Ch07 生產(chǎn)函數(shù)

1、Ch07 生產(chǎn)函數(shù)前面，我們分析了消費者的選擇問題，并由此導(dǎo)出了向下傾斜的需求曲線。在Ch 6-8，我們將考察商品的生產(chǎn)與供給。這些活動是由廠商來完成的。廠商是通過協(xié)調(diào)，將要素投入轉(zhuǎn)化為商品（產(chǎn)出）的組織。一、廠商理論的總體思路廠商的目的是尋求利潤最大化，但是在這一過程中，它要面臨兩個約束：一是技術(shù)約束，二是市場約束。其中，p、v和w可能受到企業(yè)的產(chǎn)量q以及要素投入數(shù)量k和l的影響，這取決于產(chǎn)品市場和要數(shù)市場的結(jié)構(gòu)。我們將技術(shù)約束表述為生產(chǎn)函數(shù)，它描述了要素投入與商品產(chǎn)出之間的實物關(guān)系。廠商的市場約束表現(xiàn)在兩個方面：要素市場約束與產(chǎn)品市場的約束。前者是廠商在要素市場上競爭，以取得生產(chǎn)中所使用的

2、要素（比如資本、勞動），后者是廠商在產(chǎn)品市場競爭，以將生產(chǎn)的東西（也叫“產(chǎn)出”）賣出去。下面，我們首先考察技術(shù)約束問題。然后，我們利用生產(chǎn)函數(shù)的概念來討論廠商的生產(chǎn)成本。假定廠商的產(chǎn)出目標(biāo)給定，分析它怎樣以盡可能低的成本來生產(chǎn)這些產(chǎn)出（如何生產(chǎn)）。通過這一分析，我們可以得到廠商的成本函數(shù)。最后，我們在此基礎(chǔ)上，研究廠商的供給決策，也就是研究廠商如何根據(jù)產(chǎn)品市場的狀況，來決定生產(chǎn)多少產(chǎn)出，以實現(xiàn)其利潤的最大化。二、生產(chǎn)函數(shù)：在技術(shù)上最有效率的投入與產(chǎn)出之間的對應(yīng)關(guān)系。廣義的技術(shù)：包括狹義的技術(shù)（如生產(chǎn)工藝等）、管理等。在這里，企業(yè)是一個“黑箱”。企業(yè)內(nèi)部的復(fù)雜的生產(chǎn)組織過程被抽象掉了。三、僅一種

3、生產(chǎn)要素可變1邊際產(chǎn)量控制其它要素投入的數(shù)量保持不變，考察其中一種要素投入的數(shù)量改變對產(chǎn)量的影響。；2邊際產(chǎn)量遞減； 邊際產(chǎn)量遞減規(guī)律：（1）當(dāng)可變要素極少時，由于專業(yè)分工和團隊協(xié)作，邊際報酬遞增；（2）當(dāng)可變要素的投入超過某一點之后，固定要素（比如工廠規(guī)模）的限制作用開始體現(xiàn)，當(dāng)固定要素承載越來越多的可變要素時，產(chǎn)出的增加越來越少?！按筌S進”時期罕見的“密植”，導(dǎo)致邊際產(chǎn)量不僅遞減，而且為負(fù)。二階偏導(dǎo)數(shù)： ？3邊際產(chǎn)量曲線和總產(chǎn)量曲線四、多種要素可變實際上，并非“所有”要素皆可變。比如企業(yè)家才能。無論工廠的規(guī)模怎么變，老總只能有一個。所以，嚴(yán)格地說，應(yīng)該是“in the long run,

4、there are more factors can be changed”。這是一個比較模糊的概念，有人反對（比如張五常）。但是，并不是說只要存在不可變得要素，就不能采用下面的分析方法，因為在一定的規(guī)模范圍內(nèi)，那些不變要素可能并不會產(chǎn)生約束影響。比如，我們用CEO的最長工作時間來表示其精力或能力（t=16），加入他有效管理1個單位的企業(yè)規(guī)模（可以理解為1個工廠）需要1個小時的時間，那么，只要企業(yè)規(guī)模（比如可以用k和l的數(shù)理來衡量）沒有超過16個小時，企業(yè)規(guī)模的擴大就不會受到CEO精力或能力地約束。這種情況下，我們就可以忽略這種不變要素的影響，從而將其按所有要素皆可變化的情形來對待。1等產(chǎn)量曲

5、線各要素之間可能互相替代：對于生產(chǎn)技術(shù)的兩個假定：單調(diào)性：實際上是假設(shè)所有的生產(chǎn)要素都可以自由處置。但是，對于勞動這類要素此假設(shè)未必合適。 等產(chǎn)量曲線向右下方傾斜，而且離原點越遠(yuǎn)，所對應(yīng)的產(chǎn)量越高。凸性：假設(shè)對于要素組合或生產(chǎn)技術(shù)可以任意分割和組合，分割組合以后的產(chǎn)量至少和分割前的一樣高。 等產(chǎn)量曲線凸向原點。 2邊際技術(shù)替代率（RTS or TRS，technical rate of substitution）和邊際產(chǎn)量（1）RTS生產(chǎn)函數(shù)的一個重要特征是它以一種投入替代另一種投入的難易程度。例如，當(dāng)產(chǎn)量保持不變的時候，以資本替代勞動是不是相對容易呢？。其中，的下標(biāo)表示用l替代k。（2）RT

6、S和邊際產(chǎn)量對全微分，得，于是有（3）RTS遞減凸性技術(shù) 等產(chǎn)量曲線凸向原點 RTS遞減3替代彈性（elasticity of substitution）生產(chǎn)函數(shù)的一個重要特征是它以一種投入替代另一種投入的難易程度。例如，當(dāng)產(chǎn)量保持不變的時候，以資本替代勞動是不是相對容易呢？兩種要素之間的替代彈性是指在產(chǎn)出水平保持不變的情況下，由兩種要素之間的邊際技術(shù)替代率（RTS，或者MRTS）1% 的變化所導(dǎo)致的投入比例變化的百分比。替代彈性越大，則替代越容易進行；替代彈性為零則意味著無法進行替代。沿著同一條等產(chǎn)量線，我們假設(shè)技術(shù)替代率（RTS）將隨著資本/勞動比率（k/l）的下降而下降。如果RTS不隨著

7、k/l的變化而變化，我們可以認(rèn)為替代是容易的，因為兩種投入的邊際生產(chǎn)力比率不隨投入組合的變化而變化。相反，如果RTS隨k/l的變化而大幅度變化，我們認(rèn)為替代是困難的，因為投入組合的一個較小變動將對投入的相對產(chǎn)出率具有較大的影響。 4規(guī)模報酬（1）定義：對于，：規(guī)模報酬不變：；簡單復(fù)制。規(guī)模報酬遞增：；更好的分工協(xié)作。規(guī)模報酬遞減：；有隱性的固定要素。（2）歐拉定理規(guī)模報酬不變的一次齊次生產(chǎn)函數(shù)具有很多便利的特點。設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為一次齊次生產(chǎn)函數(shù)，則可以寫成緊湊形式（intensive form）歐拉定理： 一般形式的歐拉定理：對于k次其次的函數(shù)，根據(jù)，其中，對t求偏導(dǎo)數(shù)得到令，得到 五、幾種常用的

8、生產(chǎn)函數(shù)1線性生產(chǎn)（完全替代）函數(shù)兩種投入要素可以互相替代且技術(shù)替代率保持固定。表示等產(chǎn)量線的生產(chǎn)函數(shù)等產(chǎn)量線是向右下方傾斜的直線，2列昂惕夫（完全互補）生產(chǎn)函數(shù)在這種技術(shù)中，兩種要素不可互相替代，而且保持一定的互補比例。（用鐵鍬挖洞）表示等產(chǎn)量線的生產(chǎn)函數(shù)等產(chǎn)量線是“L”形的曲線。3柯布-道格拉斯（C-D）生產(chǎn)函數(shù)由具有可變技術(shù)系數(shù)的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)來描述。在這種技術(shù)中兩種投入要素不僅可以互相替代，而且替代比率不斷發(fā)生變化。C-D生產(chǎn)函數(shù)，與效用函數(shù)不同，生產(chǎn)函數(shù)與不能作單調(diào)變換。其原因是效用函數(shù)表示偏好，而偏好是一種序數(shù)關(guān)系，效用的數(shù)值沒有實際意義；而生產(chǎn)技術(shù)是一種基數(shù)關(guān)系，產(chǎn)量的數(shù)

9、值具有嚴(yán)格的意義。4不變替代彈性生產(chǎn)函數(shù)（CES生產(chǎn)函數(shù)），這一生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性為常數(shù)，而且根據(jù)值的不同其可以轉(zhuǎn)化為線性、柯布道格拉斯和列昂惕夫生產(chǎn)函數(shù)。對于CES來說，由于 取對數(shù)可以得到： 運用對數(shù)微分定義：CES生產(chǎn)函數(shù)包含了三種技術(shù)（當(dāng)取不同值時）：當(dāng)=1時，趨于完全具有替代彈性，因此是線性生產(chǎn)函數(shù)：當(dāng)時，趨于完全無替代彈性，因此是列昂惕夫生產(chǎn)函數(shù)： 證明：case1 。型。取對數(shù)得如果，則，；如果，則，因此，。當(dāng)時，具有單位替代彈性，因此是柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)： 證明：型。取對數(shù)得。六、技術(shù)進步干中學(xué)（Learning by doing）、R&D、模仿等皆可導(dǎo)致技術(shù)進步。如果將生產(chǎn)函數(shù)表示為，且，則該技術(shù)呈現(xiàn)出隨時間遞增的特征。 閱讀文獻：Bartelsman Eric J and Doms Mark, (2000), “Understanding productivity: lessons from longit