導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并能解決有關(guān)斜率、切線方程等的問題.2.掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，并能夠綜合運(yùn)用法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.4.會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題.5.掌握定積分的基本性質(zhì)及應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念(1)定義：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率 ，稱為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，表示為f(x0)，其切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)知識(shí)點(diǎn)二基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)c0.(2)(x

2、)x1.(3)(ax)axln a(a>0)(4)(ex)ex.(5)(logax)()(a>0，且a1)(6)(ln x).(7)(sin x)cos x.(8)(cos x)sin x.知識(shí)點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)知識(shí)點(diǎn)四復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(1)復(fù)合函數(shù)記法：yf(g(x)(2)中間變量代換：yf(u)，ug(x)(3)逐層求導(dǎo)法則：yxyu·ux.知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，

3、如果f(x)>0，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)<0，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減(2)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)極大值：在點(diǎn)xa附近，滿足f(a)f(x)，當(dāng)x<a時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x>a時(shí)，f(x)<0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極大值；極小值：在點(diǎn)xa附近，滿足f(a)f(x)，當(dāng)x<a時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x>a時(shí)，f(x)>0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值的步驟求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的極值與

4、端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值知識(shí)點(diǎn)六微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)知識(shí)點(diǎn)七定積分的性質(zhì)(1)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))(2)f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)類型一導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例1設(shè)函數(shù)f(x)x3ax29x1(a>0)，直線l是曲線yf(x)的一條切線，當(dāng)l的斜率最小時(shí)，直線l與直線10xy6平行(1)求a的值；(2)求f

5、(x)在x3處的切線方程解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由題意知a2910，a1或1(舍去)故a1.(2)由(1)得a1，f(x)x22x9，則kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3處的切線方程為y106(x3)，即6xy280.反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時(shí)關(guān)鍵是找到切點(diǎn)，若切點(diǎn)未知需設(shè)出常見的類型有兩種：一類是求“在某點(diǎn)處的切線方程”，則此點(diǎn)一定為切點(diǎn)，易求斜率進(jìn)而寫出直線方程即可得；另一類是求“過(guò)某點(diǎn)的切線方程”，這種類型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，可先設(shè)切點(diǎn)為Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一種類型跟蹤訓(xùn)練1直

6、線ykxb與曲線yx3ax1相切于點(diǎn)(2,3)，則b .答案15解析由題意知f(2)3，則a3.f(x)x33x1.f(2)3×2239k，又點(diǎn)(2,3)在直線y9xb上，b39×215.類型二函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題例2設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln 21且x>0時(shí)，ex>x22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)極小

7、值故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)證明設(shè)g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當(dāng)a>ln 21時(shí)，g(x)取最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是對(duì)任意xR，都有g(shù)(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)a>ln 21時(shí)，對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)>g(0)而g(0)0，從而對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)>0，即exx22ax1>0，故ex>x22a

8、x1.反思與感悟本類題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和證明不等式，考查運(yùn)算能力、分析問題、解決問題的能力跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)(4x24axa2)，其中a<0.(1)當(dāng)a4時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間1,4上的最小值為8，求a的值解(1)當(dāng)a4時(shí)，由f(x)0 (x>0)，得x或x2.由f(x)>0，得x(0，)或x(2，)，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)和(2，)(2)因?yàn)閒(x)，a<0，由f(x)0，得x或x.當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(，)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(，)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增

9、，易知f(x)(2xa)20，且f()0.當(dāng)1，即2a<0時(shí)，f(x)在1,4上的最小值為f(1)，由f(1)44aa28，得a±22，均不符合題意當(dāng)1<4，即8a<2時(shí)，f(x)在1,4上的最小值為f()0，不符合題意當(dāng)>4，即a<8時(shí)，f(x)在1,4上的最小值可能在x1或x4上取得，而f(1)8，由f(4)2(6416aa2)8，得a10或a6(舍去)，當(dāng)a10時(shí)，f(x)在(1,4)上單調(diào)遞減，f(x)在1,4上的最小值為f(4)8，符合題意綜上，a10.類型三生活中的優(yōu)化問題例3某公司為獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷經(jīng)調(diào)查，每

10、年投入廣告費(fèi)t(百萬(wàn)元)，可增加銷售額約為t25t(百萬(wàn)元)(0t3)(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在3百萬(wàn)元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司獲得的收益最大？(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬(wàn)元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)x(百萬(wàn)元)，可增加的銷售額為x3x23x(百萬(wàn)元)請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大解(1)設(shè)投入t(百萬(wàn)元)的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)(百萬(wàn)元)，則有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所以當(dāng)t2時(shí)，f(t)取得最大值4，即投入2百萬(wàn)元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司獲得的收益最大(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬(wàn)元)

11、，則用于廣告促銷的資金為(3x)(百萬(wàn)元)由此獲得的收益是g(x)(百萬(wàn)元)，則g(x)(x3x23x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又當(dāng)0x<2時(shí)，g(x)>0；當(dāng)2<x3時(shí)，g(x)<0.故g(x)在0,2)上是增函數(shù)，在(2,3上是減函數(shù)，所以當(dāng)x2時(shí)，g(x)取得最大值，即將2百萬(wàn)元用于技術(shù)改造，1百萬(wàn)元用于廣告促銷，可使該公司獲得的收益最大反思與感悟解決優(yōu)化問題的步驟(1)要分析問題中各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域(2)要通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與

12、最值，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具(3)驗(yàn)證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實(shí)際意義跟蹤訓(xùn)練3某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)，該蓄水池的體積最大解(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100·2rh200rh元，底面的總成本為160r2元所以蓄水池的總成本

13、為(200rh160r2)元又根據(jù)題意得，200rh160r212 000，所以h(3004r2)從而V(r)r2h(300r4r3)因?yàn)閞>0，又由h>0，可得r<5，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5)(2)因?yàn)閂(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)，令V(r)0，解得r15，r25(因?yàn)閞25不在定義域內(nèi)，舍去)當(dāng)r(0,5)時(shí)，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當(dāng)r(5,5)時(shí)，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時(shí)h8.即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大類型四定積分與微積分

14、基本定理例4(1)設(shè)f(x)則f(x)dx .答案解析f(x)dxx3dx(32x)dxx4|(3xx2)|.(2)如圖所示，直線ykx將拋物線yxx2與x軸所圍圖形的面積分為相等的兩部分，求k的值解拋物線yxx2與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x10，x21，所以拋物線與x軸所圍圖形的面積S(xx2)dx()|.拋物線yxx2與ykx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x10，x21k，所以(xx2kx)dx(x2)|(1k)3，又知S，所以(1k)3，于是k11.反思與感悟由定積分求曲邊梯形面積的方法步驟(1)畫出函數(shù)的圖象，明確平面圖形的形狀(2)通過(guò)解方程組，求出曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)(3)確定積分區(qū)間與被積函數(shù)

15、，轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算(4)對(duì)于復(fù)雜的平面圖形，常常通過(guò)“割補(bǔ)法”來(lái)求各部分的面積之和跟蹤訓(xùn)練4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的T的值為 答案1函數(shù)f(x)ax3bx2cxd的圖象如圖，則函數(shù)yax2bx的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2 B，)C2,3 D，)答案D解析不妨取a1，又d0，f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc.由圖可知f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc0，b，c18.yx2x6，y2x，當(dāng)x>時(shí)，y>0，即單調(diào)遞增區(qū)間為，)故選D.2函數(shù)F(x)t(t4)dt在1,5上()A有最大值0，無(wú)最小值B有最大值0，最小值C有最小值，無(wú)最大值D既無(wú)最大值也無(wú)

16、最小值答案C解析因?yàn)镕(x)(t(t4)dt)x24x，所以F(x)無(wú)最大值，當(dāng)x4時(shí)，F(xiàn)(x)取最小值.故選C.3.如圖，yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3)等于()A1 B0C2 D4答案B解析直線l：ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，f(3)1.又點(diǎn)(3,1)在直線l上，3k21，從而k，f(3)k.g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，則g(3)f(3)3f(3)13×()0.4體積為16的圓柱，當(dāng)它的半徑為 時(shí)，圓柱的表面積最小答案2解析設(shè)圓柱底面半徑為r，母線長(zhǎng)為

17、l.16r2l，即l.則S表面積2r22rl2r22r×2r2，由S4r0，得r2.當(dāng)r2時(shí)，圓柱的表面積最小5設(shè)函數(shù)f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)f(x)的定義域?yàn)镽.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.依題設(shè)，即解得a2，be.(2)由(1)，知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)與1xex1同號(hào)令g(x)1xex1，則g(x)1ex1，所以，當(dāng)x(，1)時(shí)，g(x)0，g(x)在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0

18、，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)0，x(，)，綜上可知，f(x)0，x(，)故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程yy0f(x0)(xx0)明確“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的曲線yf(x)的切線方程”與“在點(diǎn)P(x0，y0)處的曲線yf(x)的切線方程”的異同點(diǎn)2借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常同三次函數(shù)，一元二次不等式結(jié)合，融分類討論、數(shù)形結(jié)合于一體3利用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問題4不規(guī)則圖形的面積可用定積分求解，關(guān)鍵是確定積分上、下限及被積函數(shù)，

19、積分的上、下限一般是兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)課時(shí)作業(yè)一、選擇題1函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0) 的幾何意義是() A在點(diǎn)xx0處的函數(shù)值B在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線與x軸所夾銳角的正切值C曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率D點(diǎn)(x0，f(x0)與點(diǎn)(0,0)連線的斜率答案C2如果物體的運(yùn)動(dòng)方程為s2t(t1)，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在2秒末的瞬時(shí)速度是()A.米/秒 B.米/秒C.米/秒 D.米/秒答案A解析ss(t)2t，s(t)2.故物體在2秒末的瞬時(shí)速度為s(2)2.3a(x26x,5x)，b，已知f(x)a·b，則f(x)等于()Ax

20、26x5 Bx26x5C.x33x25x Dx23x25答案A解析f(x)a·b(x26x,5x)·x33x25x，則f(x)x26x5.4已知函數(shù)yxln(1x2)，則y的極值情況是()A有極小值B有極大值C既有極大值又有極小值D無(wú)極值答案D解析y10，且僅在有限個(gè)點(diǎn)上等號(hào)成立，函數(shù)f(x)在定義域R上為增函數(shù)，故其不存在極值5若函數(shù)f(x)x3(2b1)x2b(b1)x在(0,2)內(nèi)有極小值，則()A0b1 B0b2C1b1 D1b2答案C解析f(x)x2(2b1)xb(b1)(xb)x(b1)令f(x)0，則xb或xb1，且xb1是極小值點(diǎn)，0b12，1b1.6設(shè)函數(shù)

21、f(x)xaax(0a1)，則f(x)在0，)內(nèi)的極大值點(diǎn)x0等于()A0 Ba C1 D1a答案C解析f(x)(xaax)axa1aa(xa11)令a(xa11)0，0a1，x1.當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0.x1是0，)內(nèi)的極大值點(diǎn)二、填空題7計(jì)算dx .答案4ln 3解析dx×32ln 34ln 3.8函數(shù)f(x)ax44ax2b(a0,1x2)的最大值為3，最小值為5，則a ，b .答案23解析f(x)4ax38ax4ax(x22)，令f(x)0，解得x10，x2，x3.f(1)a4abb3a，f(2)16a16abb，f()b4a，9在平面直角坐標(biāo)系xOy中

22、，點(diǎn)P在曲線C：yx310x3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 答案(2,15)解析y3x210，令y2，解得x±2.又點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，x2，此時(shí)y15，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,15)10已知曲線y與直線xa，y0所圍成的封閉區(qū)域的面積為a3，則a .答案解析由題意a3dx|，即，解得a.11若函數(shù)f(x)(a>0)在1，)上的最大值為，則實(shí)數(shù)a的值為 答案1解析f(x)，當(dāng)x>時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)<x<時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增若1，即a1，則當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)maxf()，解得&l

23、t;1，不合題意，<1，且當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)maxf(1)，解得a1，滿足<1.三、解答題12求拋物線yx24x3與其在點(diǎn)(0，3)和點(diǎn)(3,0)處的切線所圍成的圖形的面積解如圖，y2x4，y|x04，y|x32.在點(diǎn)(0，3)處的切線方程是y4x3，在點(diǎn)(3,0)處的切線方程是y2(x3)聯(lián)立方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)為.所以由它們圍成的圖形面積為S.13有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)依次是P萬(wàn)元和Q萬(wàn)元，它們與投入資金x萬(wàn)元的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式：P，Q，今共有3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少？能獲得的最大利潤(rùn)是多少？解設(shè)對(duì)乙種商品投資x萬(wàn)元，