高中數(shù)學(xué)概率231離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望學(xué)案新人教B版選修23

1、2.3.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.理解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的意義和性質(zhì)，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出數(shù)學(xué)期望.(重點(diǎn))2.掌握二點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望.(重點(diǎn))3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望解決一些相關(guān)問題.(難點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望閱讀教材P59P60，完成下列問題.1.定義一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1，x2，xn，這些值對(duì)應(yīng)的概率是p1，p2，pn，則E(X)x1p1x2p2xnpn叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望).2.意義刻畫了離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.1.下列說法正確的有_(填序號(hào)).

2、隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化；隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平；若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)2，則E(2X)4；隨機(jī)變量X的均值E(X).【解析】錯(cuò)誤，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)常量，是隨機(jī)變量X本身固有的一個(gè)數(shù)字特征.錯(cuò)誤，隨機(jī)變量的均值反映隨機(jī)變量取值的平均水平.正確，由均值的性質(zhì)可知.錯(cuò)誤，因?yàn)镋(X)x1p1x2p2xnpn.【答案】2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X123P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.【解析】E(X)1×2×3×.【答案】3.設(shè)E(X)10，則E(3X5)_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62980052】【解析】E(3

3、X5)3E(X)53×10535.【答案】35教材整理2常見幾種分布的數(shù)學(xué)期望閱讀教材P60例1以上部分，完成下列問題.名稱二點(diǎn)分布二項(xiàng)分布超幾何分布公式E(X)pE(X)npE(X)1.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B，則E(X)的值為_.【解析】E(X)np4×.【答案】2.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，不命中得0分.已知他命中的概率為0.8，則罰球一次得分X的期望是_.【解析】因?yàn)镻(X1)0.8，P(X0)0.2，所以E(X)1×0.80×0.20.8.【答案】0.8質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑

4、問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型二點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p0.6.(1)求投籃1次時(shí)命中次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；(2)求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望.【精彩點(diǎn)撥】(1)利用二點(diǎn)分布求解.(2)利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式求解.【自主解答】(1)投籃1次，命中次數(shù)X的分布列如下表：X01P0.40.6則E(X)0.6.(2)由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即YB(5,0.6)，則E(Y)np5×0.63.1.常見的兩種分布的均值設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率，則(1)二點(diǎn)分布E(X)p；(2)二項(xiàng)分布E(X)np.熟練應(yīng)

5、用上述公式可大大減少運(yùn)算量，提高解題速度.2.二點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布辨析(1)相同點(diǎn)：一次試驗(yàn)中要么發(fā)生要么不發(fā)生.(2)不同點(diǎn)：隨機(jī)變量的取值不同，二點(diǎn)分布隨機(jī)變量的取值為0,1，二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量的取值x0,1,2，n.試驗(yàn)次數(shù)不同，二點(diǎn)分布一般只有一次試驗(yàn)；二項(xiàng)分布則進(jìn)行n次試驗(yàn).再練一題1.(1)某種種子每粒發(fā)芽的概率為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A.100B.200C.300D.400(2)已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如下，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于()X01Pm2mA.B.

6、C.D.【解析】(1)由題意可知，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，X服從二項(xiàng)分布，即XB(1 000,0.1)，所以不發(fā)芽種子的數(shù)學(xué)期望為1 000×0.1100.所以補(bǔ)種的種子數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2×100200.(2)由題意可知m2m1，所以m，所以E(X)0×1×.【答案】(1)B(2)D求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望在甲、乙等6個(gè)單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動(dòng)中，每個(gè)單位的節(jié)目集中安排在一起，若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各單位的演出順序(序號(hào)為1,2，6)，求：(1)甲、乙兩單位的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率；(2)甲、乙兩單位之間的演出單位個(gè)數(shù)的分布列與均值.【精

7、彩點(diǎn)撥】(1)可先求“甲乙兩單位的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù)”的對(duì)立事件的概率；(2)先求出的取值及每個(gè)取值的概率，然后求其分布列和均值.【自主解答】只考慮甲、乙兩單位的相對(duì)位置，故可用組合計(jì)算基本事件數(shù).(1)設(shè)A表示“甲、乙的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù)”，則表示“甲、乙的演出序號(hào)均為偶數(shù)”，由等可能性事件的概率計(jì)算公式得P(A)1P()11.(2)的所有可能取值為0,1,2,3,4，且P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).從而知的分布列為01234P所以E()0×1×2×3×4×.求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的步驟1.根據(jù)的實(shí)際意義，

8、寫出的全部取值.2.求出的每個(gè)值的概率.3.寫出的分布列.4.利用定義求出數(shù)學(xué)期望.其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過程中應(yīng)注重分析概率的相關(guān)知識(shí).再練一題2.盒中裝有5節(jié)同牌號(hào)的五號(hào)電池，其中混有兩節(jié)廢電池.現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解】X可取的值為1,2,3，則P(X1)，P(X2)×，P(X3)××1.抽取次數(shù)X的分布列為X123PE(X)1×2×3×.探究共研型離散型隨機(jī)變量的均值實(shí)際應(yīng)用探究1某籃球明星罰球命中率為0.7，罰球命中得1分，不中得0

9、分，則他罰球一次的得分X可以取哪些值？X取每個(gè)值時(shí)的概率是多少？【提示】隨機(jī)變量X可能取值為0,1.X取每個(gè)值的概率分別為P(X0)0.3，P(X1)0.7.探究2在探究1中，若該球星在一場(chǎng)比賽中共罰球10次，命中8次，那么他平均每次罰球得分是多少？【提示】每次平均得分為0.8.探究3在探究1中，你能求出在他參加的各場(chǎng)比賽中，罰球一次得分大約是多少嗎？為什么？【提示】在球星的各場(chǎng)比賽中，罰球一次的得分大約為0×0.31×0.70.7(分).因?yàn)樵谠撉蛐菂⒓痈鲌?chǎng)比賽中平均罰球一次的得分只能用隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望來描述他總體得分的平均水平.具體到每一場(chǎng)比賽罰球一次的平均得分應(yīng)該

10、是非常接近X的均值的一個(gè)分?jǐn)?shù).隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：元)為X.(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的數(shù)學(xué)期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)

11、0.02.故X的分布列為：X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)6×0.632×0.251×0.1(2)×0.024.34.(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤為E(X)6×0.72×(10.70.01x)1×x(2)×0.014.76x(0x0.29).依題意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多為3%.1.實(shí)際問題中的期望問題均值在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如對(duì)體育比賽的成績(jī)預(yù)測(cè)，消費(fèi)預(yù)測(cè)，工程方案的預(yù)測(cè)，產(chǎn)品合格率的預(yù)測(cè)，投資收益的預(yù)

12、測(cè)等方面，都可以通過隨機(jī)變量的期望來進(jìn)行估計(jì).2.概率模型的三個(gè)解答步驟(1)審題，確定實(shí)際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些.(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的期望.(3)對(duì)照實(shí)際意義，回答概率，均值等所表示的結(jié)論.再練一題3.甲、乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán).將它們的比賽成績(jī)畫成頻率分布直方圖如圖2­3­1甲和圖乙所示.圖2­3­1(1)根據(jù)這次比賽的成績(jī)頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率P(X乙8)，以及甲擊中9環(huán)以上(包括9環(huán))的概率；(2)根據(jù)這次比

13、賽的成績(jī)估計(jì)甲、乙誰的水平更高(即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大).【解】(1)由圖乙可知P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35.所以P(X乙8)10.20.20.350.25.同理P(X甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3，所以P(X甲10)10.20.150.30.35.P(X甲9)0.30.350.65.(2)因?yàn)镋(X甲)7×0.28×0.159×0.310×0.358.8，E(X乙)7×0.28×0.259×0.210×0.358.7，則有E(X甲)>E(X乙)，所

14、以估計(jì)甲的水平更高.構(gòu)建·體系1.一名射手每次射擊中靶的概率為0.8，則獨(dú)立射擊3次中靶的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是()3B.0.8C.2.4D.3【解析】E(X)3×0.82.4.【答案】C2.口袋中有編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，則取出的球的最大編號(hào)X的均值為()A.B. C.2D.【解析】X的取值為2,3.因?yàn)镻(X2)，P(X3).所以E(X)2×3×.【答案】D3.某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，則y的值為_.【解析】依題意得即解得y0.4.【答案】0.44.設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能的取值為1,2,3，P(Xk)akb(k1,2,3).又X的均值E(X)3，則ab_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62980053】【解析】P(X1)ab，P(X2)2ab，P(X3)3ab，E(X)1×(ab)2×(2ab)3×(3ab)3，14a6b3.又(ab)(2ab)(3ab)1，6a3b1.由可知a，b，ab.【答案】5.袋中有4