重慶大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)微分方程

1、重 慶 大 學(xué)學(xué) 生 實(shí) 驗(yàn) 報(bào) 告實(shí)驗(yàn)課程名稱 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 開課實(shí)驗(yàn)室 DS1402 學(xué) 院 年級 專業(yè)班 學(xué) 生 姓 名 學(xué) 號 開 課 時(shí) 間 2014 至 2015 學(xué)年第 二 學(xué)期總 成 績教師簽名數(shù) 學(xué) 與 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 院 制開課學(xué)院、實(shí)驗(yàn)室： 實(shí)驗(yàn)時(shí)間 ： 年 月 日課程名稱數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名 稱微分方程求解實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目類型驗(yàn)證演示綜合設(shè)計(jì)其他指導(dǎo)教師龔劬成 績實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 歸納和學(xué)習(xí)求解常微分方程(組)的基本原理和方法；2 掌握解析、數(shù)值解法，并學(xué)會用圖形觀察解的形態(tài)和進(jìn)行解的定性分析；3 熟悉MATLAB軟件關(guān)于微分方程求解的各種命令；4 通過范例學(xué)習(xí)建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型以及求

2、解全過程； 通過該實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握微分方程(組)求解方法（解析法、歐拉法、梯度法、改進(jìn)歐拉法等），對常微分方程的數(shù)值解法有一個(gè)初步了解，同時(shí)學(xué)會使用MATLAB軟件求解微分方程的基本命令，學(xué)會建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型。這對于學(xué)生深入理解微分、積分的數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)的分析思維方法，熟悉處理大量的工程計(jì)算問題的方法是十分必要的?；A(chǔ)實(shí)驗(yàn)1 微分方程及方程組的解析求解法；2 微分方程及方程組的數(shù)值求解法歐拉、歐拉改進(jìn)算法；3 直接使用MATLAB命令對微分方程(組)進(jìn)行求解(包括解析解、數(shù)值解)；4 利用圖形對解的特征作定性分析；5 建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型，并了解建立數(shù)學(xué)模型的全過程。

3、實(shí)驗(yàn)過程1求微分方程的解析解, 并畫出它們的圖形， （1） y= y + 2x, y(0) = 1, 0<x<1; （2） y+ycos(x) = 0, y(0)=1, y(0)=0;解:(1) M文件： k=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')ezplot(k,0,1)運(yùn)行結(jié)果： k = -2*x-2+3*exp(x) （2）M文件： x=dsolve('D2y+y*cos(x)=0','y(0)=1,Dy(0)=0') ezplot('x')運(yùn)行結(jié)果： x

4、= cos(cos(x)(1/2)*t)2用向前歐拉公式和改進(jìn)的歐拉公式求方程y= y - 2x/y, y(0) = 1 (0x1,h = 0.1) 的數(shù)值解，要求編寫程序，并比較兩種方法的計(jì)算結(jié)果，說明了什么問題？解：向前歐拉公式的M文件：x(1)=0;y(1)=1;h=0.1;for i=1:10 x(i+1)=x(i)+h; y(i+1)=y(i)+h*(y(i)-2*x(i)/y(i); double(y(i+1);disp(y(i+1)end運(yùn)行結(jié)果： 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.7

5、848改進(jìn)歐拉公式的M文件：x(1)=0;y(1)=1;h=0.1;for i=1:10 x(i+1)=x(i)+h; k1=y(i)-2*x(i)/y(i); k2=y(i)+h*k1-2*x(i+1)/(y(i)+h*k1); y(i+1)=y(i)+0.5*h*(k1+k2); double(y(i+1); disp(y(i+1)end運(yùn)行結(jié)果： 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.78481.0959 1.1841 1.2662 1.3434 1.4164 1.4860 1.5525 1.61

6、65 1.6782 1.7379解析求解： k= dsolve('Dy=y-2*x/y','y(0)=1','x')ezplot(k,0,1)運(yùn)行結(jié)果： k = (2*x+1)(1/2) 當(dāng)x=1時(shí)，y=1.7320; 通過比較結(jié)果，說明改進(jìn)型的歐拉方法比向前歐拉方法的結(jié)果精確。3Rossler微分方程組： 當(dāng)固定參數(shù)b=2, c=4時(shí)，試討論隨參數(shù)a由小到大變化（如a(0,0.65)而方程解的變化情況，并且畫出空間曲線圖形，觀察空間曲線是否形成混沌狀？首先建立如下M文件: function xdot=fish(t,x)b=2; c=4; glo

7、bal a; xdot=-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c);end再建立M文件:x0=0,0,0;global a;for a=0:0.65/3:0.65t,x=ode45('fish',0,200,x0);x1=x(:,1);x2=x(:,2);x3=x(:,3);subplot(1,2,1),plot(t,x1,'r-',t,x2,'b:',t,x3,'m-')title('x(紅色),y(藍(lán)色),z(紫色)隨t的變化情況');xlabel('t');p

8、ause(1)subplot(1,2,2),plot3(x1,x2,x3);grid;title('相圖');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');pause(20)end運(yùn)行結(jié)果(下面4圖分別為a=0,0.13,0.26,0.39,0.52的圖形) 圖4-圖84.Apollo衛(wèi)星的運(yùn)動軌跡的繪制解： M文件：首先建立r1 函數(shù):function y=r1(x)u=1/82.45;a=x(1);b=x(2);y=(a+u)2+b2)(1/2);再建立r2函數(shù):function y=r2(x)u=1

9、/82.45;u1=1-u;a=x(1);b=x(2);y=(a-u1)2+b2)(1/2);接著建立如下M文件:function xdot=star(t,x)u=1/82.45;u1=1-u;k=x(1);l=x(2);m=x(3);n=x(4);xx=k,m;xdot=l;2*n+k-u1*(k+u)/r1(xx)3-u*(k-u1)/r2(xx)3;n;-2*l+m-u1*m/r1(xx)3-u*m/r2(xx)3;最后調(diào)用如下M文件:ts=0,20;x0=1.2,0,0,-1.04935751;t,x=ode45('star',ts,x0);y1=x(:,1);y2=x

10、(:,3);plot(y1,y2)運(yùn)行結(jié)果：應(yīng)用實(shí)驗(yàn)5鹽水的混合問題一個(gè)圓柱形的容器，內(nèi)裝350升的均勻混合的鹽水溶液。如果純水以每秒14升的速度從容器頂部流入，同時(shí)，容器內(nèi)的混合的鹽水以每秒10.5升的速度從容器底部流出。開始時(shí)，容器內(nèi)鹽的含量為7千克。求經(jīng)過時(shí)間t后容器內(nèi)鹽的含量。做出如下假設(shè)：1.假設(shè)在不同濃度的水中的鹽擴(kuò)散速度都相同。2.假設(shè)任何時(shí)刻容器內(nèi)的鹽水都是均勻的。3.用y（t）表示容器內(nèi)t時(shí)刻的鹽的含量，用W（t）表示容器內(nèi)t時(shí)刻的水的總量，用O表示鹽水流出的速度，用I代表純水流入的速度，時(shí)間變化后容器內(nèi)鹽的含量為y（t+）。考慮在內(nèi)流出的鹽水的為O則其流出的鹽為.通過以上假

11、設(shè)可以得如下模型： 化簡可得M文件： k= dsolve('Dy=-(y*Y)/(T(t0)+(C-Y)*t)','y(0)=7','t')運(yùn)行結(jié)果： k = 7/(-T(t0)(Y/(-C+Y)*(-C+Y)*t-T(t0)(Y/(-C+Y)由題目可知W（t0）=350，O=10.5，I=14，從而y(t)=7000000/(t + 100)3總結(jié)與體會 通過該實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，我掌握了微分方程(組)的求解方法（解析法、歐拉法、梯度法、改進(jìn)歐拉法等），對常微分方程的數(shù)值解法有了一個(gè)初步的了解，同時(shí)學(xué)會了使用MATLAB軟件求解微分方程的基本命令，學(xué)會了建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型。加深了我對微分、積分等數(shù)學(xué)概念的理解，同時(shí)使我掌握了數(shù)學(xué)的分析思維方法，熟悉了處理大量的工程計(jì)算問題的方法。設(shè)計(jì)記錄表格，包括碰到的問題匯總及解決情況題號問題解決情況1解微分方程并作圖2歐拉公式相關(guān)3微分方程組4衛(wèi)星軌跡繪制鹽水的混合問題模型建立，數(shù)據(jù)處理教師簽名年 月 日備