高等數(shù)學教學設計——中值定理

1、4.1微分中值定理 單元教學設計一、教案頭單元標題：微分中值定理單元教學學時8在整體設計中的位置第23-26次授課班級上課地點教學目標能力目標知識目標素質(zhì)目標能夠理解和掌握羅爾定理能夠掌握拉格朗日定理并證明相關問題能夠掌握導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性能夠掌握柯西中值定理及洛比達法則洛爾定理、拉格朗日定理單調(diào)性、柯西定理、洛比達法則深刻思維能力團結(jié)合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 羅爾定理 任務2 拉格朗日定理 任務3 單調(diào)性 任務4 柯西定理與洛比達法則案例1 求的單調(diào)區(qū)間案例2 討論的單調(diào)性案例3 計算案例4 設f(x)在0,1上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導，且f(1)=0,試證：至少存在一

2、個點 ，使得案例5 設在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得案例6 若均為常數(shù)，求教學材料高等數(shù)學教材 侯風波主編 高等教育出版社高等數(shù)學習題集 張?zhí)斓轮骶?山東科技出版社高等數(shù)學應用205例 李心燦主編高等教育出版社經(jīng)濟數(shù)學基礎 顧靜相主編 高等教育出版社二、教學設計步驟教學內(nèi)容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 洛爾定理拉格朗日定理單調(diào)性柯西定理洛比達法則陳述板書識記10分鐘2（引入任務1）洛爾定理學生閱讀73頁，理解羅爾定理。教師黑板畫圖像：根據(jù)圖像尋找點，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，尋找經(jīng)過討論：原來這個點就是最高點或者最低點。例： 設，驗證符合洛爾定理。

3、練習：設驗證符合洛爾定理。教師講解教師提示學生認真聽講分組研討30分鐘3（任務2）拉格朗日定理學生閱讀70頁教材，結(jié)合下面的圖像：分析拉格朗日定理的成立理由例 研究在區(qū)間1,2上滿足拉格朗日定理證明：如果在區(qū)間a,b內(nèi)滿足，則在a,b內(nèi)f(x)是個常數(shù)。練習：證明教師啟發(fā)講解板書師生研討40分鐘4（任務3）單調(diào)性學生閱讀72頁內(nèi)容，總結(jié)單調(diào)性與導數(shù)有何關系。總結(jié)：（1）如果在內(nèi)的導數(shù)，那么f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加（2）如果在內(nèi)的導數(shù)，那么f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少要研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間步驟（1）求駐點（2）以駐點分開定義域為若干塊，在每塊內(nèi)探討一階導數(shù)的正負。正的單調(diào)增加，負則單調(diào)減少。例

4、：研究的單調(diào)區(qū)間例：研究的單調(diào)區(qū)間練習：證明，時，教師啟發(fā)講解板書師生研討60分鐘5（任務4）柯西定理與洛比達法則柯西定理是前面兩個定理的推廣，學生了解即可。他的證明是把兩個函數(shù)看成參數(shù)方程，連接的連線的斜率是，在曲線上必有一個點，它的切線斜率是柯西定理的一個主要應用就是證明羅比達法則：例 計算例 計算例 計算例 計算練習 計算 計算 計算教師啟發(fā)講解板書師生研討60分鐘6（案例）案例1 求的單調(diào)區(qū)間案例2 討論的單調(diào)性案例3 計算案例4 設f(x)在0,1上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導，且f(1)=0,試證：至少存在一個點 ，使得案例5 設在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得案例

5、6 若均為常數(shù)，求學生討論學習60分鐘作業(yè)77頁1 2 3 4課后體會4.2函數(shù)的極值和最值 單元教學設計一、教案頭單元標題：函數(shù)的極值和最值單元教學學時8在整體設計中的位置第27-30次授課班級上課地點教學目標能力目標知識目標素質(zhì)目標能夠極值和最值的概念和區(qū)別能夠求解函數(shù)的極值和最值單調(diào)性極值最值求法深刻思維能力團結(jié)合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 函數(shù)的極值定理及其求解任務2 函數(shù)的最值及其求解案例1 求的極值案例2 討論的極值案例3（最大流量出口） 有一塊寬為2a的長方形鐵皮，將寬的兩個邊緣向上折起，做成一個開口水槽，其橫截面積為矩形，高為x,問高x取和值時水槽的流量最大？案

6、例4 （鐵路站點安置） 鐵路線距離為100公里，工廠距為20公里，垂直于，今要在上選定一個點向工廠修筑一條公路，已知鐵路與公路每公里貨運費之比是3:5，問點選在何處才能使從B到C的運費最少？案例5 （最大面積問題） 現(xiàn)在用一張鋁合金材料加工一個日字型窗框，問它的長和寬分別為多少時，才能是窗戶的面積最大，最大面積是多少？如下圖教學材料高等數(shù)學教材 侯風波主編 高等教育出版社高等數(shù)學習題集 張?zhí)斓轮骶?山東科技出版社高等數(shù)學應用205例 李心燦主編高等教育出版社經(jīng)濟數(shù)學基礎 顧靜相主編 高等教育出版社二、教學設計步驟教學內(nèi)容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 極值最值陳述板

7、書識記5分鐘2（引入任務1）極值學生閱讀77頁內(nèi)容，搞清楚：（1）極值點的定義（2）求解極值點的方法定義：設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)都有，則稱是極大點，為極大值。設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)都有，則稱是極小點，為極小值。如下圖是極大點，是極小點判斷一個點的極大點或者極小點有兩種方法1、根據(jù)兩側(cè)的的符號來判定左側(cè)右側(cè)極小點極大點不是極值點不是極值點例 求函數(shù)的極值點和極值練習：求函數(shù)的極值點和極值2、根據(jù)二階導數(shù)的符號來確定設是駐點，如果，則是極小點；如果，則是極大點；，則是無法判斷是極大點還是極小點。例 求函數(shù)的極值例 求函數(shù)的極值教師講解教師提示學生認真聽講分組研討50分鐘3（任務2）函數(shù)的最值學生閱讀教

8、材79頁，總結(jié)求最值的辦法以及極值和最值的區(qū)別。求解最大值和最小值的辦法：（1）求出在內(nèi)的一切駐點和一階導數(shù)不存在的點，并計算個點的函數(shù)值（此時不必判斷是極大值點還是極小值點）（2）求出端點（3）比較前面求出的所有函數(shù)值，最大的就是最大值，最小的就是最小值。例 求函數(shù)在-3,4上的最值解：，得。所以。所以最大值點是4，最大值是128；最小值點是1，最小值是-7.練習：求函數(shù)在-3,3上的最值參考圖像教師啟發(fā)講解板書師生研討40分鐘4（案例）案例應用案例1 求的極值案例2 討論的極值案例3 有一塊寬為2a的長方形鐵皮，將寬的兩個邊緣向上折起，做成一個開口水槽，其橫截面積為矩形，高為x,問高x取和

9、值時水槽的流量最大？案例4 鐵路線距離為100公里，工廠距為20公里，垂直于，今要在上選定一個點向工廠修筑一條公路，已知鐵路與公路每公里貨運費之比是3:5，問點選在何處才能使從B到C的運費最少？案例5 現(xiàn)在用一張鋁合金材料加工一個日字型窗框，問它的長和寬分別為多少時，才能是窗戶的面積最大，最大面積是多少？如下圖學生討論學習數(shù)學軟件演示圖像60分鐘作業(yè)80頁1 2 3 4.3函數(shù)圖像的描繪 單元教學設計一、教案頭單元標題：函數(shù)圖像的描繪單元教學學時8在整體設計中的位置第31-34次授課班級上課地點教學目標能力目標知識目標素質(zhì)目標能夠掌握函數(shù)的凸凹性及拐點能夠求解函數(shù)漸進線能夠按照步驟畫出復雜函數(shù)

10、的圖像凸凹性拐點漸進線函數(shù)的圖像深刻思維能力團結(jié)合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 函數(shù)的凸凹性和拐點任務2 函數(shù)的漸近線.任務3 按步驟描繪函數(shù)圖像案例1（注水曲線凸凹） 設水以常數(shù)注入下圖的容器中，請做出水上升的高度關于時間t的函數(shù)，并闡明此函數(shù)的拐點和凸凹性。案例2 描繪函數(shù)的圖像。案例3（最值問題） 要用鐵皮造一個容積為V的圓柱形閉合油罐，問底半徑r和高h等于多少時，能使所使用的鐵皮最?。窟@時候的半徑r和高h的比值是多少？案例4（最值問題） 要建造一個上面是半球形，下面是圓柱形的糧倉，其容積是V，問當圓柱體的高h和底半徑r為何值時，糧倉所使用的建筑材料最??？教學材料高等數(shù)學教

11、材 侯風波主編 高等教育出版社高等數(shù)學習題集 張?zhí)斓轮骶?山東科技出版社高等數(shù)學應用205例 李心燦主編高等教育出版社經(jīng)濟數(shù)學基礎 顧靜相主編 高等教育出版社二、教學設計步驟教學內(nèi)容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 凸凹性拐點漸近線描繪函數(shù)圖像陳述板書識記10分鐘2（引入任務1）凸凹性學生閱讀83頁，理解凸凹性。如下面函數(shù)圖像觀察圖像，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖像有的在其上的點的切線下方（下凹），有時函數(shù)的圖像有的在其上的點的切線上方（上凹）。例如A點，圖像在過A點的切線下方，那么A點周圍的函數(shù)圖像就是下凹。例如B點，圖像在過B點的切線上方，那么B點周圍的函數(shù)圖像就是上凹。關于凸凹

12、性有重要的定理：設函數(shù)在內(nèi)有二階導數(shù)。那么（1）若在內(nèi)，則曲線在內(nèi)上凹。（2）若在內(nèi)，則曲線在內(nèi)下凹。拐點如果點P的兩側(cè)，函數(shù)的凹向性不一樣，那么這樣的點P叫做函數(shù)的拐點。因此拐點就是使得或者二階導數(shù)不存在的點。例 求曲線的凸凹性與拐點。例 判定函數(shù)的凸凹性例 求函數(shù)的拐點。教師講解教師提示學生認真聽講分組研討30分鐘3（任務2）漸近線（1）斜漸近線若滿足：，且則曲線有漸近線如下圖：例 求曲線的斜漸近線例 求曲線的斜漸近線（2）垂直漸近線如果(或者或者)時，。則是的垂直漸近線例 求的垂直漸近線例 求曲線的垂直漸近線（3）水平漸進線如果(或者或者)時，。則是函數(shù)的水平漸近線例 求的水平漸近線例

13、求曲線的水平漸近線例 求曲線的水平漸近線。例 求的漸近線例 求曲線的斜漸近線教師啟發(fā)講解板書師生研討60分鐘4（任務3）描繪函數(shù)圖像學生閱讀86頁，總結(jié)描繪函數(shù)圖像的步驟：（1） 確定函數(shù)的定義域（2） 考察函數(shù)的周期性和奇偶性（3） 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點、凸凹性、拐點、考察（4） 考察函數(shù)的曲線的漸進線（5） 考察函數(shù)曲線與坐標軸的交點最后畫出圖像例 描繪函數(shù)的圖像（1）定義域（2）函數(shù)不具備周期性和奇偶性（3）令得表明函數(shù)與x軸有兩個交點，一個是0，一個是3.（4）得駐點0,2.用二階導數(shù)判定,x=0是極小點，極小值f(0)=0,x=2是極大點,極大值f(2)=4(5) ,拐點x=1,在1的左側(cè)，上凹；在1的右側(cè)，下凹（6）無漸近線作圖如下：例 畫出的圖像。參考圖像教師啟發(fā)講解板書師生研討60分鐘5（案例）案例應用案例1 設水以常數(shù)注入下圖的