高一寒假清北班資料3數(shù)列的概念

1、專題三：數(shù)列的概念序：本章注意培養(yǎng)：觀察歸納思想、遞推思想、等價轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想解決數(shù)列問題。實例引入：印度國王獎勵象棋發(fā)明者時，對象棋各格子里放麥粒，各格子里的麥粒數(shù)按位置放置的先后排成一列數(shù)：正整數(shù)從小到大依次排成一列：正整數(shù)的倒數(shù)排成一列：的精確到的不足近似值排成一列：的1次冪、2次冪、3次冪、4次冪、，排成一列：無窮多個1排成一列：一、數(shù)列的概念1數(shù)列的定義：_叫做數(shù)列。（這列數(shù)可“有限”也可“無限”）注意：數(shù)列的一列數(shù)是有次序性的，注意“數(shù)列”與“數(shù)集”的區(qū)分!數(shù)列中的項：數(shù)列中的每個數(shù)。數(shù)列的項數(shù)：數(shù)列中項的序號。如：）； ）。2函數(shù)觀點下“數(shù)列”的定義：數(shù)列實質(zhì)上可以看做一個定

2、義域為_的函數(shù)，當自變量從1開始從小到大依次取正整數(shù)值時對應(yīng)的一列函數(shù)值（或）。注意：數(shù)列視為正整數(shù)為自變量的函數(shù)值，與普通的函數(shù)有區(qū)別，它是離散的。3數(shù)列的表示：，簡記為。其中叫數(shù)列的第項。如數(shù)列：，簡記為。數(shù)列的第項（通項），為項數(shù)；數(shù)列。數(shù)列的表示方法：1）通項公式表示法：一個數(shù)列的第項（通項）與項數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式來表示的話，這個公式就叫做這個數(shù)列的_，記為。如上面引入中的6個數(shù)列的通項公式為：_；_；_；_；_；_。2）圖象表示法：如：數(shù)列： 數(shù)列：3）遞歸（推）公式表示法（后面講）二、數(shù)列的分類：（1）按數(shù)列項數(shù)的多少可分為：；（2）按數(shù)列中項的大小可分為：；（3）按值

3、域分為：注意：有窮數(shù)列必為有界數(shù)列，無窮數(shù)列則可為有界，也可為無界數(shù)列。三、數(shù)列的通項公式（1）函數(shù)并不是都能用解析式表示，所以并不是所有數(shù)列的通項能寫成關(guān)于的公式。即并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式。如數(shù)列。（2）通項公式作用：已知，寫出數(shù)列的某些項；已知，求。例1數(shù)列的通項公式為，寫出的前三項，并判斷是否為該數(shù)列的項？（3）已知數(shù)列的若干項，寫出數(shù)列的通項公式：練習(xí)：寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：； 。注意：對于一個確定的數(shù)列，其通項公式形式上不一定唯一。如數(shù)列：，其通項公式可為：或或。有些數(shù)列，只給出它的前幾項，由此歸納出的通項公式常常不唯一。如數(shù)列：，其通項

4、公式可為：，也可為。例2根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 變式：（6）； 變式：（7）； （8）；（9）； （10）。變式訓(xùn)練1：1根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1）； （2）；（3）； （4）。2根據(jù)下列5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第個圖中有_個點。（1）（2）（3）（4）（5）四、數(shù)列最值問題及數(shù)列的增減性問題例3（1）已知的通項公式為。求的最小值，證明的增減性；求使最小的值。（2）設(shè)函數(shù)，數(shù)列的通項滿足。求數(shù)列的通項；對于任意正整數(shù)，比較與的大小。變式訓(xùn)練2：已知，則在數(shù)列的前30項中最大項和

5、最小項分別是（ ）A. B. C. D.五、遞推數(shù)列表示法引入：前面的數(shù)列：麥粒數(shù)中發(fā)現(xiàn)。遞歸（推）公式：如果已知數(shù)列的第一項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，則這個公式叫做數(shù)列的遞歸（推）公式。例4已知數(shù)列分別滿足下列條件：（1）； （2）；（3）； （4）。分別寫出它們的前五項，并歸納出數(shù)列的一個通項公式。變式：對例4中的（1）、（2）、（3）還有其它方法求通項嗎？六、與的關(guān)系若數(shù)列的前項和記為（簡記為），則，故數(shù)列的通項與前項和間的關(guān)系： 例5（1）設(shè)數(shù)列的前項和為，分別求滿足下列條件的數(shù)列的通項公式：； 。（2）數(shù)列的前項和為，且，這個數(shù)列是否

6、為常數(shù)列？并說明理由。變式：設(shè)數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的通項公式。（3）一個數(shù)列的前項的乘積用表示（即），若，求的通項公式。（4）已知數(shù)列，滿足，求的通項公式。（5）在數(shù)列中，其前項和，問該數(shù)列有沒有最大的項？若有求其項數(shù)；若沒有說明理由。課后作業(yè)1已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的第_項。2寫出下列數(shù)列的一個通項公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。3（1）在數(shù)列中，。求的最小值并求出相應(yīng)的值；討論此數(shù)列的增減變化情況。（2）若數(shù)列是遞增數(shù)列，且對于任意正整數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知數(shù)列的通項公式，問：數(shù)列中有沒有最大、最小項？若有，求出最大、最小項；若沒有，說明理由。4已知函數(shù)，數(shù)列滿足。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列是遞減數(shù)列。5若對于任意的恒成立，求實數(shù)的最大值。6（1）數(shù)列中，求此數(shù)列的前4項，由此推測出通項公式；（2）已知數(shù)列的前項和滿足,求數(shù)列的通項；（3）在數(shù)列中，且，求。（4）數(shù)列的前項和，求數(shù)列的前項和。課后作業(yè)答案172（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。3（1），此時，；當時遞減，時遞增。