1 設(shè)隨機變量X服從幾何分布，即：。求X的特征函數(shù)、EX及DX。其中是已知參數(shù)。2 （1）求參數(shù)為（p,b）的分布的特征函數(shù)，其概率密度函數(shù)為（2）求其期望和方差；（3）證明對具有相同的參數(shù)b的分布，關(guān)于參數(shù)p具有可加性。3設(shè)X是一隨機變量，F(xiàn)（x）是其分布函數(shù)，且是嚴(yán)格單調(diào)的，求以下隨機變量的特征函數(shù)。（1）； （2），并求（k為自然數(shù)）。4設(shè)相互獨立，具有相同的幾何分布，試求 的分布。5試證函數(shù) 為一特征函數(shù)，并求它所對應(yīng)的隨機變量的分布。6試證函數(shù) 為一特征函數(shù)，并求它所對應(yīng)的隨機變量的分布。7設(shè)相互獨立同服從正態(tài)分布，試求n維隨機向量的分布，并求出其均值向量和協(xié)方差矩陣，再求 的

2、概率密度函數(shù)。8設(shè)X、Y相互獨立，且（1）分別具有參數(shù)為(m, p)及(n, p)的二項分布；（2）分別服從參數(shù)為的分布。求X+Y的分布。9已知隨機向量（X, Y）的概率密度函數(shù)為試求其特征函數(shù)。10已知四維隨機向量服從正態(tài)分布，均值向量為0，協(xié)方差矩陣為，求。11設(shè)X1，X2 和X3相互獨立，且都服從，試求隨機變量和組成的隨機向量(Y1, Y2)的特征函數(shù)。12設(shè)X1，X2 和X3相互獨立，且都服從，試求：（1）隨機向量(X1, X2, X3)的特征函數(shù)；（2）設(shè)，求隨機向量(S1, S2, S3)的特征函數(shù)；（3）和組成的隨機向量(Y1, Y2)的特征函數(shù)。13設(shè)(X1, X2, X3)服

3、從三維正太分布，其中協(xié)方差矩陣為，且。試求。14設(shè)相互獨立同服從正態(tài)分布。試求 的期望。15設(shè)X、Y是相互獨立同分布的隨機變量，討論和 的獨立性。16設(shè)X、Y是相互獨立同服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的隨機變量，討論和 的獨立性。17設(shè)二維隨機變量的概率密度函數(shù)分別如下，試求。（1）（2）18設(shè)X、Y是兩個相互獨立同分布的隨機變量，X服從區(qū)間0, 1上的均勻分布，Y服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求（1）X與X+Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)；（2）D(X|Y=y)。19設(shè)Xn，n=1，±1，±2，是一列隨機變量，且 ，其中K是正常數(shù)。試求：（1）當(dāng)K>1時，Xn幾乎肯定收斂于0；（2）當(dāng)K&g

4、t;2時，Xn均方收斂于0；（3）當(dāng)K>3時，Xn不均方收斂于0。20設(shè)，試證明。習(xí)題二1設(shè)X(i = 1, 2, 3,)是獨立隨機變量列，且有相同的兩點分布 ，令， ，試求： （1）隨機過程Y(n), n = 0, 1, 2, 的一個樣本函數(shù)；（2）PY(1)=k及PY(2)=k之值；（3）PY(n)=k；（4）均值函數(shù)；（5）協(xié)方差函數(shù)。2設(shè)，其中A、B是相互獨立且有相同的分布的隨機變量，是常數(shù)，試求：（1）X(t)的一個樣本函數(shù)；（2）X(t)的一維概率密度函數(shù)；（3）均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。3設(shè)隨機過程 。其中，是相互獨立的隨機變量，且。 （1）求X(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)；（2

5、）證明 X(t)是正太過程。4設(shè)是參數(shù)的Wiener過程，求下列過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)：（1）； （2） ；（3）； （4）。5設(shè)到達某商店的顧客組成強度為的Poisson流，每個顧客購買商品的概率為p，且與其他顧客是否購買商品無關(guān)，若是購買商品的顧客流，證明是強度為的Poisson流。6在題5中，進一步設(shè)是不購買商品的顧客流，試證明與是強度分別為和的相互獨立的Poisson流。7設(shè)和分別是強度為和的獨立Poisson流。試證明：（1）是強度為的Poisson流；（2）在的任一到達時間間隔內(nèi)，恰有k個時間發(fā)生的概率為8設(shè)是Poisson過程，和分別是的第n個時間的到達時間和點間距距離。試證明

6、：（1）；（2）。9設(shè)某電報局接收的電報數(shù)組成Poisson流，平均每小時接到3次電報，求：（1）一上午（8點到12點）沒有接到電報的概率；（2）下午第一個電報的到達時間的分布。10設(shè)和分別是強度為和的獨立Poisson過程，令，求的均值函數(shù)與相關(guān)函數(shù)。11設(shè)是強度為的Poisson過程，T是服從參數(shù)為的指數(shù)分布的隨即變量，且與獨立，求0,T內(nèi)事件數(shù)N的分布律。習(xí)題三1. 證明Poisson隨機變量序列的均方極限是Poisson隨機變量。2. 設(shè)，是獨立同分布的隨機變量序列，均值為，方差為1，定義。證明。3. 研究下列隨機過程的均方連續(xù)性、均方可導(dǎo)性和均方可積性。（1），其中A、B是相互獨立的

7、二階矩隨機變量，均值為a、b，方差為、；（2），其中A、B、C是相互獨立的二階矩隨機變量，均值為a、b、c，方差為、；（3）是Poisson過程；（4）是Wiener過程.4. 試研究上題中過程的均方可導(dǎo)性，當(dāng)均方可導(dǎo)時，試求均方導(dǎo)數(shù)過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。 5. 求下列隨機過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)，從而判斷其均方連續(xù)性和均方可微性。（1），其中是常數(shù)，服從0,2上的均勻分布；（2）, 其中是參數(shù)為1的Wiener過程；（3），其中是參數(shù)為的Wiener過程。6. 均值函數(shù)為、相關(guān)函數(shù)為的隨機過程 輸入微分電路，該電路輸出隨機過程，試求的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)、與的互相關(guān)函數(shù)。7. 試求第3題中

8、可積過程的如下積分：，的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。8. 設(shè)隨機過程，其中V是均值為5、方差為1的隨機變量，試求隨機過程的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)與方差函數(shù)。9. 設(shè)是參數(shù)為的Wiener過程，求下列隨機過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。（1）；（2）；（3）。10. 求一階線性隨機微分方程的解及解的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)及解的一維概率密度函數(shù)，其中是均值為0、方差為的正態(tài)隨機變量。11. 求一階線性隨機微分方程的解及解的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)。(1) 其中是一已知的二階均方連續(xù)過程,是與獨立的均值為m、方差為的隨機變量。(2) 其中是一已知的均值函數(shù)為、相關(guān)函數(shù)為的二階均方連續(xù)過程。習(xí)題四1設(shè)隨機過程，其中A

9、具有Rayleigh分布，即其概率密度函數(shù)為式中服從區(qū)間0, 2上的均勻分布，且A、相互獨立，試研究X是否為平穩(wěn)過程。2設(shè)X是一平穩(wěn)過程，且滿足，稱X為周期平穩(wěn)過程，T為其周期，試證X的相關(guān)函數(shù)也是以T為周期的周期函數(shù)。3設(shè)X、Y是兩個相互獨立的實平穩(wěn)過程，試證明也是平穩(wěn)過程。4設(shè)是n階均方可微的平穩(wěn)過程，證明是平穩(wěn)過程，且。5設(shè)X(n)是一均值為0的平穩(wěn)時間序列，證明：（1）仍是一平穩(wěn)時間序列；（2）若數(shù)列A(n)絕對收斂，即，則仍是一平穩(wěn)時間序列；（3）若X(n)是一白噪聲，試求的相關(guān)函數(shù)及其譜函數(shù)。6設(shè)X(t)是雷達在t時的發(fā)射信號，遇目標(biāo)返回接收機的微弱信號是，是信號返回時間，由于接收

10、到的信號總是伴有噪聲的，記噪聲為N(t)，于是接收機接收到的全信號為：，若X、Y是平穩(wěn)相關(guān)的平穩(wěn)過程，試求；進而，若的均值為0，且與相互獨立，試求。7設(shè)，其中是服從區(qū)間0, 2上的均勻分布的隨機變量，試證：（1）是一平穩(wěn)時間序列；（2）不是平穩(wěn)過程。8設(shè)為零均值的正交增量過程，試證是一平穩(wěn)過程。9設(shè)是平穩(wěn)過程，均值，相關(guān)函數(shù)為，若（1）（2）令，T是固定的證書，分別計算的相關(guān)函數(shù)。10設(shè)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為，這里為常數(shù)。（1）判斷X是否為均方可導(dǎo)，說明理由；（2）計算和。11設(shè)寬平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為，對滿足隨機微分方程的寬平穩(wěn)過程解。（1）求X的均值函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度；（2）求X與

11、Y的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜密度。12設(shè)是均值為0的平穩(wěn)的正態(tài)過程，且二階均方可導(dǎo)。求證：對任意t>0，與相互獨立，但與不獨立，并求。13設(shè)是均方可導(dǎo)的實平穩(wěn)的正態(tài)過程，相關(guān)函數(shù)為，求其導(dǎo)數(shù)過程的一維、二維概率密度函數(shù)。14已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)（1）（2）（3）求譜密度。15已知平穩(wěn)過程（參數(shù)連續(xù)）的譜密度（1）（2）（3）求相關(guān)函數(shù)和平均功率。16設(shè)X、Y是兩平穩(wěn)相關(guān)過程，且，試證也是平穩(wěn)過程。又若X、Y的譜密度函數(shù)存在，使用X、Y的譜密度及互譜密度表出Z的譜密度。17設(shè)，其中為常數(shù)，是特征函數(shù)為f(t)的實隨機變量，證明X為平穩(wěn)過程的充要條件為f(1)=f(2)。18設(shè)X為平穩(wěn)正態(tài)過程

12、，是其相關(guān)函數(shù)，試證是一平穩(wěn)過程，且其標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)函數(shù)為19設(shè)是一平穩(wěn)過程，為其譜密度函數(shù)，試證：對任意的h>0，是平穩(wěn)過程（即平穩(wěn)過程具有平穩(wěn)增量），并求Y的譜函數(shù)。20設(shè)是均值為0、相關(guān)函數(shù)為的實正太平穩(wěn)過程，證明也是平穩(wěn)過程，并求其均值及相關(guān)函數(shù)。21設(shè)二階過程的均值函數(shù)為，相關(guān)函數(shù)為，其中都是常數(shù)。證明是一平穩(wěn)過程，并求其均值及相關(guān)函數(shù)。22設(shè)是白噪聲序列，試證明是平穩(wěn)時間序列，并求其相關(guān)函數(shù)及譜密度。23設(shè)為均方連續(xù)的平穩(wěn)過稱，具有譜密度，試證：對每個是平穩(wěn)序列，并用表出的譜密度。24設(shè)、是兩個互相獨立的實隨機變量，的分布函數(shù)是F(x)，試證明：為平穩(wěn)過程，且其譜函數(shù)就是。25設(shè)是

13、均方可導(dǎo)的平穩(wěn)過程，是其譜密度，試證（1）（2）均為平穩(wěn)過程，并求他們的譜密度。26設(shè)Y是均方二次可導(dǎo)的平穩(wěn)過程，X是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，且滿足：使用X的譜函數(shù)表示Y的譜函數(shù)及X與Y的互譜函數(shù)。27已知如圖所示的系統(tǒng)，其輸入X為一零均值的平穩(wěn)的正太過程，通過實驗測得Z的功率譜密度為（1）試證Y也為平穩(wěn)的，且；（2）利用（1）的結(jié)論分別求X和Y的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度。題27圖28設(shè)線性時不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，其中為常數(shù)，為單位階躍函數(shù)，系統(tǒng)的輸入X是自相關(guān)函數(shù)為的平穩(wěn)過程。試求：（1）系統(tǒng)輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù)。（2）輸出的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。29設(shè)隨機過程，其中A和B是相互獨立的零均值隨機

14、變量，且。試研究X的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。30設(shè)隨機過程，其中是相互獨立的隨機變量，且服從區(qū)間上的均勻分布。試研究X的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。31設(shè)隨機過程，其中是相互獨立的隨機變量，其中A的均值為2，方差為4，且服從區(qū)間上的均勻分布，服從區(qū)間(-5,5)上的均勻分布。試研究X的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。32設(shè)平穩(wěn)過程的期望為m，自相關(guān)函數(shù)為，協(xié)方差函數(shù)為。（1）若，試證明X的均值各態(tài)歷經(jīng)；（2）若，且當(dāng)時，試證明X的均值各態(tài)歷經(jīng)。33設(shè)平穩(wěn)過程的均值，相關(guān)函數(shù)，其中A、a是常數(shù)。問X的均值是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。習(xí)題五1設(shè)是相互獨立的隨機變量序列，試問下

15、列的是否是馬氏鏈，并說明理由：（1）；（2）。2是隨機差分方程的解，其中是已知常數(shù)，而是獨立同分布的取可數(shù)值的隨機變量。試證明是馬氏鏈。3有兩個狀態(tài)0和1的馬氏鏈，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為試證：（1）當(dāng)時，有 （2）特別地，當(dāng)時有（3）試求概率。4有三個黑球和三個白球，把這六個球任意等分給甲、乙兩個袋中，并把甲袋中的白球數(shù)定義為該過程的狀態(tài)，則有四種狀態(tài)：0,1,2,3。現(xiàn)每次從甲、乙袋中各取一球，然后互相交換，即把從甲袋中取出的球放入乙袋，而把從乙袋中取出的球放入甲袋，經(jīng)過n次交換過程的狀態(tài)記為Xn。試問過程是否是馬氏鏈？如果是，試計算其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。5設(shè)一個有三個狀態(tài)的馬氏鏈，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概

16、率為其中。試求首達概率和。6設(shè)馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣分別表示如下：（1）試對S進行分類，并說明各狀態(tài)的類型；（2）求平穩(wěn)分布，其平穩(wěn)分布是否唯一？為什么？（3）求，。7試討論齊次馬氏鏈的平穩(wěn)概率的存在性和唯一性問題，若存在，如何求出其所有的平穩(wěn)概率？并舉例說明。8考慮一個狀態(tài)為0，1，2，的馬氏鏈，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為試證明此馬氏鏈?zhǔn)遣豢杉s、非周期、正常返的，并求其平穩(wěn)概率。9假定今天下雨，則明天仍下雨的概率為，而如果今天不下雨，則明天下雨的概率為，試求下雨的極限概率。10考慮一個有平穩(wěn)概率的不可約非周期馬氏鏈，設(shè)其初始分布為，記則Q可看作為一個馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣，試證明：11設(shè)有兩個相同部件，工

17、作時的壽命均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，儲備時的壽命均服從參數(shù)為的指數(shù)分布。開始時一個部件工作，一個部件儲備，當(dāng)工作部件失效時立即進行修理，修理時間服從參數(shù)為的指數(shù)分布；當(dāng)一個部件在修理時，若另一個也失效，則等待先修理者修理完畢后立即進行修理；當(dāng)一個失效部件修理完畢時，若另一個部件正在工作，則做儲備，否則立即開始工作。試求t時有部件工作的概率。12設(shè)N(t)是率為的Poisson過程，是獨立同分布取整數(shù)值的隨機變量序列，令試證：（1）X(t)是一馬氏過程；（2）求X(t)的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)。13設(shè)有兩個串行微處理器和兩個緩沖器組成如題13圖所示的系統(tǒng)。請求到達后依次經(jīng)過和的處理；每個周期有一個請

18、求到達的概率為p，沒有請求到的概率為；到達的請求存放在中的容量分別為和（包括處理器正在處理的請求）。請求的到達與在及上的處理時間相互獨立。試建立描述上述系統(tǒng)的馬爾可夫鏈模型，其穩(wěn)態(tài)分布是否存在？如存在，試求出其穩(wěn)態(tài)分布。題13圖14考慮一出租汽車站，其出租汽車到站和顧客到站分別按率為和的獨立泊松分布過程進行（其中）。一輛出租車來到，不管出租車隊伍多長都得等待，而一個顧客來到時僅當(dāng)?shù)却念櫩蛿?shù)不超過2時他才等待。假設(shè)時間足夠長后系統(tǒng)達到平衡狀態(tài)，試求等待出租車的平均顧客數(shù)和一個顧客來到時不需要等待就能坐上出租車的概率。15試述離散時間馬氏鏈與連續(xù)時間馬氏過程間的聯(lián)系及其相同點和不同點（從狀態(tài)分類

19、，極限情況等來討論）。16考慮具有k個通道的電話交換機，如果所有k條線都被占用，則一次呼叫來到時就被丟失了，呼叫電話規(guī)律服從比率為的泊松過程，呼話的長短具有平均值為的獨立指數(shù)分布的隨機變量。試求在系統(tǒng)達到平穩(wěn)時一次呼叫來到時被丟失的概率。17設(shè)為有7個狀態(tài)的時齊馬氏過程，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移強度矩陣Q如下所示，其中的*號表示非零值，試說明各狀態(tài)的類型和周期。18假如在例中的兩個部件不同型，即它們的壽命分布和修理時間分布都是不相同的，但都是指數(shù)分布，試研究此時的系統(tǒng)。19設(shè)某金工車間有M臺車床，由于經(jīng)常需要測量和調(diào)換刀具等原因，各車床總是時而停止，時而工作。假定在時刻t時，一臺車床正在工作，但在時刻時停止

20、工作的概率為；再假定在時刻t時，一臺車窗不工作，而在時刻時這臺車床在工作的概率為；而且各車床的工作情況是相互獨立的，如果用表示時刻t正在工作的車床數(shù)。（1）說明是一齊次馬爾可夫過程；（2）求出它的平穩(wěn)分布；（3）特別當(dāng)時，求出在平穩(wěn)狀態(tài)時有一半以上車床在工作的概率。20試證明參數(shù)為(>0)的泊松過程是一個時間t連續(xù)狀態(tài)離散的馬爾可夫過程。21對M/M/K排隊系統(tǒng)，記表示此系統(tǒng)在t時的隊長，要求：（1）說明是一個生滅過程，并寫出其Q矩陣；（2）列出柯爾莫哥洛夫微分方程，并研究其平穩(wěn)分布的存在性和計算問題。習(xí)題六1在例中，如果假定報酬不是在第n次更新時刻時一次性得到，而是在中連續(xù)地、一點一點

21、地得到的，試證明命題中的結(jié)論仍成立。2試寫出現(xiàn)時壽命的分布函數(shù)及其極限。3試寫出現(xiàn)時壽命和剩余壽命的聯(lián)合分布函數(shù)及其極限。4試對Poisson過程而言，求出現(xiàn)時壽命和剩余壽命的聯(lián)合分布函數(shù)和它們各自的分布函數(shù)。5試舉例說明期望總壽命大于期望更新間隔時間。6試證明以下結(jié)論：對常返狀態(tài)i，若在(X,T)中正常返且，則i在X中正常返且；反過來，若i在X中正常返且，則i在(X,T)中正常返。7記為包含t的更新間隔長度，試證明并對Poisson過程計算。8試證明下式：9對一個更新分布為非格的更新過程，試證明以下兩式：10設(shè)有一個過程，它有三個狀態(tài)：1、2、3，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移是1231的循環(huán)形式，在狀態(tài)1、2、3處的逗留時間分別服從分布函數(shù)，試求以此，試求n個狀態(tài)的類似問題。11有一個計數(shù)器，粒子的到達服從間隔分布為F的更新過程，計數(shù)器每記錄一個粒子后鎖住一段固定時間L，在此期間，它不能記錄任何到達的粒子。試求從鎖住結(jié)束到下一個粒子到達的時間長度的分布函數(shù)。12設(shè)顧客相繼到達一個汽車站形成一個均值為的更新過程，當(dāng)有N個顧客時就發(fā)出一輛汽車。假定汽車站需給逗留在汽車站的每一個顧客以率支付費用。需研究汽車站在長期運行下單位時間的費用。13設(shè)某更新過程的更新密度為其中是固定的，試計算概率。14設(shè)某更新過程的更新密度是，試證明其