高中數(shù)學(xué)考前歸納總結(jié)直線圓錐曲線常見(jiàn)的幾種題型

1、直線圓錐曲線常見(jiàn)的幾種題型一、直線圓錐曲線問(wèn)題的常規(guī)解題方法:1.設(shè)直線與方程；（提醒：設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在；設(shè)為y=kx+b與x=my+n 的區(qū)別） 2.設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊?即“設(shè)而不求”） 3.聯(lián)立方程組； 4.消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡(jiǎn)單） 5.根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型： “以弦AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)0”（提醒：需討論K是否存在） “點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問(wèn)題” “直角、銳角、鈍角問(wèn)題” “向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問(wèn)題” >0； “等角、角平分、角互補(bǔ)問(wèn)題” 斜率關(guān)系（或）； “共線問(wèn)題” （如： 數(shù)的角

2、度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）； （如：A、O、B三點(diǎn)共線直線OA與OB斜率相等）； “點(diǎn)、線對(duì)稱問(wèn)題” 坐標(biāo)與斜率關(guān)系； “弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長(zhǎng)公式問(wèn)題（提醒：注意兩個(gè)面積公式 的 合理選擇）； 6.化簡(jiǎn)與計(jì)算； 7.細(xì)節(jié)問(wèn)題不忽略； 判別式是否已經(jīng)考慮；拋物線、雙曲線問(wèn)題中二次項(xiàng)系數(shù)是否會(huì)出現(xiàn)0.二、基本解題思想：1、“常規(guī)求值”問(wèn)題：需要找等式，“求范圍”問(wèn)題需要找不等式；例1.已知A、B、C是橢圓上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，BC過(guò)橢圓m的中心，且（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l（斜率存在時(shí)）與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q，設(shè)D為橢圓m與y 軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且.求實(shí)數(shù)

3、t的取值范圍 解（1）橢圓m：（2）由條件D（0，2） M（0，t）1°當(dāng)k=0時(shí)，顯然2<t<2 2°當(dāng)k0時(shí)，設(shè) 消y得 由>0 可得 設(shè)則 由 t>1 將代入得 1<t<4t的范圍是（1，4） 綜上t（2，4） 2、“是否存在”問(wèn)題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無(wú)解； 例2.已知圓：及定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在 上，點(diǎn)在上，且滿足2，·（1）若，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若動(dòng)圓和（1）中所求軌跡相交于不同兩點(diǎn)，是否存在一組正實(shí)數(shù)， 使得直線垂直平分線段，若存在，求出這組正實(shí)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由 解：（1）點(diǎn)為的中點(diǎn)

4、， 又，或點(diǎn)與點(diǎn)重合 又 點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓， 且，的軌跡方程是 (2)解：不存在這樣一組正實(shí)數(shù)，下面證明： 由題意，若存在這樣的一組正實(shí)數(shù)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)之為，故直線的方程為：，設(shè)，中點(diǎn)，則，兩式相減得：注意到，且 ，則 ， 又點(diǎn)在直線上，代入式得：因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)在所給橢圓內(nèi)，故， 這與矛盾，所以所求這組正實(shí)數(shù)不存在 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則此時(shí)，代入式得， 這與是不同兩點(diǎn)矛盾綜上，所求的這組正實(shí)數(shù)不存在 3、證明定值問(wèn)題的方法：常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來(lái)，然后證明計(jì)算結(jié)果與參數(shù)無(wú) 關(guān)；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。例3、已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短

5、軸長(zhǎng)為，離心率為，是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且，過(guò)P作關(guān)于直線F1P對(duì)稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)。（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證直線AB的斜率為定值； 例3、解（1）。 ，設(shè) 則 點(diǎn)在曲線上，則 從而，得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為， 則PB的直線方程為： 由 得 設(shè)則 同理可得，則 所以：AB的斜率為定值。4、處理定點(diǎn)問(wèn)題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求 出定點(diǎn)；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明，例4、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為（）求橢圓

6、的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 解：（）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）設(shè)， 聯(lián)立， 得，又，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，即，解得：，且均滿足， 當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過(guò)定點(diǎn) 所以，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 5、 求最值問(wèn)題時(shí)：將對(duì)象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、 三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等 式的方法等再解決；例5.設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線DFByxAOE 與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E

7、、F兩點(diǎn) （1）若，求的值； （2）求四邊形面積的最大值 解：依題設(shè)得橢圓的方程為，DFByxAOE 直線的方程分別為， 2分 如圖，設(shè)，其中， 且滿足方程， 故 由知，得； 由在上知，得 所以，化簡(jiǎn)得，解得或。6分 （）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式知，點(diǎn)到的距離分別為 ， 又，所以四邊形的面積為 ， 當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為。 解法二：由題設(shè)， 設(shè)，由得， 故四邊形的面積為 ， 當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實(shí)施。這就要優(yōu)化方法，才能使計(jì)算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)； 例6.如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m0），l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。 （1）求橢圓的方程； （2）求m的取值范圍； （3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.解：（1）設(shè)橢圓方程為則