高等數學競賽歷年題

1、2010浙江省大學生高等數競賽試題（工科類）一、計算題（每小題14分，滿分70分）1求極限2計算3設為銳角三角形,求的最大值和最小值。4已知分段光滑的簡單閉曲線（約當曲線）落在平面：上，設在上圍成的面積為A,求,其中的方向成右手系。5設連續(xù)，滿足,求的值。二、（滿分20分）定義數列如下： ，求。三、（滿分20分）設有圓盤隨著時間t 的變化，圓盤中心沿曲線 向空間移動，且圓盤面的法向與L的切向一致。若圓盤半徑r (t) 隨時間改變，有，求在時間段內圓盤所掃過的空間體積。四、（滿分20）證明：當， 五、（滿分20分）證明：2010浙江省大學生高等數學（微積分）競賽試題評析（工科類）一、計算題：1解

2、：原極限=2解： 3解：記 4解：原積分=5解： 二、解：即單調增且設則即有界?？芍諗坑浧錁O限為,有三、解： 四、證明：五、證明： 易知 2009年浙江省高等數學（微積分）競賽試題一、計算題（每小題12分，滿分60分）1.求極限2計算不定積分3設，求4設，求此曲線的拐點5已知極限，求常數的值二、（滿分20分）設，證明：當時，三、（滿分20分）設，求的最小值五、（滿分15分）設，證明：（1）為偶函數；（2）六、（滿分15分）設為連續(xù)函數，且，證明在上方程有唯一解答案：一1.解 =2解 =3解 =4解 ，令得當時，當時，當時，因此拐點為5解 = =1于是，由，得另解 1二、證 設則，由且，知當時

3、，。又設則，所以,從而,不等式得證.三、證 當時，故當時單調增加；當時，故當時單調減少； 當時，=。由得。當時，當時， 故是的極小值點，又=，故的最小值為 五、證 （1）（2）=六、證 設，則在上連續(xù)，在內可導，當時，是方程的解；當時，由零點定理，得至少存在一點使，即方程至少有一解。又，故在上嚴格單調遞增，因此在上方程有唯一解2008浙江省高等數學(微積分)競賽試題(解答) 一.計算題1、求2、計算3、設，求4、計算5、計算,其中為圓柱面.二、(20分)設,求: (1);(2) .三、(滿分20分)有一張邊長為的正方形紙(如圖),、分別為、的中點，為的中點，現將紙卷成圓柱形，使與重合，與重合，

4、并將圓柱垂直放在平面上，且與原點重合，若在軸正向上，求：（1）通過，兩點的直線繞軸旋轉所得的旋轉曲面方程；（2）此旋轉曲面、平面和過點垂直于軸的平面所圍成的立體體積.四、(20分) 求函數,在的最大值、最小值.五、(15分)設冪級數的系數滿足,求此冪級數的和函數.六、(15分)已知二階可導,且,(1) 證明:.(2) 若,證明.一.計算題1、.解: 。2、.解: 。法二：，令。3、解: ,則，則 被積函數是奇函數, 要積分為零, 當且僅當積分區(qū)間對稱,即: , 解得: .4、.解: , 其中如右圖.5、.解: 被積函數關于是奇函數,積分區(qū)域關于對稱,二解: (1), ;(2) (圖來說明積分上下).三、 :旋轉曲面上任意取一點 則的坐標為： ， 化簡得：所求的旋轉曲面方程為：，（2），故過垂直軸的平面方程為：令，解得在坐標面上的曲線方程為：，圖中所求的旋轉體的體積為： .四、解： 由于具有輪換對稱性,令, 或解得駐點: 或對, ,在圓周上,由條件極值得:令解得: ,;在圓周上,由條件極值得:令解得: , ,;,在的最大值為,最小值為. 五、證明： 而,即: 一階非齊次線性微分方程-常數變易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解為: ,由