高中數學論文立足化歸思想實現有效解題_第1頁
高中數學論文立足化歸思想實現有效解題_第2頁
高中數學論文立足化歸思想實現有效解題_第3頁
高中數學論文立足化歸思想實現有效解題_第4頁
高中數學論文立足化歸思想實現有效解題_第5頁
全文預覽已結束

下載本文檔

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領

文檔簡介

1、高中數學論文立足化歸思想 實現有效解題任何一個數學問題的解決,都需要進行一系列的推理和運算,而這些推理和運算,本質上就是一連串的問題轉化與歸結,即數學化歸思想,靈活的轉化和巧妙的歸結是研究和解決數學問題的重要策略,又是一種數學能力,也是數學解題的核心思想,該思想滲透到所有的數學教學內容和解題過程中,在高考中占有十分重要的地位。下面以含參數二次型函數為主體闡述化歸思想在解題中的具體應用,引導學生建立合理的解題邏輯,掌握有效常規(guī)的解題方法,實現優(yōu)質高效的解題目的。一、換位思考,將問題簡單化解決含參數問題時,我們習慣了以為變量思考問題,但有時候在處理問題時會難以入手,難以理清思路,易出錯。如果換一個

2、角度思考,以另一參數為主元,卻能使問題變得簡單,容易解決。例1 對于任意,不等式恒成立,求實數的取值范圍。分析:題設為已知變量的取值范圍,求變量的取值范圍,可以考慮以為主元,為參數,把問題歸結為關于的一次函數來處理,避免分類討論,達到化繁為簡的目的。解:原不等式等價于對任意恒成立,即等價于,即,解得。變式1 設,若在上變化時,恒取正值,求實數的范圍。解:問題轉化為,在時恒成立。由,得,解得:,故。變式2 設是定義在上的增函數,若對任意恒成立,求實數的取值范圍。解:由已知得,即對任意恒成立,等價于對任意恒成立,即,得。評注:上述各題均化歸為一次函數來解決,使問題轉變?yōu)閷W生最熟悉的類型,化繁為簡,

3、有利于知識模塊的建構。二、數形結合,將問題形象化在數學中,數與形是相互聯系,相互制約的,在一定條件下又可以相互轉化,互為補充,將數與形巧妙地結合起來,能使數學問題的解決直觀形象又不失嚴密性。在處理含參數問題時,適當運用數形結合能達到高效解題的效果。例2 設方程,在上有唯一解,求實數的取值范圍。分析:如果根與系數的關系分類討論,情況比較多,顯得復雜,若分離變量,可利用圖像法,轉化為兩個函數圖像的交點個數問題,能直觀形象地解決。解:由已知得,作二次函數在上的圖像,直線與上述圖像有一個交點時,易得。評注:數形結合解題時,應盡量使所得的函數為基本函數,便于作圖,本例化為作二次函數的圖像。變式1 若方程

4、僅有一個實根,那么的取值范圍是。解:等價于,即在上僅有一個實數根。作直線和函數在上的圖像,由交點一個可得:。評注:這里的基本函數為“對勾函數”,函數圖像及性質是我們比較熟悉的。變式2 關于的方程有4個不同的實數解,求實數的取值范圍。解:轉化為,分別作直線和函數的圖像,當四個交點時,即。評注:這里的基本函數為二次函數型的分段函數。變式3 直線與曲線有四個交點,則實數的取值范圍是。解:即方程有四個不同的實數根,令,則進一步轉化為方程在上有兩個不同的解,分別作直線和函數在上的圖像,由交點兩個得。評注:這里的基本函數也是二次函數。綜上所述,對處理含參數的二次方程有幾個根的問題時,利用分離變量,恰當轉化

5、為宜于作圖的基本函數是解題的有效方法。三、逆向思考,將問題一般化當數學問題正面解決困難時,就可以考慮轉化到反面,或者逆向求解,如補集法、反正法等,往往能使問題轉化為我們熟悉的,容易解決的道路上來。例3 已知二次函數,若,試判斷函數上是否有零點。分析:若正面考慮“是否有零點”,情況相當復雜,不利于準確解題,容易出錯,但是,如果考慮函數有零點,則問題變得簡單,容易解決。解:若函數上有零點,則在有解,得,有,得,解得,這與矛盾,故函數上無零點。變式1 若二次函數,在上至少有一個值,使,求實數的范圍。解:問題等價于在有解,假設在恒成立,則,得,解得。取補集得,這就是原問題的答案。四、理性分析,將問題常

6、規(guī)化在數學問題的解答中,我們不妨冷靜的思考、從不同角度作理性的分析,發(fā)掘一些隱含的條件,往往能把問題轉化到常規(guī)題來解決,起到四兩撥千斤的效果。例4 已知函數,若對任意恒成立,去實數的取值范圍。分析:本題如果直接分類討論或者分離變量,會使解答繁瑣。仔細分析可得:,再結合圖像,易知在上無零點。解:由于,問題轉化為在上無零點,結合圖像知:,得。評注:是隱含條件,充分利用這一條件使問題簡單化,變?yōu)槌R?guī)題,便于解決。變式1 二次函數,是否存在實數、,使的定義域和值域分別為和?說明理由。分析:直接解答無從入手,思路受阻,找不到方向。如果按求二次函數值域的一般方法討論,情況也比較復雜。而由,若結論成立,則必

7、有,即,從而函數在上位增函數,這樣問題就容易解決了。解:由,若結論成立,則必有,即,從而函數在上位增函數,則有,解得,。評注:發(fā)現這一隱含條件是解題的關鍵,也是把問題變?yōu)槌R?guī)題的轉化條件。五、函數思想,將問題和諧化方程和不等式問題可以在函數的觀點下統一起來,它們是密切相關,可以相互轉化的。函數可以看成方程,也可以將方程或不等式的兩邊都看成函數。函數與方程的和諧統一是相互轉化的根本,在解決含參數的問題中有廣泛的應用。例5 方程在中至少有一個根,求實數的范圍。解:等價于方程在中有解,等價求函數在上的值域,易知此時函數為增函數,得,即,故。評注:本題將方程根的個數問題轉化為求“對勾函數”值域問題。變

8、式1 關于的方程至少有一個負根,求實數的范圍。解:顯然,故,令,問題轉化為關于的方程至少有一個負根,下面求在的值域,得,所以,即。評注:本題將方程根的個數問題轉化為求二次函數的值域來解決。變式2 函數,如果函數在上有零點,求實數的范圍。解:由,得在上有解,令,則,即在上有解。轉化為求在上的值域,而在上的值域為,從而得變式3 已知是實數,函數,如果函數在上有零點,求實數的范圍。解:顯然不符合條件。當時,轉化為在上有解,令,則,有解。轉化為求函數的值域。而由,得,即,故。變式4 關于的方程在有實根,求實數的范圍。解:顯然(否則方程無符合條件的實根),得在有實根,轉化為求得函數在的值域,此函數為增函數,解得

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論