輔導(dǎo)講義弧長和扇形的面積圓錐的側(cè)面積和全面積

1、輔導(dǎo)：弧長和扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積一、弧長和扇形的面積：活動一因?yàn)?60的圓心角所對弧長就是圓周長C=2R，所以1的圓心角所對的弧長是 .這樣，在半徑為R的圓中，n的圓心角所對的弧長l = .活動二類比弧長的計(jì)算公式可知：在半徑為R的圓中，圓心角為n的扇形面積的計(jì)算公式為：S= .活動三扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式比較扇形面積計(jì)算公式與弧長計(jì)算公式，可以發(fā)現(xiàn)：可以將扇形面積的計(jì)算公式：S=R2化為S=R，從面可得扇形面積的另一計(jì)算公式：S= .二、圓錐的側(cè)面積和全面積：1圓錐的基本概念： 的線段SA、SA1叫做圓錐的母線， 的線段叫做圓錐的高2.圓錐中的各元素與它的側(cè)面展開圖扇形的各元素

2、之間的關(guān)系：將圓錐的側(cè)面沿母線l剪開，展開成平面圖形，可以得到一個(gè)扇形，設(shè)圓錐的底面半徑為r，這個(gè)扇形的半徑等于 ，扇形弧長等于 3圓錐側(cè)面積計(jì)算公式圓錐的母線即為扇形的半徑，而圓錐底面的周長是扇形的弧長，這樣，S圓錐側(cè)=S扇形=2r l = rl4圓錐全面積計(jì)算公式S圓錐全=S圓錐側(cè)S圓錐底面= r l r 2=r（l r）三、例題講解：例1、（2011德州，11，4分）母線長為2，底面圓的半徑為1的圓錐的側(cè)面積為 例2、（2011年山東省東營市，21，9分）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D均在已知圓上，ADBC，BD平分ABC，BAD=120，四邊形ABCD的周長為15（1）求此圓的半徑；（2）

3、求圖中陰影部分的面積例3、（2010廣東，14，6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0），P的半徑為2，將P沿x軸向右平移4個(gè)單位長度得P1（1）畫出P1，并直接判斷P與P1的位置關(guān)系；（2）設(shè)P1與x軸正半軸，y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，求劣弧AB與弦AB圍成的圖形的面積（結(jié)果保留）yx3O12312332112456四、同步練習(xí)：1、（2012北海,11，3分）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，則頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長為：（ ）ABCDEF（第3題）OABCOD第2題圖A10BCDABC第1題圖2、（2012北海,12

4、，3分）如圖，等邊ABC的周長為6，半徑是1的O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在ABC外部按順時(shí)針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，則O自轉(zhuǎn)了：（ ）A2周B3周C4周D5周3、（2012湖北咸寧，7，3分）如圖，O的外切正六邊形ABCDEF的邊長為2，則圖中陰影部分的面積為（ ）ABCD4、（2012四川內(nèi)江，8，3分）如圖2，AB是O的直徑，弦CDAB，CDB30，CD2，則陰影部分圖形的面積為（ ）第11題A4B2CD第9題ABDCO圖2 5、（2012湖南省張家界市14題3分）已知圓錐的底面直徑和母線長都是，則圓錐的側(cè)面積為_.6、（2012哈爾濱，題號16分值 3）一個(gè)

5、圓錐的母線長為4，側(cè)面積為8，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是 7、（2012江蘇省淮安市，17，3分）若圓錐的底面半徑為2cm，母線長為5cm，則此圓錐的側(cè)面積為 cm28、（2012四川達(dá)州，11，3分）已知圓錐的底面半徑為4，母線長為6，則它的側(cè)面積是 .（不取近似值）9、（2012年廣西玉林市，16，3）如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當(dāng)CN=CO時(shí)，NMB的度數(shù)是 .10、(2012廣安中考試題第15題，3分)如圖6，RtABC的邊BC位于直線l上，AC=，ACB=90o，A=30o，若RtABC由現(xiàn)在的位置向右無滑動地翻轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第3次落在直線上l時(shí)，點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長為_（結(jié)果用

6、含的式子表示）ABCl圖611、（2011丹東，14，3分）如圖，將半徑為3cm的圓形紙片剪掉三分之一，余下部分圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高是 第12題圖AOBDC12、（2012貴州貴陽，23，10分）如圖，在O中，直徑AB=2，CA切O于A，BC交O于D，若C=45，則（1）BD的長是 ；（5分）（2）求陰影部分的面積. （5分）13、（2012浙江省義烏市，20，8分）如圖,已知AB是O的直徑,點(diǎn)C、D在O上,OABCDE點(diǎn)E在O外,EAC=D=60. （1）求ABC的度數(shù)；（2）求證：AE是O的切線； （3）當(dāng)BC=4時(shí)，求劣弧AC的長.14、（2012年吉林省，第23題、7分）

7、如圖，在扇形OAB中，AOB=90，半徑OA=6將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊點(diǎn)O恰好落在弧AB上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，求整個(gè)陰影部分的周長和面積15、（2011甘肅蘭州，25，9分）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點(diǎn)A、B、C.（1）請完成如下操作：以點(diǎn)O為原點(diǎn)、豎直和水平方向所在的直線為坐標(biāo)軸、網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面直角坐標(biāo)系；用直尺和圓規(guī)畫出該圓弧所在圓的圓心D的位置（不用寫作法，保留作圖痕跡），并連結(jié)AD、CD.（2）請?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上，完成下列問題：寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：C 、D ；D的半徑= （結(jié)果保留根號）；若扇形ADC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底

8、面面積為 （結(jié)果保留）；若E（7，0），試判斷直線EC與D的位置關(guān)系并說明你的理由.ABCO參考答案例1、考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算。專題：計(jì)算題。分析：先計(jì)算出底面圓的周長，它等于圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長，而母線長為扇形的半徑，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可解答：解：圓錐的底面圓的半徑為1，圓錐的底面圓的周長=21=2，圓錐的側(cè)面積=22=2故答案為：2點(diǎn)評：本題考查了圓錐的側(cè)面積公式：S=圓錐側(cè)面展開圖為扇形，底面圓的周長等于扇形的弧長，母線長為扇形的半徑例2、考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理專題：幾何圖形問題分析：（1）根據(jù)條件可以證得四邊形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=

9、DC，DBC=90，在直角BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC，根據(jù)四邊形ABCD的周長為15，即可求得BC，即可得到圓的半徑；（2）根據(jù)S陰影=S扇形AODSAOD即可求解解答：解：（1）ADBC，BAD=120ABC=60又BD平分ABC，ABD=DBC=ADB=30 = = ，BCD=60AB=AD=DC，DBC=90又在直角BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DCBC+ BC=15BC=6此圓的半徑為3（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為O，由（1）可知O即為圓心連接OA，OD，過O作OEAD于E在直角AOE中，AOE=30OE=OAcos30= SAOD= 3= 點(diǎn)評：本題主要考查了扇形的面積的計(jì)算

10、，正確證得四邊形ABCD是等腰梯形，是解題的關(guān)鍵例3、考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算分析：（1）根據(jù)題意作圖即可求得答案，注意圓的半徑為2；（2）首先根據(jù)題意求得扇形BP1A與BP1A的面積，再作差即可求得劣弧錯(cuò)誤！未找到引用源。與弦AB圍成的圖形的面積解答：解：（1）如圖：P與P1的位置關(guān)系是外切；（2）如圖：BP1A=90，P1A=P1B=2，S扇形BP1A= =， SAP1B= 22=2，劣弧 與弦AB圍成的圖形的面積為：2點(diǎn)評：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系以及扇形面積的求解方法題目難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用四、1、【解析】ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6

11、0，頂點(diǎn)A經(jīng)過的路徑是以C為圓心AC為半徑，圓心角為60的弧，根據(jù)弧長公式，可求路徑長為【答案】C【點(diǎn)評】考查的知識點(diǎn)有網(wǎng)格中的勾股定理（求AC），圖形的旋轉(zhuǎn)，弧長公式。中等難度的題型。2、【解析】三角形的周長恰好是圓周長的三倍，但是圓在點(diǎn)A、B、C處分別旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，沒有滾動，在三個(gè)頂點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)的角度之和是三角形的外角和360。所以O(shè)自轉(zhuǎn)了4圈?！敬鸢浮緾【點(diǎn)評】本題最容易出錯(cuò)的地方就是在頂點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)，難度較大。如果學(xué)生能動手操作一下，正確答案就出來了。3、【解析】圖中陰影部分的面積等于：三角形AOB面積扇形AOB面積，不難知道，AOB為等邊三角形，可求出AOB邊AB上的高是，扇形AOB圓心

12、角O60，半徑OA，從而陰影部分的面積是2，故選A【答案】A【點(diǎn)評】本題著重考查了扇形面積的計(jì)算及解直角三角形的知識，以及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，有一定綜合性，難度中等4、【解析】如下圖所示，取AB與CD的交點(diǎn)為E，由垂徑定理知CE，而COB2CDB60，所以O(shè)C2，OEOC1，接下來發(fā)現(xiàn)OEBE，可證OCEBED，所以S陰影S扇形COB22ABDCO圖2E【答案】D【點(diǎn)評】圓的有關(guān)性質(zhì)是中考高頻考點(diǎn)，而圖形面積也是多數(shù)地方必考之處，將它們結(jié)合可謂珠聯(lián)璧合解答此題需在多處轉(zhuǎn)化：一是將陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形面積問題解決；二是由圓周角度數(shù)求出圓心角度數(shù)；三是發(fā)現(xiàn)圖中存在的全等三角形，這一點(diǎn)是解題關(guān)鍵5、【

13、分析】S側(cè)=rl=10=50.【解答】50【點(diǎn)評】圓錐的側(cè)面積S側(cè)=2rl=rl（其中r是圓錐底面圓的半徑，l是母線的長）.6、【解析】本題考查圓錐展開圖及側(cè)面積計(jì)算公式.設(shè)半徑為r，圓錐側(cè)面積即展開圖扇形的面積，根據(jù)S扇=lR,即8=24，得r=2.【答案】2【點(diǎn)評】在解決圓錐的計(jì)算問題時(shí)，要把握好兩個(gè)相等關(guān)系：圓錐側(cè)面展開圖（扇形）的半徑R等于圓錐的母線長，扇形的弧長等于圓錐的底面周長幾乎所有圓錐計(jì)算問題都是從這兩個(gè)對應(yīng)關(guān)系入手解決的7、【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式=rl計(jì)算，此圓錐的側(cè)面積=25=10【答案】10【點(diǎn)評】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算解題思路：解決此類問題時(shí)要緊緊抓

14、住兩者之間的兩個(gè)對應(yīng)關(guān)系：圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長正確對這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵8、解析：圓錐的側(cè)面積可由公式來求，這里R=6，l=8，因此S=24。答案：24點(diǎn)評：本題考查了圓錐的側(cè)面展開及其側(cè)面積的求法，初步考查學(xué)生的空間觀點(diǎn)，注意本題不要與全面積相混淆。9、分析：首先連接OB，由矩形的性質(zhì)可得BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，BOC的度數(shù)，又由圓周角定理求得NMB的度數(shù)解答：解：連接OB，CN=CO，OB=ON=2OC，四邊形OABC是矩形，BCO=90，cosBOC=，BOC=60，NMB= BOC=30故答案為：30點(diǎn)

15、評：此題考查了圓周角定理、矩形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值此題難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用10、思路導(dǎo)引：確定路線長度，由于路線是圓弧，因此確定旋轉(zhuǎn)角，與旋轉(zhuǎn)半徑是解決問題的關(guān)鍵，；解析：計(jì)算斜邊長度是2，第一次經(jīng)過路線長度是，第二次經(jīng)過路線長度是，第三次經(jīng)過路線長度與第二次經(jīng)過路線長度相同，也是，所以當(dāng)點(diǎn)A三次落在直線l上時(shí)，經(jīng)過的路線長度是2（）=2=點(diǎn)評：解答旋轉(zhuǎn)問題，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)半徑以及旋轉(zhuǎn)角度是前提，另外計(jì)算連續(xù)的弧長問題，注意旋轉(zhuǎn)規(guī)律，進(jìn)行多次循環(huán)旋轉(zhuǎn)的有關(guān)弧長之和的計(jì)算.11、考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算。專題：計(jì)算題。分析：算出圍成圓錐的扇形的弧長，除以2即為圓

16、錐的底面半徑，利用勾股定理即可求得圓錐的高解答：解：圍成圓錐的弧長為 =4cm，圓錐的底面半徑為42=2cm，圓錐的高為=1cm故答案為1cm點(diǎn)評：考查圓錐的計(jì)算；得到圓錐的底面半徑是解決本題的突破點(diǎn)；用到的知識點(diǎn)為：圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長12、解析： （1）由CA切O于A，得A=90，再結(jié)合C=45，得B=45.連接AD，則由直徑AB=2，得ADB=90.故BD=ABcos45=2cos45=；（2）運(yùn)用代換得到陰影部分的面積等于ACD的面積.解：（1）填；（2）由（1）得，AD=BD.弓形BD的面積=弓形AD的面積，故陰影部分的面積=ACD的面積.CD=AD=BD=，SACD=

17、CDAD=1，即陰影部分的面積是1.點(diǎn)評：本題主要考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及割補(bǔ)法，解法較多，有利于考生從自己的角度獲取解題方法，中等偏下難度.13、【解析】（1）根據(jù)相等的弧長對應(yīng)的圓周角相等，得ABC=D =60。（2）直徑對應(yīng)的圓周角為直角，則由三角形內(nèi)角和為180，得出BAC的大小，繼而得出BAE的大小為90，即AE是O的切線。（3）由題意易知，OBC是等邊三角形，則由劣弧AC對應(yīng)的圓心角可求出劣弧AC的長。20解：（1）ABC與D都是弧AC所對的圓周角 ABC=D =60 2分（2）AB是O的直徑 ACB=90 3分BAC=30BAE =BACEAC=306

18、0=90 4分即BAAE AE是O的切線 5分OABCDE（3） 如圖，連結(jié)OCOB=OC,ABC=60OBC是等邊三角形OB=BC=4 , BOC=60AOC=1207分劣弧AC的長為 8分【點(diǎn)評】此題考查圓弧的長與其對應(yīng)的圓心角、圓周角的關(guān)系，及三角形的內(nèi)角和為180。相等的弧長對應(yīng)的圓周角、圓心角相等14、【解析】陰影部分的周長包括線段AC+CD+DB的長和弧AB的長由折疊的性質(zhì)可知，AC+CD=OA=6;DB=OB=6.故周長可求求面積需要連接OD,證明ODB是正三角形，得到CBO=30，求出OC的長，陰影部分的面積=2.【答案】解：連接ODOB=OD,OB=BDODB是等邊三角形DBO=60OBC=CBD=30在RtOCB中，OC=OBtan30=有圖可知，CD=OC,DB=OB弧AB+AC+CD+DB=26+6=12+6【點(diǎn)評】此題考查了折疊的性質(zhì)、扇形面積公式、弧長公式以及直角三角形的性質(zhì)此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法15、考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理；直線與圓的位置關(guān)系；圓錐的計(jì)算；作圖復(fù)雜