齊次和非齊次線性方程組的解法12月25日

1、線性方程組的解法注意：考試以非齊次線性方程組的無窮多解為主要考查點(diǎn)，但是同學(xué)們學(xué)得時(shí)候要系統(tǒng)，要全面，要完整。下面是解線性方程組各種情況的標(biāo)準(zhǔn)格式，請同學(xué)們以此為準(zhǔn)，進(jìn)行練習(xí)。一、齊次線性方程組的解法定理 齊次線性方程組一定有解：(1) 若齊次線性方程組，則只有零解；(2) 齊次線性方程組有非零解的充要條件是.（注：當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式.）注：1、基礎(chǔ)解系不唯一，但是它們所含解向量的個(gè)數(shù)相同，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于. 2、非齊次線性方程組的同解方程組的導(dǎo)出方程組（簡稱“導(dǎo)出組”）為齊次線性方程組所對應(yīng)的同解方程組。由上面的定理可知，若是系數(shù)矩陣的行數(shù)（

2、也即方程的個(gè)數(shù)），是未知量的個(gè)數(shù)，則有：（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)齊次線性方程組一定有非零解，即齊次方程組中未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)就一定有非零解；（2）當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式；（3）當(dāng)且時(shí)，此時(shí)系數(shù)矩陣的行列式，故齊次線性方程組只有零解；（4）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故存在齊次線性方程組的同解方程組，使“”.例 解線性方程組 解法一：將系數(shù)矩陣A化為階梯形矩陣 顯然有，則方程組僅有零解，即.解法二：由于方程組的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)（即）（注意：方程組的個(gè)數(shù)不等于未知量的個(gè)數(shù)（即），不可以用行列式的方法來判斷），從而可計(jì)算系數(shù)矩陣A的行列式：，知方程組僅有零解，即.例 解線性方程組

3、解：將系數(shù)矩陣A化為簡化階梯形矩陣 可得，則方程組有無窮多解，其同解方程組為 （其中，為自由未知量）令，得；令，得；令，得，于是得到原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，.所以，原方程組的通解為（，）.例3 求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并以該基礎(chǔ)解系表示方程組的全部解. 解：將系數(shù)矩陣化成簡化階梯形矩陣 可得，則方程組有無窮多解，其同解方程組為（其中,為自由未知量）令，得；令，得，于是得到原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為,所以，原方程組的通解為（其中,為任意實(shí)數(shù)）.二、非齊次線性方程組的解法 唯一解： 線性方程組有唯一解例 解線性方程組解： 可見，則方程組有唯一解，所以方程組的解為 無解：線性方程組無解（或若階梯形方程組出現(xiàn)，則原方程組無解）例 解線性方程組解：，可見，所以原方程組無解. 無窮多解：線性方程組有無窮多解例 解線性方程組解：可見，則方程組有無窮多解，其同解方程組為 （其中,為自由未知量）令得原方程組的一個(gè)特解.又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為（其中,為自由未知量）令，得；令，得，于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，。所以，原方程組的通解為（，）.例 求線性方程組 的全部解.解： 可見，所以方程組有無窮多解，其同解方程組為 （其中為自由未知量） 令，可得原方程組的一個(gè)特解.又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為（其中為自由未