高等數(shù)學(xué)一微積分

1、高等數(shù)學(xué)（一）微 積 分導(dǎo)數(shù)微分學(xué)微分微積分不定積分積分學(xué) 定積分無(wú)窮級(jí)數(shù)第一章 函數(shù)及其特性1.1 集合一、定義：由具有共同特性的個(gè)體（元素）組成。二、表達(dá)方式： 集合A，B，C（大寫(xiě)字母）元素a，b，c（小寫(xiě)字母）A=a，b，c元素的排列無(wú)重復(fù)，無(wú)順序。a屬于A記作aA，1不屬于A記作1A或1A三、分類(lèi) 有限集無(wú)限集空集四、集合的運(yùn)算1、子集：存在A、B兩個(gè)集合，如果A中所有元素都在B中，則A叫做B的子集，AB或BA（空集是任何集合的子集）。2、交集： 存在A、B兩個(gè)集合，由既在A中又在B中的元素組成的集合。AB，ABA，ABB，B=（空集與任何集合的交集是）。3、并集：存在A、B兩個(gè)集合

2、，由所有在A、B中的元素組成的集合。AB，ABA，ABB，B=B。4、補(bǔ)集：存在A、B兩個(gè)集合，且AB，由在B當(dāng)中但不在A中的元素組成的集合，叫A的補(bǔ)集，B叫全集。記作AB或， ABA=， AB A=B五、數(shù)、數(shù)軸、區(qū)間、鄰域1、數(shù) 實(shí)數(shù)虛數(shù): 規(guī)定i2= -1，i叫虛數(shù)單位，2、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)。3、區(qū)間(1)閉區(qū)間axb,xa, b(2)開(kāi)區(qū)間a< x< b, x(a, b)(3)半開(kāi)區(qū)間 ax< b, xa, b) a< xb, x(a, b (4)無(wú)限區(qū)間 xa, x(-, axb, x b, +)xR, x(-, +)x0 x0 x0

3、+4、鄰域：以x = x0為圓心，以> 0（為非常小的正數(shù)）為半徑作圓，與數(shù)軸相交于A、B兩點(diǎn)，x0 -< x0 < x0 +叫x0的鄰域。例1 已知A=x -2x< 3，B=x -1< x5，求AB， AB o | A . o B-2 -1 0 3 5解：A、B集合中x的取值范圍在數(shù)軸表示如下所以AB=x -1< x< 3， AB=x -2x5例2 已知A、B為兩非空集合，則AB=A是A=B的 (2) (1)充分條件 (2)充分必要條件 (3)必要條件 (4)無(wú)關(guān)條件注：如果A成立，那么B成立，即“AB”，那么條件A是B成立的充分條件；如要使B成立，

4、必須有條件A，但只有A不一定能使B成立，則稱(chēng)A是B成立的必要條件；如果“AB”，又有“BA”，則稱(chēng)條件A是B成立的充分必要條件。例3 已知集合M=0,1,2，則下列寫(xiě)法正確的是 D A、 1M B、 1 C、 1M D、1M1.2 函數(shù)及其幾何特性一、定義：在一過(guò)程中，存在兩個(gè)變量x、y，y是按照某一對(duì)應(yīng)規(guī)則f隨x的變化而變化，y就叫做關(guān)于x的函數(shù)（一元函數(shù)），表達(dá)式：y=f (x)x叫自變量，定義域Df （x取值范圍）y叫因變量，值域DR （y取值范圍）二、求定義域例1 求的定義域。解：例2 求的定義域解：例3 求的定義域解：注：真數(shù)等于1時(shí)，對(duì)數(shù)值等于0。三、圖象四、幾何特性1、單調(diào)性。對(duì)

5、于y=f(x), xDf, if y隨x的增加而增加，則y=f(x)在Df內(nèi)單調(diào)增。y隨x的增加而減少，則y=f(x)在Df內(nèi)單調(diào)減。2、有界性。對(duì)于y=f(x), xDf, 對(duì)于任一xDf，滿(mǎn)足Af(x)B，則y=f(x)在Df內(nèi)有界，A叫下界，B叫上界。3、奇偶性。對(duì)于y=f(x), xDf, 且Df為對(duì)稱(chēng)區(qū)間, if f(-x)=f(x)，則y=f(x)為偶函數(shù)。f(-x)= -f(x)，則y=f(x)為奇函數(shù)。如兩者均不符合，則y=f(x)為非奇非偶函數(shù)。注：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。4、周期性。（三角函數(shù)的周期性）對(duì)于y=f(x), xDf, if 存在T&

6、gt;0，滿(mǎn)足f(x+T)=f(x), 則y=f(x)是周期函數(shù)，T叫最小正周期。例1 討論的奇偶性（xR）解：原函數(shù)是奇函數(shù)例2 討論的奇偶性(xR)。解：原函數(shù)是奇函數(shù)1.3 五種基本的初等函數(shù)一、冪函數(shù)1、形如，a為常數(shù)。2、冪函數(shù)的定義域、值域、幾何特性依a的取值而定。如a取以下值：DfxRx0x0xRDRy0y>0y0yR幾何特性偶函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)增奇函數(shù)，單調(diào)增3、運(yùn)算法則 （a, b為正整數(shù)） 二、指數(shù)函數(shù)1、形如且2、xR，y>03、當(dāng)x=0時(shí)，y=1，則圖象一定過(guò)點(diǎn)（0，1）4、幾何特性。單調(diào)性 0<a<1 單調(diào)減a>1 單調(diào)增(0, 1)a>

7、;10<a<1曲線(xiàn)無(wú)限接近x軸，但不與x軸相交5、圖象6、運(yùn)算法則（同冪函數(shù)）三、對(duì)數(shù)函數(shù)1、形如且2、x>0，yR3、當(dāng)x=1時(shí)，y=0，則圖象一定過(guò)點(diǎn)（0，1）當(dāng)x=a時(shí)，y=14、幾何特性。單調(diào)性 0<a<1 單調(diào)減a>1 單調(diào)增0 (0, 1)a>10<a<1曲線(xiàn)無(wú)限接近y軸，但不與y軸相交5、圖象6、兩種特殊的對(duì)數(shù)(1) 當(dāng)a=10時(shí)，y=log10x=lgx(常用對(duì)數(shù))(2) 當(dāng)a=e時(shí)，y=logex=lnx(自然對(duì)數(shù)，e2.718)7、運(yùn)算法則四、三角函數(shù)（掌握其幾何特性、特殊三角函數(shù)的圖象、基本運(yùn)算）y=f(x)=sinx

8、正弦cosx余弦tanx正切cotx余切secx正割cscx余割DfxRxR(90o的奇數(shù)倍）(90o的偶數(shù)倍）DR-1y1-1y1yRyR單調(diào)性無(wú)無(wú)單調(diào)增單調(diào)減有界性有有無(wú)無(wú)奇偶性奇偶奇奇周期性22特殊角的三角函數(shù)值角度0o30o45o60o90o弧度0sinx01cosx10tanx01不存在圖象：sinx cosx1 1 -1 -1tanx常用公式：平方公式倍角公式半角公式 兩種特殊的三角形式求周期：(1) y=Asin(x+), (2) y=|sinx|, T=五、反三角函數(shù)arcsinxarccosxarctanxarccotxDf-1x1-1x1xRxRDR-y0y-<y&l

9、t;0<y<幾何特性單調(diào)增,奇函數(shù)單調(diào)減,非奇非偶單調(diào)增,奇函數(shù)單調(diào)減,非奇非偶圖象：arctanx arccotx - 通過(guò)以上五種基本函數(shù)有限次的加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方、復(fù)合，就構(gòu)成了初等函數(shù)。1.4 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)一、復(fù)合函數(shù)由y=f(u), u=g(x), 可得到y(tǒng)=f g(x)，叫做y關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，u叫中間變量。例1 已知, 求f(x). 例2 已知f(x+1)=x(x-1), 求f(x)解：設(shè) 解：令t=x+1, 則x=t-1 注：t和x都是代表變量，習(xí)慣性用x表示自變量，因此最后答案直接用x代替t.例3 已知f(x-1)=x2+x+1, 求 例4

10、已知f(x)的定義域?yàn)?, 4，求f(x2)的解：令t=x-1, 則x=t+1 定義域。解：令 例5 已知f(x+2)=x2-2x+3, 求f f(2).解法：令t=x+2, 則x=t-2 解法：由f(2)可知f(x+2)中x=0f(t)=(t-2)2-2(t-2)+3=t2-6t+11 f(2)=02-2×0+3=3則f(2)=22-6×2+11=3 則由f f(2)=f(3)又可知x=1所以f f(2)=f(3)=32-6×3+11=2 f f(2)= f(3)= 12-2×1+3=2二、反函數(shù)已知y=f(x)x=F(y)即y=F(x), 則y=F(

11、x)叫y=f(x)的反函數(shù)，可記作f -1(x).1、反函數(shù)與原函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)。2、兩組反函數(shù)(1) y=ax與y=logax, 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。(2) y=sinx與 y=arcsinx (-x)例：求的反函數(shù)。解：由原函數(shù)可得即反函數(shù)為三、分段函數(shù)（關(guān)鍵在分段點(diǎn)）1.5 幾種簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)函數(shù)的建立價(jià)格P，需求量D，產(chǎn)量Q，總收益R，總成本C，總利潤(rùn)L本書(shū)中設(shè)定需求量與產(chǎn)量為理想狀態(tài)的關(guān)系，即D=Q一、需求函數(shù)：D=D(P)二、總收益函數(shù)： 三、總成本函數(shù)：C=變動(dòng)成本+固定成本四、總利潤(rùn)函數(shù)：L=R-C例：已知需求函數(shù)，求R(P), R(D).解：R=P×

12、D=P×(20-2P)=-2P2+20PR(P)= -2P2+20PR(D)= 第二章 函數(shù)的極限、連續(xù)性2.1 函數(shù)的極限一、數(shù)列的極限1、數(shù)列：按自然數(shù)的順序排列的一列數(shù)，. 首項(xiàng)，通項(xiàng)公式。2、數(shù)列的極限：對(duì)于，當(dāng)n(趨向于)時(shí)，if A, 則A叫當(dāng)n時(shí)的極限。記作：二、函數(shù)的極限1、對(duì)于y=f(x), 當(dāng)x時(shí)，if f(x) A, 則A叫f(x)當(dāng)x時(shí)的極限，的充分必要條件：，即左右極限存在且相等。例：判斷是否存在。解：由arctanx的圖象可知當(dāng)x-時(shí)，當(dāng)x+時(shí)，所以不存在。2、對(duì)于y=f(x), 當(dāng)xxo時(shí), if f(x) B, 則B叫做f(x)當(dāng)xxo時(shí)的極限，的充分

13、必要條件：，即左右極限存在且相等。例1 已知，判斷是否存在。解：存在例2 判斷是否存在。解： 不存在三、函數(shù)的極限的計(jì)算1、運(yùn)算法則：已知當(dāng)B=0時(shí)， A0，則極限不存在且等于A=0，屬于“0/0”型的未定型(K是常數(shù))2、判別法則(1)夾逼準(zhǔn)則：在xo的鄰域存在f(x), g(x), w(x)，且g(x)f(x)w(x)if , 則(2)單調(diào)有界函數(shù)必有極限 三、一般初等函數(shù)求極限1、當(dāng)xxo時(shí)，if f(x)在xo有意義，則極限等于f(xo).f(x)在xo無(wú)意義，則對(duì)f(x)進(jìn)行恒等變換，將f(x)變換為在xo有意義或公式的形式。2、當(dāng)x時(shí)，利用公式或利用來(lái)求極限。 四、分段函數(shù)求極限(

14、以xxo為例)1、如果xo不是分段點(diǎn)，則按初等函數(shù)定。2、如果xo是分段點(diǎn)，則利用充分必要條件。例1 已知，求解：(1) (2) (3) 當(dāng)x1時(shí)，1為分段點(diǎn)，利用左右極限存在且相等的充分必要條件：例2 已知，求解：2.2 無(wú)窮大量、無(wú)窮小量一、定義：對(duì)于y=f(x), 當(dāng)xxo(x)時(shí)if f(x), 則稱(chēng)f(x)是當(dāng)xxo(x)時(shí)的無(wú)窮大量。if f(x)0, 則稱(chēng)f(x)是當(dāng)xxo(x)時(shí)的無(wú)窮小量。注：當(dāng)x0時(shí)，既不是無(wú)窮大量，也不是無(wú)窮小量，是一個(gè)有界函數(shù)。當(dāng)x時(shí)，是無(wú)窮小量。二、兩者間的關(guān)系：當(dāng)x在同一變化趨勢(shì)下時(shí)，兩者互為倒數(shù)。已知當(dāng)xxo時(shí)，如果f(x)(0)，則三、無(wú)窮小量的

15、性質(zhì)1、有限個(gè)無(wú)窮小量的和、差、積仍是無(wú)窮小量。2、無(wú)窮小量與有界函數(shù)的積，仍為無(wú)窮小量。三角函數(shù)的角度 0時(shí)，用公式來(lái)求極限。時(shí)，把三角函數(shù)當(dāng)成有界函數(shù)，配無(wú)窮小量來(lái)求極限。3、如果, 則在xo的鄰域內(nèi)f(x)-A=(x)(無(wú)窮小量)，即f(x)與A之間相差一個(gè)無(wú)窮小量。四、無(wú)窮小量的階次的比較已知xxo(x)時(shí)，f(x)0, g(x)0, 取例1 當(dāng)x0時(shí)，比較與x的階次。解： 兩者同階例2 當(dāng)x0時(shí)，比較ln(1+x)與x的階次。2.3 函數(shù)的連續(xù)性一、定義：對(duì)于y=f(x)在xo的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)x取xo+x時(shí)，y=f(xo+x)， 則y=f(xo+x)-f(xo). if x0, 則y0, 即, 則稱(chēng)y=f(x)在xo連續(xù)。if , 則y=f(x)在xo處是連續(xù)函數(shù)。由定義可得出函數(shù)連續(xù)的三個(gè)必要條件：(1) y=f(x)在xo有意義(2)當(dāng)xxo時(shí)，極限存在(3)極限等于f(xo)1、初等函數(shù)的連續(xù)性在定義域內(nèi)一定連續(xù)。2、分段函數(shù)的連續(xù)性(1)如果xo不是分段點(diǎn)，則當(dāng)初等函數(shù)看待。(2)如果xo是分段點(diǎn)，則利用由定義得出的三個(gè)必要條件來(lái)判斷。例1 求的連續(xù)區(qū)間。例2 已知，討論y=f(x)在x=1處的連續(xù)性。解：(1)當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=2(2)例3 已知，求a的值，使f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù)。 a=1時(shí)，f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù)二