高等數(shù)學講義汪誠義第七章★漢魅HanMei—考研資料分享

1、第七章 多元函數(shù)積分學§7.1 二重積分(甲) 內容要點一、在直角坐標系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序序問題模型I：設有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在 上連續(xù)，則模型II：設有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù) 則 關于二重積分的計算主要根據(jù)模型I或模型II，把二重積分化為累次積分從而進行計算，對于比較復雜的區(qū)域D如果既不符合模型I中關于D的要求，又不符合模型II中關于D的要求，那么就需要把D分解成一些小區(qū)域，使得每一個小區(qū)域能夠符合模型I或模型II中關于區(qū)域的要求，利用二重積分性質，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進行計算

2、。在直角坐標系中兩種不同順序的累次積分的互相轉化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域D，然后根據(jù)D再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。二、在極坐標系中化二重積分為累次積分在極坐標系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對進行積分，然后再對進行積分，由于區(qū)域D的不同類型，也有幾種常用的模型。模型I 設有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)。則 模型II 設有界閉區(qū)域其中在上連續(xù)，在上連續(xù)。則 （乙）典型例題一、二重積分的計算例1 計算，其中D由y=x,y=1和y軸所圍區(qū)域解： 如果那么先對求原函數(shù)就不行，故考慮另一種順序的累次積分。 這時先對x

3、積分，當作常數(shù)處理就可以了。原式=例2 計算 解：原式= 例3 求 解一： 解二： 由積分區(qū)域對稱性和被積函數(shù)的奇偶性可知二、交換積分的順序例1 交換解 原式=其中D由和以及所圍的區(qū)域由 因此按另一順序把二重積分化為累次積分對三塊小區(qū)域得原式例2 設證明：交換積分次序令 三、二重積分在幾何上的應用1、求空間物體的體積例1 求兩個底半徑為R的正交圓柱面所圍立體的體積解 設兩正交圓柱面的方程為，它們所圍立體在第一卦限中的那部分體積其中D為 因此 而整個立體體積由對稱性可知 例2 求球面所圍（包含原點那一部分）的體積解 其中D為xy平面上與x軸所圍平面區(qū)域用極坐標系進行計算2、求曲面的面積（數(shù)學一）

4、§7.2 三重積分（數(shù)學一）(甲) 內容要點一、三重積分的計算方法1、直角坐標系中三重積分化為累次積分（1）設是空間的有界閉區(qū)域 其中D是xy平面上的有界閉區(qū)域，在D上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)，則 （2）設其中D(z)為豎坐標為z的平面上的有界閉區(qū)域，則2、柱坐標系中三重積分的計算相當于把(x,y)化為極坐標（）而z保持不變3、球坐標系中三重積分的計算（乙） 典型例題一、有關三重積分的計算例1 計算，其中由曲面所圍的區(qū)域解 例2 計算,其中由曲面所圍的區(qū)域解 令 則 例3 計算 所圍的區(qū)域解 用球坐標例4 計算解 二、在物理上的應用例1 求 橢圓錐面解 設重心坐標（）物體所占空間區(qū)域為由對稱性

5、可知由錐體體積公式可知令 而 因此，重心坐標例2 設有一半徑為R的球體，是球表面上的一個定點，球體上任一點的密度與該點到的距離平方成正比（比例系數(shù)k>0）,求球體重心的位置解一：設球面方程為為 (R, 0,0)，球體的重心坐標為（）由對稱性可知由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性，則有于是 因此 解二： 設球面坐標， (0,0,0)，重心坐標（）由對稱性可知 于是 §7.3 曲線積分（數(shù)學一）(甲) 內容要點一、 第一類 曲線積分（對弧長的曲線積分）參數(shù)計算公式我們只討論空間情形（平面情形類似）設空間曲線L的參數(shù)方程 則 （假設）這樣把曲線積分化為定積分來進行計算二、 第二類 曲線積分

6、（對坐標的曲線積分）參數(shù)計算公式我們只討論空間情形（平面情形類似）設空間有向曲線L 的參數(shù)方程這樣把曲線積分化為定積分來計算。值得注意：如果曲線積分的定向相反，則第二類曲線積分的值差一個負號，而第一類曲線積分的值與定向無關，故曲線不考慮定向。三、兩類曲線積分之間的關系空間情形：設L=為空間一條逐段光滑有定向的曲線，在L上連續(xù)，則四、格林公式關于平面區(qū)域上的二重積分和它的邊界曲線上的曲線之間的關系有一個十分重要的定理，它的結論就是格林公式。定理1、（單連通區(qū)域情形）設平面上有界閉區(qū)域D由一條逐段光滑閉曲線L所圍的單連通區(qū)域，當沿L正定向移動時區(qū)域D在L的左邊，函數(shù)在D上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則有五

7、、平面上曲線積分與路徑無關的幾個等價條件設P，Q在單連通區(qū)域D內有一階連續(xù)偏導數(shù)，則下面幾個條件彼此等價1任意曲線L=AB 在D內 與路徑無關2D內任意逐段光滑閉曲線C，都有3成立4D內處處有（乙）典型例題一、用參數(shù)公式直接計算例 計算曲線積分 ，其中L是曲線，從Z軸正向往負向看L的方向是順時針方向。解：曲線L是圓柱面和平面的交線，是一個橢圓周，它的參數(shù)方程（不是唯一的選法）最簡單可取 ，根據(jù)題意規(guī)定L的定向，則從變到0，于是 二、用格林公式等性質來計算曲線積分例1、求，其中，b為正的常數(shù)，L為從點沿曲線到點（0，0）的弧解一：用格林公式，但L不是封閉曲線，故補上一段，它為從（0，0）沿y0

8、到的有向直線。這樣構成封閉曲線，為逆時針方向于是 ，令，根據(jù)格林公式 這里D為由L和圍成的上半圓區(qū)域。另外，在上，y0，故于是 解二：我們把所給曲線積分拆成兩項在中，由于，故積分與路徑無關又看出 因此 而在中，取L的參數(shù)方程 t從0到于是 因此，例2、計算曲線積分，其中L是以（1，0）為圓心，R（>1）為半徑的圓周,取逆時針方向.解 令當時, 成立因此,不能在L 的內部區(qū)域用格林公式設法用曲線C在L 的內部又包含原點在C的內部,這樣在C與L圍成的二連通區(qū)域內可以用格林公式今取曲線C: 從到0為順時針方向令C與L圍成區(qū)域為D(二連通區(qū)域)根據(jù)格林公式 (逆時針) (順時針)于是 (順時針)

9、 (逆時針)用C的參數(shù)公式代入后，得注：這里取C為上述橢圓周，最后計算最簡單，如果取C為的圓周，那么最后的積分就比較復雜例3、設函數(shù)具有連續(xù)導數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)。證明：對右半平面x>0內的任意分段光滑簡單閉曲線C，有；求函數(shù)的表達式。證 如圖，設C是半平面x>0內的任一分段光滑簡單閉曲線，在C上任意取定兩點M,N，作圍繞原點的閉曲線,同時得到另一圍繞原點的閉曲線.根據(jù)題設可知 根據(jù)第二類曲線積分得性質，利用上式可得0解：設P，P,Q在單連通區(qū)域x>0內具有一階連續(xù)偏導數(shù)。由知，曲線積分在該區(qū)域內與路徑無關，故當x>0時，

10、總有。 ， ， 比較、兩式的右端，得 由得 ，將代入得 所以三、應用例 在變力的作用下一質點由原點沿直線到橢球面上第一卦限的點 問取何值時，作功W最大，并求。解：設線段OM的參數(shù)方程 ，則在OM上作功 用拉格朗日乘子法求條件極值。構造函數(shù) （1） （2） （3） （4）得 （5）由得 代入（5）得 ，則 ，同理得 ，故原點到作功最大，最大功為§7.4 曲面積分 （數(shù)學一）（甲）內容要點一、第一類曲面積分（對面積的曲面積分）基本計算公式設曲面S的方程 在D上有連續(xù)偏導數(shù)，在S上連續(xù)，則這樣把第一類曲面積分化為二重積分進行計算二、第二類曲面積分（對坐標的曲面積分）基本計算公式如果曲面S的

11、方程 上連續(xù)，在S上連續(xù)，則若曲面S指定一側的法向量與Z軸正向成銳角取正號，成鈍角取負號，這樣把這部分曲面積分化為xy平面上的二重積分，其它兩部分類似地處理。三、兩類曲面積分之間的關系其中處根據(jù)定向指定一側的法向量的三個方向余弦四、高斯公式定理 設是由分塊光滑曲面S圍成的單連通有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則(外側) 其中為S在點處的法向量的方向余弦五、斯托克斯公式定理：設L是逐段光滑有向閉曲線，S是以L為邊界的分塊光滑有向曲面，L的正向與S的側（取法向量的指向）符合右手法則，函數(shù)在包含S的一個空間區(qū)域內有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則有也可用第一類曲面積分六、梯度、散度和旋度1、梯度 設稱為u的

12、梯度 ，令是算子則 2、散度 設則 稱為的散度高斯公式可寫成 （外側）其中為外側單位法向量3、旋度稱為的旋度。斯托克斯公式可寫成 其中（乙）典型例題一、用基本公式直接計算曲面積分例1、設S為橢球面的上半部分，點為 在點處的切平面，為原點到的距離，求解：先求出即 由S的方程，于是這樣 區(qū)域D:所以原式二 用高斯公式計算曲面積分例1計算 （常數(shù)）其中解：令曲面于是為閉下半球面的內側設其內部區(qū)域為，令D為xy平面上圓域例2 計算其中S是不通過點（1，1，1）的球面的外側解：設（1） 當S的內部不包含點（1，1，1）時，根據(jù)高斯公式可知I = 0（2） 當S的內部包含點（1，1，1）時，作曲面選a充分

13、大，使的內部，于是是二連通區(qū)域的邊界曲面，現(xiàn)在根據(jù)高斯公式（二連通區(qū)域）于是在，故積分可以化簡令是以（外側）為邊界的空間區(qū)域再用高斯公式例3 設對x > 0內任意光滑有向閉曲面S都有其中內有一階連續(xù)導數(shù)，且求f (x)解：設S包圍的空間區(qū)域，由題設和高斯公式得由于S的任意性，可知即微分方程：得出通解由得則三、用斯托克斯公式例1設的上半部，求解：根據(jù)斯托克斯公式其中L為S的邊界曲線 （逆時針方向）取L的參數(shù)方程則例2 計算的交線，從z軸正向看去，L為逆時針方向。解：記S為平面上L所圍成部分的上側，D為S在xy坐標平面上的投影，由斯托克斯公式得四、曲面積分的應用例設有一高度為h(t) (t為時間)的雪堆在融化過程中，其側面滿足