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文檔簡介

1、第二章 隨機變量作業(yè) 姓名: 學(xué)號: 1.一袋中有5只乒乓球,編號為1,2,3,4,5,在其中同時取3只,以X表示取出的3只球中的最大號碼,寫出隨機變量X的分布律.【解】故所求分布律為X345P0.10.30.64.(1) 設(shè)隨機變量X的分布律為PX=k=,其中k=0,1,2,0為常數(shù),試確定常數(shù)a.(2) 設(shè)隨機變量X的分布律為PX=k=a/N, k=1,2,N,試確定常數(shù)a.【解】(1) 由分布律的性質(zhì)知故 (2) 由分布律的性質(zhì)知即 .5.甲、乙兩人投籃,投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次,求:(1) 兩人投中次數(shù)相等的概率;(2) 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示

2、甲、乙投中次數(shù),則Xb(3,0.6),Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.2436.設(shè)某機場每天有200架飛機在此降落,任一飛機在某一時刻降落的概率設(shè)為0.02,且設(shè)各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道,才能保證某一時刻飛機需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機降落)?【解】設(shè)X為某一時刻需立即降落的飛機數(shù),則Xb(200,0.02),設(shè)機場需配備N條跑道,則有即 利用泊松近似查表得N9.故機場至少應(yīng)配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001,在某天的該時段內(nèi)有1000輛汽車通過,

3、問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù),則Xb(1000,0.0001) 8.已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足PX=1=PX=2,求概率PX=4.【解】設(shè)在每次試驗中成功的概率為p,則故 所以 .11.設(shè)PX=k=, k=0,1,2PY=m=, m=0,1,2,3,4分別為隨機變量X,Y的概率分布,如果已知PX1=,試求PY1.【解】因為,故.而 故得 即 從而 13.進行某種試驗,成功的概率為,失敗的概率為.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù),試寫出X的分布律,并計算X取偶數(shù)的概率.【解】14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的

4、人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費,而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元賠償金.求:(1) 保險公司虧本的概率;(2) 保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.(1) 在1月1日,保險公司總收入為2500×12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則Xb(2500,0.002),則所求概率為由于n很大,p很小,=np=5,故用泊松近似,有(2) P(保險公司獲利不少于10000) 即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P(保險公司獲利不少于20000) 即保險公司獲利不

5、少于20000元的概率約為62%16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管,電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求:(1) 在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率;(2) 在(1)中這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率;(3) F(x).【解】(1) (2) (3) 當x<100時F(x)=0當x100時 故 18.設(shè)隨機變量X在2,5上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測,求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】XU2,5,即故所求概率為19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X(以分鐘計)服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次,以Y表示一個月內(nèi)他未

6、等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),試寫出Y的分布律,并求PY1.【解】依題意知,即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車,有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠,所需時間X服從N(40,102);第二條路程較長,但阻塞少,所需時間X服從N(50,42).(1) 若動身時離火車開車只有1小時,問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些?(2) 又若離火車開車時間只有45分鐘,問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些?【解】(1) 若走第一條路,XN(40,102),則若走第二條路,XN(50,42),則+故走第二條路乘上火車的把握大些.(2) 若XN(40,102),則若XN(

7、50,42),則 故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設(shè)XN(3,22),(1) 求P2<X5,P-4<X10,PX2,PX3;(2) 確定c使PXc=PXc.【解】(1) (2) c=323.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X(小時)服從正態(tài)分布N(160,2),若要求P120X2000.8,允許最大不超過多少?【解】 故 24.設(shè)隨機變量X分布函數(shù)為F(x)=(1) 求常數(shù)A,B;(2) 求PX2,PX3;(3) 求分布密度f(x).【解】(1)由得(2) (3) 28.設(shè)隨機變量X的分布律為X-2 -1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【

8、解】Y可取的值為0,1,4,9故Y的分布律為Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/3029.設(shè)PX=k=()k, k=1,2,令 求隨機變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】 30.設(shè)XN(0,1).(1) 求Y=eX的概率密度;(2) 求Y=2X2+1的概率密度;(3) 求Y=X的概率密度.【解】(1) 當y0時,當y>0時, 故 (2)當y1時當y>1時 故 (3) 當y0時當y>0時 故31.設(shè)隨機變量XU(0,1),試求:(1) Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù);(2) Z=-2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】(1) 故 當時當1<y<e時當ye時即分

9、布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為(2) 由P(0<X<1)=1知當z0時,當z>0時, 即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為34.同時擲兩枚骰子,直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止,求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)Ai=第i枚骰子出現(xiàn)6點。(i=1,2),P(Ai)=.且A1與A2相互獨立。再設(shè)C=每次拋擲出現(xiàn)6點。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。35.隨機數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù),設(shè)數(shù)字序列中要包含n個數(shù)字,則Xb(n,0.1)即 得 n22即隨機數(shù)字序列至少要有22個數(shù)字。37.設(shè)在區(qū)間a,b上,隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx,而

10、在a,b外,f(x)=0,則區(qū)間 a,b等于( )(A) 0,/2; (B) 0,;(C) -/2,0; (D) 0,.【解】在上sinx0,且.故f(x)是密度函數(shù)。在上.故f(x)不是密度函數(shù)。在上,故f(x)不是密度函數(shù)。在上,當時,sinx<0,f(x)也不是密度函數(shù)。故選(A)。38.設(shè)隨機變量XN(0,2),問:當取何值時,X落入?yún)^(qū)間(1,3)的概率最大?【解】因為 利用微積分中求極值的方法,有 得,則 又 故為極大值點且惟一。故當時X落入?yún)^(qū)間(1,3)的概率最大。43.設(shè)三次獨立試驗中,事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27,求A在一次試驗中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù),若設(shè)P(A)=p,則Xb(3,p)由P(X1)=知P(X=0)=(1-p)3=故p=44.若隨機變量X在(1,6)上服從均勻分布,則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少? 【解】45.若隨機變量XN(2,2),且P2&l

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