高三復(fù)習(xí)知識(shí)梳理之四(導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)

1、高三復(fù)習(xí)知識(shí)梳理之四：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含定積分）【考點(diǎn)綜述】本部分的要求一般有三個(gè)層次：第一層次是主要考查導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)的公式和求導(dǎo)法則，為基礎(chǔ)層面；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值、證明函數(shù)的增減性等，為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)層次，以求導(dǎo)考察單調(diào)性為突破口；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性等有機(jī)地結(jié)合在一起，設(shè)計(jì)綜合題，通過將新課程內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容相結(jié)合，加強(qiáng)了能力考查力度，使試題具有更廣泛的實(shí)際意義，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)作為工具分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問題的思想方法，這類問題用傳統(tǒng)教材是難以甚至無法解決的；為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的較高層次，用于設(shè)計(jì)壓軸

2、題，突出導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的靈活性與思想方法的交匯性。預(yù)測(cè)：重點(diǎn)放在第二層次，已向第三層次進(jìn)軍（還常設(shè)計(jì)壓軸題）！即：考查對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解和計(jì)算，并力求結(jié)合應(yīng)用問題，已經(jīng)表現(xiàn)出逐步加深與綜合考查的趨勢(shì)，如已涉及理論探討和較為嚴(yán)格的邏輯證明?！局攸c(diǎn)知識(shí)】1. 平均變化率及瞬時(shí)變化率：(1)函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率：（2）函數(shù)f(x)在x0處的瞬時(shí)變化率：=2. 導(dǎo)（函）數(shù)的定義：（1）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)存在、都存在且相等。（2）在一點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)為=（3）若對(duì)任意都有=成立，則函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)；在端點(diǎn)a、b處判斷是否可導(dǎo)的方法是：若存在，則在（a,b上可導(dǎo)；若在存在，則在a,b）上可導(dǎo)；若，都

3、存在，則在a,b上可導(dǎo)。注：新課標(biāo)對(duì)極限要求降低，上述定義涉及的極限表達(dá)式僅供理解定義本質(zhì)時(shí)作參考。3. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為常數(shù)）；但不為零）； ； ； 4. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 若的導(dǎo)數(shù)都存在，則：； 為常數(shù)）；特別地，；5. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式（課本2021頁(yè)）（1）復(fù)合層次的劃分：對(duì)較為復(fù)雜函數(shù)準(zhǔn)確求導(dǎo)的前提是：會(huì)熟練地進(jìn)行復(fù)合函數(shù)層次的劃分。以基本初等函數(shù)作為劃分基本層次的標(biāo)準(zhǔn)?；境醯群瘮?shù)有以下六類：常函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；冪函數(shù)為常數(shù)）；三角函數(shù)； 反三角函數(shù)（略）。（2）求導(dǎo)法則設(shè)，則。例如：求導(dǎo)：已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是6. 抽象函數(shù)求導(dǎo)問題 如：設(shè)

4、函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且，下面的不等式在上恒成立的是（ ）A.B.C. D.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，則時(shí)（ ）ABCD【重點(diǎn)結(jié)論】1. 求導(dǎo)與單調(diào)性：若函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且使的點(diǎn)x僅有有限個(gè)，則在區(qū)間I上為嚴(yán)格遞增（減）函數(shù)的充要條件為：對(duì)一切有 例如：已知函數(shù)在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。已知函數(shù)f(x) = 在(2，)內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。2. 求導(dǎo)與極值：（課本2728頁(yè)）若當(dāng)時(shí)且當(dāng)時(shí)，則為在上的極大（?。┲?。注意：（1）正確理解極值定義： （2）極值也可能在不可導(dǎo)點(diǎn)取得，如：在處取得極小值，但是不可導(dǎo)。 （3）駐點(diǎn)即滿足的點(diǎn)不一定是取得極值的點(diǎn)，如：在點(diǎn)處。綜上，滿足的點(diǎn)

5、是此點(diǎn)是極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件。 例如：函數(shù)的極值點(diǎn)是（ ）A、x=2B、x=1C、x=1或1或0D、x=0求的極值點(diǎn)。已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若在處取到極大值，則的取值范圍是。（狀元之路50頁(yè)5）3. 求導(dǎo)與幾何意義：以曲線上一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程是（1）注意鑒別：“過曲線上一點(diǎn)的切線”與“在曲線上一點(diǎn)處的切線”的區(qū)別：“在曲線上一點(diǎn)處的切線”是指以此點(diǎn)為切點(diǎn)的切線，而“過曲線上一點(diǎn)的切線”只表示曲線的切線過“此點(diǎn)”，但是“此點(diǎn)”不一定就是切點(diǎn)！例如：已知曲線，則過點(diǎn)P（2，4）的切線方程是。（狀元之路44頁(yè)）練習(xí)：已知曲線上一點(diǎn)求過點(diǎn)P的切線方程。（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義識(shí)圖：如已知函數(shù)的導(dǎo)函

6、數(shù)的圖象如下圖，那么的圖象可能是（ ）4. 定積分重點(diǎn)結(jié)論（1）定義式；（2）面積與定積分的關(guān)系：若，則；若則；若，則。（面積與定積分的轉(zhuǎn)化）“面積”與幾何意義、物理意義（變力做功、位移等）均有密切關(guān)系。 （3）微積分基本定理：=F(b)-F(a)；（用于計(jì)算，尋找原函數(shù)） （4）（用于分段）【典例分析】題型1 求單調(diào)區(qū)間例1設(shè)函數(shù)，其中a0。（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）解不等式1。題型2 研究極值問題例2 設(shè)函數(shù)f(x)=(a、b、c、dR)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x=1時(shí)，f(x)取極小值。(1)求a、b、c、d的值；(2)當(dāng)x-1,1時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)的切線互相垂直？試證明

7、你的結(jié)論；(3)若x1,x2-1,1時(shí)，求證：|f(x1)-f(x2)|。題型3 導(dǎo)數(shù)與圖象特征結(jié)合例3已知平面向量=(,-1)，=(,).(1)證明；(2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t)；(3)據(jù)(2)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)-k=0的解的情況.例4已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)（I）求的最大值；（II）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式【啟迪遷移】1已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：總

8、結(jié)：用導(dǎo)數(shù)方法討論“函數(shù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)”問題，一般步驟如下：1. 構(gòu)造函數(shù)；2. 求導(dǎo)，研究的單調(diào)性與極值（必要時(shí)研究函數(shù)圖象端點(diǎn)的極限情況）；3. 畫出函數(shù)的圖象（示意圖），觀察它與x軸的交點(diǎn)情況（以上不必寫在卷面上），由此列出方程（組）或不等式（組）；4. 解方程或不等式（組）得解并作答。題型4 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例5 從邊長(zhǎng)為2a 的正方形鐵片的四個(gè)角各截去一小塊邊為的正方形（如右圖所示），再將四邊向上折起，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體鐵盒，要求長(zhǎng)方體的高度與底面正方形邊長(zhǎng)的比值不超過常數(shù)t.問取何值時(shí)，容積V有最大值。題型5 用于證明不等式或求“恒成立”型不等式參數(shù)范圍（肇始于課本27頁(yè)練習(xí)B3

9、）例6證明：當(dāng)x0時(shí)，有【啟迪遷移】1設(shè)函數(shù)。（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）已知對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。2. 已知數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的nN*，都有4Sn=(an+1)2。(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若2ntSn對(duì)于任意的nN*成立，求實(shí)數(shù)t的最大值。3. 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)0ab,證明：0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.題型6.用于討論某些超越方程的解例7討論方程實(shí)根個(gè)數(shù)。 【啟迪遷移】1.證明方程x=sinx在(，)內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根。題型7.定積分應(yīng)用例8 求值：例

10、9 求由拋物線，直線所圍成圖形的面積。例10 請(qǐng)先閱讀：在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，由求導(dǎo)法則得，化簡(jiǎn)得等式：（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式（，正整數(shù)），證明：（2）對(duì)于正整數(shù)，求證：（i）；（ii）；（iii）【實(shí)戰(zhàn)演練】一、選擇題1對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)滿足，則（ ）A.B. C. D.（狀元之路49頁(yè)）2已知曲線，這三條曲線與x=1的交點(diǎn)分別為A、B、C，又設(shè)k1、k2、k3分別為以A、B、C為切點(diǎn)且分別與這三條曲線相切的直線的斜率，則（ ） A k1k2k3 B k3k2k1 C k1k3k2 D k3k10，函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是（ ） A 0 B 1 C

11、 2 D 3（狀元之路47頁(yè)4）4已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有，則的最小值為（ ）A 3 B C 2 D （狀元之路49頁(yè)B1）5函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（） A. （0，1） B. C. D. 二、填空題6曲線與曲線在交點(diǎn)處的切線的夾角為。7已知且，則的取值范圍是。8已知函數(shù)f (x)=ax3bx2，曲線y=f (x)過點(diǎn)P(1，2)，且在點(diǎn)P處的切線恰好與直線x3y=0垂直。若f (x)在區(qū)間m，m1上單調(diào)遞增，則m的取值范圍。三、解答題9已知曲線，求與C1、C2均相切的直線l的方程。10函數(shù)，過曲線上的點(diǎn)的切線方程為y=3x+1（1）若時(shí)有極值，求的表達(dá)式；（

12、2）在（1）的條件下，求在-3，1上的最大值；（3）若函數(shù)在區(qū)間-2，1上單調(diào)遞增，求b的取值范圍。11某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線。（1）寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t)；（2）據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療疾病有效。求服藥一次治療疾病有效的時(shí)間？當(dāng)t=5時(shí)，第二次服藥，問t時(shí)，藥效是否連續(xù)？12設(shè)拋物線y=x2與直線y=xa（a是常數(shù)）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，記拋物線在兩交點(diǎn)處切線分別為l1，l2，求值a變化時(shí)l1與l2交點(diǎn)的軌跡。13已知曲線。

13、從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：。14.已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：若，則對(duì)于任意有。15.已知函數(shù)f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m（）求f(x)在區(qū)間t,t+1上的最大值h(t);（）是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說明理由。16.求定積分：(1)(2)17. 已知,求值, 使.答案：【重點(diǎn)知識(shí)】5. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式劃分復(fù)合層次：， 求導(dǎo)：；法1 （代換法）由（1）得，即，（2）聯(lián)立（1）（2）消去得，所求切線方程為，即 法2 （復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

14、法）兩邊求導(dǎo)得，令x=1得，在原式中令x=1得，于是所求切線方程為，即注：法2用到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)論，此法的好處是可以不必求其解析式。6. 抽象函數(shù)求導(dǎo)問題構(gòu)造特殊函數(shù)，適合題意要求，排除B,D；若取，可以排除C；故選A. 用結(jié)論：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，選B.【重點(diǎn)結(jié)論】1. 求導(dǎo)與單調(diào)性：遞減對(duì)任意恒成立錯(cuò)解：f(x)=，由f (x)在(2，)內(nèi)單調(diào)遞減，知f(x)0在x(2，)內(nèi)恒立，即0在x(2，)內(nèi)恒立。因此，a。剖析：上題看似正確，實(shí)際上卻忽視了一個(gè)重要問題：未驗(yàn)證f(x)是否恒為零。因?yàn)閒 (x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增（或遞減）的充要條件f(x)0

15、 (f(x)0)且f(x)在任一子區(qū)間上不恒為零。而當(dāng)a=時(shí)，f(x) =不是單調(diào)遞減函數(shù)，不合題意。故a的取值范圍是2. 求導(dǎo)與極值：錯(cuò)解: f (x) =x63x43x21,則由f(x)=6x512x36x=0得極值點(diǎn)為x=1，x=1和x=0，故正確答案為C.正解: 事實(shí)上，這三點(diǎn)只是駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn))，由f(x) =6x512x36x=6x(x1)2(x1)2知，當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(0，1)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0. f (x)在 (，1)、(1，0)單調(diào)遞增，在(0，1)、(1，)單調(diào)遞減。則x=0為極小值點(diǎn)，x=1或1都

16、不是極值點(diǎn)（稱為拐點(diǎn)）。故應(yīng)選D。剖析：（1）在可導(dǎo)的條件下，滿足f(x0)=0的點(diǎn)x=x0（稱為駐點(diǎn)）只是它為極大（小）值點(diǎn)的必要而不充分條件，如果一味地把駐點(diǎn)等同于極值點(diǎn)，往往容易導(dǎo)致失誤。答案：x=1，0(易遺漏)注：在求極值點(diǎn)的時(shí)候，有時(shí)還要注意導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).如上例中x=0處。3. 求導(dǎo)與幾何意義：設(shè)切點(diǎn)為，則，而，切線方程為，又切線過點(diǎn)P（2，4）有解：得 若則P（2，4）為切點(diǎn)，切線方程為4x-y-4=0； 若則為切點(diǎn)，切線方程為x-y+2=0.練習(xí)答案為12x-3y-16=0, 3x-3y+2=0.（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義識(shí)圖：解析：導(dǎo)函數(shù)都為正，說明都是增函數(shù)，均適合；在點(diǎn)x

17、0處有相同導(dǎo)數(shù)說明這兩個(gè)函數(shù)圖像在點(diǎn)x0處的切線平行（排除B）；g(x)的導(dǎo)函數(shù)遞增說明g(x)的圖象向下凸，f(x)的導(dǎo)函數(shù)遞減說明f(x)的圖象向上凸，結(jié)合以上性質(zhì)應(yīng)選D。不過，用導(dǎo)數(shù)研究圖像凸凹性，超出了新教材應(yīng)用范圍，是有超綱嫌疑的！當(dāng)然，不提圖象凸凹性，在圖像上觀察切線斜率的變化趨勢(shì)也可直觀獲解，這對(duì)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的靈活運(yùn)用提出了較高要求。評(píng)注：通過導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、凸凹性、駐點(diǎn)、拐點(diǎn)、漸近線等，結(jié)合定義域、值域可以較好地使用描點(diǎn)法直觀地較為準(zhǔn)確地作出函數(shù)圖象，這對(duì)于深入認(rèn)識(shí)函數(shù)本質(zhì)具有重要作用。在研究圖象性質(zhì)的問題中有一大類是討論函數(shù)f(x)圖象與曲線g(x)尤其是與

18、直線y=a的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，其基本解法是通過構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的零點(diǎn)或研究方程實(shí)解問題；反之，對(duì)于一些方程實(shí)根討論問題也可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造相關(guān)函數(shù)研究其性質(zhì)（單調(diào)性與極值）而獲解?！镜淅治觥款}型1 求單調(diào)區(qū)間例1解：(1) 當(dāng)a1時(shí)，有，此時(shí)f/(x)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。 當(dāng)0a1時(shí)，解不等式f/(x)0得，f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)。(2)當(dāng)a1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù),由f(0)=1,當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)f(x)1.當(dāng)0a1時(shí)，f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù),在上是單調(diào)遞增函數(shù),由f(x)=1得x=0或，且,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，f(x)1.綜上可得：當(dāng)a1時(shí)，f(

19、x)1的解集為x|x0;當(dāng)0a1時(shí)，f(x)1的解集為x|。題型2 研究極值問題例2 解(1) 函數(shù)f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(-x)=- f(x).-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.f(x)=3ax2+c.x=1時(shí),f(x)取極小值-.f(1)=0且f(1)=- ,即3a+c=0且a+c=-.解得a=,c=-1.經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意。(2)證明：當(dāng)x-1,1時(shí)，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立，假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得過這兩點(diǎn)的切線互相垂直，則由

20、f(x)=x2-1，知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1. (*)x1、x2-1,1,x12-10，x22-10(x12-1)(x22-1)0，這與(*)相矛盾，故假設(shè)不成立.(3)證明：f(x)=x2-1,由f(x)=0,得x=1.當(dāng)x(-，-1)或（1，+）時(shí)，f(x)0;當(dāng) x(-1，1)時(shí)，f(x)0.f(x)在-1,1上是減函數(shù)，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.在-1,1上，|f(x)|.于是x1,x2-1,1時(shí)，|f(x1)-f(x2)|f(x1)|+|f(x2)|+=.故x1,x2-1

21、,1時(shí),|f(x1)-f(x2)|.題型3 導(dǎo)數(shù)與圖象特征結(jié)合例3解 (1)=+(-1)=0.(2)，=0即+(t2-3) (-k+t)=0.整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)=0=0，=4，=1，上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)；又k,t不同時(shí)為零，故。于是(3)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)= t(t2-3)與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù).于是f(t)= (t2-1)= t(t+1)(t-1).令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時(shí)，f(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )

22、f(t)+0-0+F(t)極大值極小值當(dāng)t=-1時(shí)，f(t)有極大值，f(t)極大值=.當(dāng)t=-1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=-.函數(shù)f(t)=t(t2-3)的圖象如圖1321所示，可觀察出：(1)當(dāng)k或k-時(shí),方程f(t)-k=0有且只有一解；(2)當(dāng)k=，k=-或時(shí),方程f(t)-k=0有兩解；(3) 當(dāng)-k且時(shí),方程f(t)-k=0有三解.例4解：（I）法1 因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為（），則，且于是，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立故的最大值是16 法2 作出可行域G如圖所示： 令,尋求其幾何意義，可得拋物線過點(diǎn)時(shí)縱截距取最小值即（II）法1

23、：由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則不是的極值點(diǎn)而，且若，則和都是的極值點(diǎn)所以，即，又由，得，故法2：同法1得因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，于是存在（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則有結(jié)論：在左右兩側(cè)同號(hào)，即：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由結(jié)合的結(jié)構(gòu)特征（拋物線開口向上）知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則，所以，又由，得，故【啟迪遷移】1解：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即（2）如果有一條切線過點(diǎn)，則存在，使于是，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根記，則當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：000增極大值減極

24、小值增由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則即評(píng)注：準(zhǔn)確解決本題的關(guān)鍵是：將條件“過點(diǎn)可作曲線的三條切線”等價(jià)轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的圖象特征（有三個(gè)零點(diǎn)的充要條件）。題型4 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例5 錯(cuò)解：因?yàn)樗院瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，這時(shí)V在定義域內(nèi)有惟一極值點(diǎn)由問題的實(shí)際意義可知，正解：當(dāng)這時(shí)V在定義域內(nèi)有惟一極值點(diǎn)由問題的實(shí)際意義可知，知V在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故當(dāng)題型5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用1. 用于證明不等式或求“恒成立”型不等式參數(shù)范圍例6分析：構(gòu)造

25、函數(shù)，研究其單調(diào)性后作判斷?！締⒌线w移】1. 解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1，+)，f(x)=-1. 令f(x)=0，解得x=0.當(dāng)-1x0時(shí)，f(x)0;當(dāng)x0時(shí)，f(x)0.又f(0)=0，故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最大值,最大值為0.（2）證法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=aln由（1）結(jié)論知ln(1+x)-x-1，且x0)由題設(shè)0ab，得因此，.又，.綜上，.證法二：.設(shè)，則.當(dāng)0xa時(shí)，因此F(x)在上為增函數(shù).從而，當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)(x)有極小值F(a). 即.設(shè)，則當(dāng)x0時(shí)，因此上為減函數(shù)。即，綜上，原不等式得證。2解析：（）若

26、 則，列表如下：+0-單增極大值單減單減（）在兩邊取對(duì)數(shù), 得,由于所以(1)由(1)的結(jié)果可知,當(dāng)時(shí), 為使(1)式對(duì)所有成立,當(dāng)且僅當(dāng),即為所求。評(píng)注：尋找（2）中不等式與（1）的聯(lián)系（觀察其結(jié)構(gòu)特征），通過取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最大值問題。3. 分析：利用Sn-Sn-1=an(n2)易得an=2n-1，從而Sn=n2則問（2）轉(zhuǎn)化為t恒成立，故只需求出數(shù)列的最小項(xiàng)，有以下求法：法1：研究數(shù)列bn的單調(diào)性。法2：數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，欲求的最小項(xiàng)可先研究連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性，求導(dǎo)得，易得為函數(shù)的極小值也是最小值點(diǎn)，又，所以而，故（注：不能直接對(duì)求導(dǎo)，為什么？）3. 用于討論某些超越方程

27、的解例7簡(jiǎn)析 設(shè)的切線為，切點(diǎn)為，則,另一方面有,由知代入得于是有：（1）當(dāng)時(shí)方程有一解，為（2）當(dāng)時(shí)方程無解，（3）當(dāng)時(shí)有兩解。 評(píng)注：體會(huì)用切線定位，解決問題的妙用。【啟迪遷移】1.解答：設(shè)f(x)=xsinx，即證f(x)=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。因?yàn)閒(x)=1cosx0，其中等號(hào)只在孤立點(diǎn)x=2k(kZ)時(shí)成立。故f(x)在(，)上是遞增的。又由于f(0)=0，故當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，當(dāng)x0時(shí)，f (x)0。因此f (x)=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=0.例10【證明】（1）在等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得 移項(xiàng)得 （*）（2）（i）在（*）式中，令，整理得所以（ii）由（1）知兩邊對(duì)求導(dǎo)，得在上式中，令得，即

28、 ，亦即又由（i）知，由+得（iii）將等式兩邊在上對(duì)積分， 由微積分基本定理，得， 所以 【實(shí)戰(zhàn)演練】一、選擇題 CDDCB4. 提示：，可知必有（否則），于是二、填空題6 90。7 （-，-1）。8m0或 m-3。三、解答題9由得，由 ，得；設(shè)直線l與的切點(diǎn)為的切點(diǎn)為根據(jù)已知條件+整理得；由得；即，代入與聯(lián)立可解得x1=0或x1=2當(dāng)x1=0時(shí)，x2=2；當(dāng)x1=2時(shí)，x2=0；直線l過（0，0）、（2，0）點(diǎn)，或直線過（2，4）、（0，-4）點(diǎn)因此所求直線方程為y=0或y=4x-4。10解：（1）由求導(dǎo)數(shù)得過上點(diǎn)的切線方程為：，而過上，的切線方程為故 即在x=-2時(shí)有極值，故=0 由式聯(lián)立解得，（2）-2+00+極大極小，在-3，1上最大值為13。（3）在區(qū)間 -2，1上單調(diào)遞增，又，由（1）知，依題意在-2，1上恒有在-2，1上恒成立。 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，b不存在；當(dāng)時(shí)，0b6；綜合上述討論可知，所求參數(shù)b取值范圍是：b0。11解答：（1）當(dāng)0t1時(shí)，y=4t， 當(dāng)t1時(shí)，此時(shí)M（1，4）在曲線上，這時(shí)，所以（2） 解得服藥一次治療疾病有