探究四點(diǎn)共圓的條件

1、人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)探究四點(diǎn)共圓的條件活動(dòng)目標(biāo)知識(shí)技能1、 了解過某個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓的條件。2、 掌握對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓的證明方法。數(shù)學(xué)思考1、 通過觀察、比較、分析不同的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)能否共圓，發(fā)展學(xué)生合情推理能力和演繹推理能力。2、 通過觀察圖形，提高學(xué)生的識(shí)圖能力。3、 通過引導(dǎo)學(xué)生添加合理的輔助線，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。解決問題在探究四邊形四個(gè)頂點(diǎn)能否共圓的活動(dòng)中，學(xué)會(huì)運(yùn)用由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，并能利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問題。情感態(tài)度在數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生使其主動(dòng)參與師生、生生的交流活動(dòng)，學(xué)會(huì)和人合作，學(xué)會(huì)傾聽，培養(yǎng)學(xué)生大膽實(shí)踐、勇于創(chuàng)新、團(tuán)結(jié)互助的精神，使學(xué)生在活動(dòng)

2、中獲取成功的體驗(yàn)，建立學(xué)習(xí)的自信心。重點(diǎn)通過活動(dòng)探究四點(diǎn)共圓的條件。難點(diǎn)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓的證明方法。活動(dòng)過程設(shè)計(jì)問題與情境師生行為設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境：?jiǎn)栴}演示課件：1、向?qū)W生展示一組圓在生活中的圖片。2、一些學(xué)生正在做投圈游戲，他們呈“一”字型排開，這樣的隊(duì)形對(duì)每個(gè)人公平嗎？你認(rèn)為他們應(yīng)當(dāng)排成什么樣的隊(duì)形？怎樣排？問題與情境教師演示課件：教師解釋：古代人最早是從太陽，從陰歷十五的月亮得到圓的概念的，那么是什么人作出第一個(gè)圓的呢？會(huì)作圓并且真正了解圓的性質(zhì)，卻是在2000多年前，是由我國(guó)的墨子給出圓的概念的：“一中同長(zhǎng)也”。意思是說，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等。這個(gè)定義比希

3、臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下定義要早100年。師生行為從生活中的實(shí)際問題入手，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)總是與現(xiàn)實(shí)問題密不可分，人們的需要產(chǎn)生了數(shù)學(xué)。將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生從一些簡(jiǎn)單的實(shí)例中，不斷體會(huì)從現(xiàn)實(shí)世界中尋找數(shù)學(xué)模型、建立數(shù)學(xué)關(guān)系的方法。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形的觀察，發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，并在運(yùn)用數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)意圖對(duì)于問題2，教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，既到中間物體的距離相等的點(diǎn)應(yīng)該滿足什么條件？如何去找到這幾位同學(xué)的位置？知識(shí)解答問題的活動(dòng)中獲取成功的體驗(yàn)，建立學(xué)習(xí)的自信心。二、分析交流：?jiǎn)栴}1、過一個(gè)點(diǎn)能作圓嗎？能作幾個(gè)圓，圓心和半徑能確定嗎？2、過兩個(gè)點(diǎn)能作圓嗎？能作幾個(gè)圓，圓心和半徑能

4、確定嗎？3、過三個(gè)點(diǎn)能作圓嗎？能作幾個(gè)圓，圓心和半徑能確定嗎？過四個(gè)點(diǎn)呢？教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生利用作圖工具作出圖形。由學(xué)生經(jīng)過觀察，分析，總結(jié)歸納出簡(jiǎn)單的點(diǎn)與圓的關(guān)系，并了解點(diǎn)共圓所必須滿足的基本條件。教師可利用課件進(jìn)行演示，讓學(xué)生能直觀的對(duì)所作圖形進(jìn)行觀察，以驗(yàn)證自己所得到的結(jié)論是否正確。此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是為探究四點(diǎn)共圓的條件作好鋪墊工作。由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，讓學(xué)生在親自動(dòng)手操作的過程中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、探究，得到問題的答案。激發(fā)學(xué)生的求知欲望，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。三、合作探究：【活動(dòng)1】1、過三點(diǎn)作圓可以看成是過三角形的頂點(diǎn)作圓，那過四點(diǎn)作圓同樣可以看作是過四邊形的頂點(diǎn)作圓，那同學(xué)們會(huì)作嗎？2、這里有一些四

5、邊形，同學(xué)們嘗試著作一下，看能否過它們的四個(gè)頂點(diǎn)作一個(gè)圓？3、作圓的方法有幾種？怎樣去判斷這四點(diǎn)共圓？問題與情境教師提出問題，讓學(xué)生先進(jìn)行思考，然后動(dòng)手操作，在活動(dòng)中探尋問題的答案。 在學(xué)生動(dòng)手畫四邊形的外接圓的過程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)有的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能共圓，有的卻不行，那這些四邊形有什么不同呢？引導(dǎo)學(xué)生從四邊形的邊和角的方面去猜測(cè)，探究。在學(xué)生猜到對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能共圓后，還需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明。在證明這個(gè)推測(cè)時(shí)，要讓師生行為 活動(dòng)1、2的設(shè)計(jì)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用載體去對(duì)問題進(jìn)行研究。從單一的點(diǎn)過渡到形，讓學(xué)生由無法下手到主動(dòng)探究，一步一步地向探究的目標(biāo)靠近。在學(xué)生動(dòng)手活動(dòng)的過程中，通過

6、交流和溝通，讓學(xué)生明確一個(gè)問題的解決方案，在推測(cè)之后要進(jìn)驗(yàn)證，通過證明，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，感受到數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性和證明的必要性，設(shè)計(jì)意圖4、按要求畫出圖形后，為什么有的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能共圓，有的卻不行，那這些四邊形有哪些不同呢？它們的邊長(zhǎng)有關(guān)系嗎？它們的內(nèi)角有如何呢？5、剛才我們是先畫的四邊形，再作的圓，得到了這樣一個(gè)猜想。還有沒有另外的方法也能做到呢？【活動(dòng)2】1、通過活動(dòng)，同學(xué)們推測(cè)出了四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓的條件，可我們只畫了幾個(gè)圖形，要想運(yùn)用這個(gè)推斷，還需要證明，那如何證明呢？2、不在同一條直線上的三點(diǎn)是能共圓的，如果四點(diǎn)不能共圓，但其中的三點(diǎn)是可以保證共圓的，余下的點(diǎn)與過三點(diǎn)的

7、圓是什么位置關(guān)系呢？3、圓周角定理有哪些內(nèi)容？4、怎樣利用圓中的性質(zhì)定理來解決問題呢？學(xué)生先進(jìn)行討論，思考最好的證明方法。然后引導(dǎo)學(xué)生利用反證法進(jìn)行證明。在證明的過程中要讓學(xué)生考慮到所有的圖形情況。證明過程：在四邊形ABCD中，若B+ADC=180，那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓嗎？為什么？解：如圖1：假設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)不共圓，過A、B、C三點(diǎn)作圓，D點(diǎn)在圓內(nèi)。延長(zhǎng)AD與圓交于點(diǎn)E，連接CE則：B+E=180ADC EB+ADC 180這與已知條件B+ADC=180矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論正確，A、B、C、D四點(diǎn)共圓。圖1如圖2，假設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)不共圓，D點(diǎn)在圓外。證明方法與證明圖1時(shí)

8、同理。圖2培養(yǎng)學(xué)生和情推理能力。附圖：?jiǎn)栴}與情境師生行為設(shè)計(jì)意圖四、歸納反思：?jiǎn)栴}1、通過這節(jié)課的活動(dòng)，你有哪些收獲？2、你還能借助第三種載體探究四點(diǎn)共圓的條件嗎？教師帶領(lǐng)學(xué)生從知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想等方面小結(jié)本節(jié)課所做活動(dòng)，并關(guān)注不同層次的學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解和掌握。 教師布置新的問題繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的探究熱情。通過小節(jié)使學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)到的知識(shí)、技能、方法。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)能力和對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感。五、課外探究：?jiǎn)栴}1、過四個(gè)點(diǎn)還可以作出這樣的圖形，同學(xué)們觀察一下，它們有什么特征？2、先觀察具有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形，這四個(gè)點(diǎn)共圓嗎？為什么？3、再觀察一般的圖形，探究過這兩個(gè)三角形頂點(diǎn)的四點(diǎn)共圓的條件？4、仿照活動(dòng)1、2中的方法和步驟，對(duì)推測(cè)出來的條件應(yīng)該如何證明？教師在學(xué)生完成一次探究后，提出新的問題：我們通過四邊形這種載體研究了四點(diǎn)共圓的條件。但這并不是探究四點(diǎn)共圓條件唯一的方法，我們還能找到另外的載體進(jìn)行探究。讓學(xué)生明確解決問題方法的多樣性，在解決一個(gè)問題的時(shí)候應(yīng)該思維活躍，學(xué)會(huì)借助舊的知識(shí)點(diǎn)去尋找新的知識(shí)點(diǎn)。由于有了活動(dòng)1、2作為基礎(chǔ)，學(xué)生在進(jìn)行此探究時(shí)，教師只做引導(dǎo)，更多的