錯位相減法數(shù)列求和法

1、特定數(shù)列求和法錯位相減法在高中所學的數(shù)列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、數(shù)學歸納法、裂項相消法、錯位相減法等等，在此處我們就只著重講解一種特定數(shù)列求和的方法錯位相減法。那到底什么是錯位相減法呢？現(xiàn)在咱們來回憶當初學習等比數(shù)列時老師是怎么一步步推導出等比數(shù)列的求和公式的，下面是推導過程：數(shù)列是由第一項為，且公比為的等比數(shù)列，它的前項和是 ，求 的通項公式。 解 由已知有 ， 兩端同乘以，有 -得 當時，由可得 當時，由可得 于是 或者 通過上述推導過程老師運用了一種特殊的推導方法將本來很復(fù)雜的運算簡化了，從而得到等比數(shù)列的求和公式，這種方法叫錯位相減法，那我們是不是遇到復(fù)雜的運算就都可

2、以用這種方法呢？答案當然不是，我們仔細觀察這推導過程，就會發(fā)現(xiàn)其實錯位相減法是用來計算一個等比數(shù)列乘以一個等差數(shù)列而成的復(fù)雜數(shù)列的?？梢詺w納數(shù)學模型如下：已知數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，數(shù)列，求數(shù)列的前項和.解 由已知可知 兩端同乘以可得 = 由-得化簡得 許許多多的高考試題以及課后習題證明了不是所有的數(shù)列題目都會很直接地寫明所求數(shù)列是一個等比數(shù)列乘以一個等差數(shù)列的形式，通過對最近幾年高考中的數(shù)列題的分析總結(jié)出了以下幾種錯位相減法求和類型： 所求數(shù)列中的等差數(shù)列是已知這第一種類型的題顧名思義是所求的復(fù)雜數(shù)列中直接給出其中一個是等差數(shù)列，則只要證明或者求出

3、另一個是等比數(shù)列，那么就可以用錯位相減法來求解該題，同時如果另一個不能被證明是等比數(shù)列就不能用錯位相減法來求解，得另找他法了.例1.（2013湖南文）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知：.（1）求，并求數(shù)列的通項公式（2）求數(shù)列的前項和.分析：在本題中第二問要求的是數(shù)列的前項和，其中的an我們不能直接知道是什么數(shù)列，可以由做題經(jīng)驗看出是公差為1的等差數(shù)列，所以在本題中要先求出，證明是等比數(shù)列以后，則才可以用錯位相減法求解.解 (1)令得 因為 所以 令,得 ，當時,由 ， ,兩式相減得 ,即 .故數(shù)列是由首項為1,公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)知,.記數(shù)列的前項和為.于是 , ,

4、 -得 .例2（2010新課標卷理）設(shè)數(shù)列滿足.（1） 求數(shù)列的通項公式；（2） 令，求數(shù)列的前n項和解 （1）由已知，當時，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由知 ， 從而 ， -得 ，即 .評析：在上述兩個例題中的第一問中都是先求出了是等比數(shù)列，所以此時的就是一個等比數(shù)列乘以一個等差數(shù)列而成的復(fù)雜數(shù)列，符合模型要求，最后才可以用錯位相減法快速地求出的前項和.所求數(shù)列中的等比數(shù)列是已知這種類型的題與第一種類型題相反，就是在所求的復(fù)雜數(shù)列中直接寫明其中一個是等比數(shù)列，只要求出或者證明另一個是等差數(shù)列，則我們就可以用錯位相減法來求解該題，如果另一個不是等差數(shù)列則我們就不能用錯位相減法來求解，下面我們又

5、來看看這類題型的應(yīng)用。例3.（2013遼寧理17）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.分析：在本題中最終要求的是數(shù)列的前項和，其中的不能直接知道是什么數(shù)列，要通過已知求解，我們可以由做題經(jīng)驗看出是以公比為的等比數(shù)列，故在本題中我們要先求出，證明它是等差數(shù)列以后，則才可以用錯位相減法求出數(shù)列的前項和.解（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，從已知條件可知道：， 解得故數(shù)列的通項公式為（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，即 故，所以當時， -有： ，又 所以故 .例4.（2012江西理16）已知數(shù)列an的前n項和為Snn2kn(kN*)，并且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k，并求an；(2

6、)求數(shù)列的前n項和Tn.分析：在本題第二問中要求的是數(shù)列的前項和，其中的不能直接知道是什么數(shù)列，要通過已知求解，可以由數(shù)學經(jīng)驗看出是公比為的等比數(shù)列，所以在本題中要先求出，證明它是等差數(shù)列后，才可以用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和。解（1）根據(jù)題目可知，當nkN*時，Snn2kn取得最大值，即8Skk2k2k2，故 k216(kN)，因此k4，從而 anSnSn1n(n2)又a1S1， 所以ann.（等差數(shù)列）(2) 設(shè) ，將an 代入得 Tnb1b2bn，所以Tn2TnTn.評析：在上述兩題中的第一題中先證明了是等差數(shù)列，所以此時的就是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積形式，符合模型要求；第二題

7、中，先在第一問求出了的公式，再根據(jù)這個公式求出了是等差數(shù)列，所以此時的也是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積形式，符合模型要求，最后我們在這兩個題中才借用錯位相減法來快速地求出所求數(shù)列的前項和.所求數(shù)列中的等比數(shù)列和等差數(shù)列都未知求解這種類型的題的難度就比較大了，因為在所求的復(fù)雜數(shù)列中不能直接明顯地看出它其中包含的等差數(shù)列和等比數(shù)列，則需要根據(jù)題目已知來找出或者證明所求數(shù)列是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積，這樣才能依據(jù)錯位相減法來計算結(jié)果。例5. (2013山東.理) 設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且 （1） 求數(shù)列的通項公式； （2） 設(shè)數(shù)列的前項和，且為常數(shù)），令.求

8、數(shù)列的前項和. 分析：本題中要求的是數(shù)列的前項和，其中不能直接知道是什么數(shù)列，在第二問中又知道和有關(guān)系，所以在本題的第一問中我們要先求出，再在第二問中將求出，最后當滿足錯位相減法的條件后我們就可以用錯位相減法來求解了. 解：（1）由為等差數(shù)列，可得 所以 （2）由 得 當時， , -可得 ，所以當時， ， ， -得 ， 當時， ，即 .例6.（2009上海青浦區(qū)）設(shè)數(shù)列的前和為，已知，一般地，（）（1）求；（2）求；（3）求和：分析：本題中要求的是的和，雖然不能直接看出它是數(shù)列，但可以抱著這樣的心態(tài)來看看，通過第二問中的來求出那一串的和，也許可以轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積形式，那么就可以用錯位相減法來求和了.解 （1）略；（2）當時，（），所以 （） （3） 與（2）同理可求得：，設(shè) =，兩式相減得 ，所以 評析：在上述兩題中，都不能直接知道所求的是什么形式的數(shù)列，所以只能從題目中找出相關(guān)條件，將所求的結(jié)論轉(zhuǎn)化成一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積形式，使之符合模型要求，這樣才能在這兩個題中借用錯位相減法來快速地求出所求結(jié)果?？?結(jié)數(shù)列求和不僅在高中數(shù)學中有著十分重要的作用，也是學習高等代數(shù)的基礎(chǔ)，有著承前啟后的作用，本文通過對一般形式下錯位相減法的運算再現(xiàn)，使我們體會錯位相減法的內(nèi)在規(guī)律，感受數(shù)學解題思