淺析二分法及其Matlab和C程序?qū)崿F(xiàn)

1、淺析二分法及其Matlab和C程序?qū)崿F(xiàn)第一部分：二分法淺析用二分法求方程的近似解是緊跟在“函數(shù)的零點(diǎn)”之后的教學(xué)內(nèi)容。從聯(lián)系的角度看，前面一節(jié)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間存在著對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，這一節(jié)則是介紹一種具體的方法來(lái)運(yùn)用這一關(guān)系解決問(wèn)題。從整個(gè)教材來(lái)分析，這一部分的內(nèi)容是在“函數(shù)的應(yīng)用”這一大章節(jié)之下。新課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)函數(shù)的應(yīng)用性，這里包括兩個(gè)方面：一方面是函數(shù)在生活實(shí)踐中的應(yīng)用，函數(shù)建模等內(nèi)容屬于這個(gè)范疇；另一方面則是函數(shù)在數(shù)學(xué)自身范圍內(nèi)的應(yīng)用，“二分法”即是其中的代表?；谝陨系姆治?，筆者給出了以下的一些教學(xué)建議，與讀者朋友們分享。一、 為什么要用二分法就通過(guò)試驗(yàn)縮小搜索

2、區(qū)間來(lái)講，試驗(yàn)點(diǎn)不一定取中點(diǎn)，取其他的點(diǎn)也可以，那么為什么取中點(diǎn)呢?下面以搜索區(qū)間為0，1的情況作討論。 一種對(duì)所有搜索區(qū)間為0，1的方程f(x) = 0都適用的方法，即對(duì)集合G=f（x）=0，f（x）連續(xù)，且f(0)·f(1) < 0中的所有方程都適用的方法. 一個(gè)合理的假設(shè)是：G中所有方程f(x)= 0的根在0，1上均勻分布. 設(shè)試驗(yàn)點(diǎn)是c，那么c將0，1分成0，c和c，1兩部分，它們的長(zhǎng)度分別是c和1-c. 由假設(shè)，通過(guò)試驗(yàn)保留的搜索區(qū)間是0，c（即方程f(x)=0的根在0，c中）的概率是c，通過(guò)試驗(yàn)保留的搜索區(qū)間是c，1的概率是1-c. 因此，通過(guò)一次試驗(yàn)保留的搜索區(qū)間

3、的期望長(zhǎng)度為c2+ (1 -c)2= 2c2- 2c+ 1=2(c-)2+，容易看出，當(dāng)c=的時(shí)候，通過(guò)一次試驗(yàn)保留的搜索區(qū)間的期望長(zhǎng)度最小。這就是取中點(diǎn)作為試驗(yàn)點(diǎn)的原因。二、引入方法 方法1：已知商店里一件商品的利潤(rùn)y與它的價(jià)格x之間滿足函數(shù)關(guān)系y=x2-4x+3，請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像，并思考當(dāng)價(jià)格為多少元的時(shí)候商店不盈也不虧. 方法2：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景：蹦極運(yùn)動(dòng). 設(shè)下落的時(shí)間t秒. 人離開(kāi)參照點(diǎn)“礁石尖端”的位移為S(S=0表示人在礁石點(diǎn)處，向下取負(fù)，向上取正)，開(kāi)始下落時(shí)，時(shí)間t=0，在t4，6時(shí)的變化如下表：t4. 04. 34. 64. 95. 25. 56. 0S-5101-1018

4、-3問(wèn)：這段時(shí)間內(nèi)人有幾次通過(guò)礁石尖端處?方法3：使用“幸運(yùn)52”猜測(cè)商品價(jià)格的游戲作情景方法4：(1)請(qǐng)同學(xué)們思考下面的問(wèn)題：能否解下列的方程 x2-2x-1=0 lgx=3-x x4-3x-1=0(2)特殊入手：不解方程求方程x2-2x-1=0的近似解(精確到0. 01).方法1、2、3都是以“實(shí)際問(wèn)題”為情境引入. 方法4以學(xué)生已有的認(rèn)知水平：會(huì)求一元二次方程的實(shí)數(shù)解，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖像與二軸的交點(diǎn)坐標(biāo). 讓學(xué)生探究具體的一元二次方程的根與其對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖像與二軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，再探究一般的一元二次方程的根與其對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系. 三、函數(shù)零

5、點(diǎn)的處理 用二分法求方程近似解的理論基礎(chǔ)是零點(diǎn)存在定理. 下面我們來(lái)看看教材上描述的零點(diǎn)存在定理. 如果函數(shù)y =f (x)在區(qū)間a ，b上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f (a ) f (b)<0，那么函數(shù)y =f (x)在區(qū)間a ，b內(nèi)有零點(diǎn)即存在c(a ，b)，使f (c)=0.由此可見(jiàn)，定理的題設(shè)部分有兩個(gè)條件：(1) y =f (x)在區(qū)間a ，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線;(2) f (a ) f (b)<0.學(xué)生在運(yùn)用這個(gè)定理時(shí)往往會(huì)存在以下疑問(wèn)：我怎樣去判斷某一函數(shù)的圖像在某一區(qū)間是連續(xù)不斷的呢?y =f (x)滿足條件(1)(2)就一定存在零點(diǎn)，那么是否只存

6、在一個(gè)零點(diǎn)呢?若把條件(2)改為f (a ) f (b)>0，則y =f (x)在(a ，b)是否就不存在零點(diǎn)呢?對(duì)于問(wèn)題，我們可以告訴學(xué)生我們前面所學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)在它們各自的定義域內(nèi)圖像都是連續(xù)的. 這些函數(shù)經(jīng)過(guò)加減乘除或經(jīng)過(guò)復(fù)合而成的新的函數(shù)在各自的定義域內(nèi)圖像仍然是連續(xù)的.對(duì)于問(wèn)題，主要通過(guò)觀察函數(shù)圖像來(lái)總結(jié)（1） 對(duì)全部零點(diǎn)為單重零點(diǎn)既對(duì)應(yīng)方程無(wú)重根的情況 y=f (x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線且f (a ) f (b)<0，則y =f (x)在（a，b）上有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)若y =f (x)在區(qū)間a，b上單調(diào)則y =f (x)

7、在(a，b)上有唯一零點(diǎn) y =f (x)在區(qū)間a ，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線且f (a) f (b)>0，則 y =f (x)在(a ，b)上有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)若y =f (x)在區(qū)間a ，b上單調(diào)則y =f (x)在(a ，b)上有無(wú)零點(diǎn)可以看出連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)具有一個(gè)很重要的性質(zhì)：函數(shù)的圖象如果是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的值變號(hào)，也就是圖象要經(jīng)過(guò)該點(diǎn)要穿越x軸.（2） 對(duì)多重零點(diǎn)的情況 從圖7、圖8可以看出偶數(shù)重零點(diǎn)不穿過(guò)x軸；奇數(shù)重零點(diǎn)穿過(guò)x軸函數(shù)若有一零點(diǎn)為多重零點(diǎn)，當(dāng)該零點(diǎn)為偶重零點(diǎn)時(shí)，圖象通過(guò)該零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不變號(hào)，也就是圖象經(jīng)過(guò)該零點(diǎn)而不穿越x軸. 當(dāng)該零點(diǎn)為奇重零點(diǎn)時(shí)

8、，圖象經(jīng)過(guò)該點(diǎn)時(shí)函數(shù)值要變號(hào)，也就是圖象經(jīng)過(guò)該零點(diǎn)且穿越x軸. 處理好這個(gè)問(wèn)題是本節(jié)課的關(guān)鍵 四、精度 精確度的說(shuō)明是一個(gè)無(wú)法避免的問(wèn)題，而且需要和初中學(xué)習(xí)的“精確到”有所區(qū)分. 教學(xué)中不可能讓學(xué)生掌握嚴(yán)格的、形式化的定義，而且教科書(shū)對(duì)此也作了簡(jiǎn)化處理：對(duì)于達(dá)到精確度的界定是只要精確值所在區(qū)間的長(zhǎng)度小于，那么這個(gè)區(qū)間的所有的值就都是滿足精確度的近似值. 那么，如何讓學(xué)生明白這個(gè)含義呢?一個(gè)可行的方法就是通過(guò)簡(jiǎn)單例子來(lái)說(shuō)明問(wèn)題最后，在學(xué)生思考、討論及進(jìn)一步分析的基礎(chǔ)上給出精確度的含義： “一般地，對(duì)于數(shù)值x，如果要獲得它的滿足精確度0. 01的近似值，就是找到一個(gè)包含x的區(qū)間a，b，只要| a-

9、b|<0. 01即可. ” 五、二分法的定義與步驟 利用二分法求方程的近似解時(shí)，學(xué)生用二分法求方程的近似解最大的困難就是第一步. 第一步確定初始區(qū)間不好把握. 要引導(dǎo)學(xué)生先研究函數(shù)的性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)大致圖象，再確定初始區(qū)間. 如果我們對(duì)函數(shù)的性質(zhì)不了解，不能畫(huà)出大致圖象，問(wèn)題比較麻煩，只能采用嘗試的辦法去搜索它的初始區(qū)間. 六、信息技術(shù)的使用 有意識(shí)借助計(jì)算器和幾何畫(huà)板幫助學(xué)生探究得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)，下面以Excel為例引導(dǎo)學(xué)生求y=ln(2x+6)+3-3x的零點(diǎn)先用畫(huà)函數(shù)圖象工具畫(huà)出函數(shù)圖象 確定初始區(qū)間為1，2，然后確定第一次迭代時(shí)每個(gè)單元格的公式，最后填充即可：x1(x1+x2)/2x2

10、f(x1)f(x1+x2)/2)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1+x2)/2)f(x1)f(x1+x2)/2)f(x2)精度迭代次數(shù)11. 522. 0794420. 001072-3. 69741-7. 6885581540. 002229483-0. 00396111. 51. 7520. 001072-1. 58723-3. 69741-0. 003964201-0. 0017017555. 8686460. 521. 51. 6251. 750. 001072-0. 73642-1. 58723-0. 001701755-0. 0007895521. 1688620. 2531.

11、 51. 56251. 6250. 001072-0. 35445-0. 73642-0. 000789552-0. 0003800290. 2610250. 12541. 51. 531251. 56250. 001072-0. 1735-0. 35445-0. 000380029-0. 0001860160. 0614970. 062551. 51. 5156251. 531250. 001072-0. 08543-0. 1735-0. 000186016-9. 15918E-050. 0148220. 0312561. 51. 5078131. 5156250. 001072-0. 04

12、198-0. 08543-9. 15918E-05-4. 50126E-050. 0035870. 01562571. 51. 5039061. 5078130. 001072-0. 02041-0. 04198-4. 50126E-05-2. 18796E-050. 0008570. 007812581. 51. 5019531. 5039060. 001072-0. 00966-0. 02041-2. 18796E-05-1. 03521E-050. 0001970. 0039062591. 51. 5009771. 5019530. 001072-0. 00429-0. 00966-1.

13、 03521E-05-4. 59805E-064. 14E-050. 001953125101. 51. 5004881. 5009770. 001072-0. 00161-0. 00429-4. 59805E-06-1. 72346E-066. 89E-060. 000976563111. 51. 5002441. 5004880. 001072-0. 00027-0. 00161-1. 72346E-06-2. 8677E-074. 3E-070. 000488281121. 51. 5001221. 5002440. 0010720. 000402-0. 00027-2. 8677E-0

14、74. 31423E-07-1. 1E-070. 000244141131. 5001221. 5001831. 5002440. 0004026. 75E-05-0. 00027-1. 07627E-072. 71495E-08-1. 8E-080. 00012207141. 5001831. 5002141. 5002446. 75E-05-1E-04-0. 00027-1. 80465E-08-6. 74688E-092. 67E-086. 10352E-05151. 5001831. 5001981. 5002146. 75E-05-1. 6E-05-1E-04-6. 74688E-0

15、9-1. 09724E-091. 63E-093. 05176E-05161. 5001831. 5001911. 5001986. 75E-052. 56E-05-1. 6E-05-1. 09724E-091. 72755E-09-4. 2E-101. 52588E-05171. 5001911. 5001951. 5001982. 56E-054. 67E-06-1. 6E-05-4. 16389E-101. 19598E-10-7. 6E-117. 62939E-06181. 5001951. 5001961. 5001984. 67E-06-5. 8E-06-1. 6E-05-7. 5

16、9619E-11-2. 70718E-119. 43E-113. 8147E-06191. 5001951. 5001961. 5001964. 67E-06-5. 6E-07-5. 8E-06-2. 70718E-11-2. 62675E-123. 26E-121. 90735E-06201. 5001951. 5001951. 5001964. 67E-062. 05E-06-5. 6E-07-2. 62675E-129. 59574E-12-1. 2E-129. 53674E-07211. 5001951. 5001951. 5001962. 05E-067. 46E-07-5. 6E-

17、07-1. 15526E-121. 53249E-12-4. 2E-134. 76837E-0722 七、二分法思想的應(yīng)用 注意用二分法的思想解決其他問(wèn)題（2006浙江16題）設(shè)f(x)=3ax，f(0)0，f(1)0，求證：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.證明：（I）（略）（II）解法1：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，利用二分法思想在的兩邊乘以，得.又因?yàn)槎苑匠淘趨^(qū)間與內(nèi)分別有一實(shí)根。故方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根解法2 采用“二分法”，只需證：區(qū)間(0，1)兩個(gè)端點(diǎn)處f(0)，f(1)的符號(hào)都為正;在區(qū)間(0，1)內(nèi)尋找一個(gè)二分點(diǎn)，使這個(gè)二分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于0，它保證

18、拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(因a> 0拋物線開(kāi)口方向向上). 綜合、，由函數(shù)的圖象可知：方程f(x) = 0在(0，1)內(nèi)必有兩個(gè)不同實(shí)根.在區(qū)間(0，1)內(nèi)選取二等分點(diǎn)，因f()=a+b+c=a+ (-a) =-a< 0，所以結(jié)論得證. (若f() < 0不成立，可看f()是否為負(fù)，若還不成立，再看f()是否為負(fù)，總之，在區(qū)間(0，1)內(nèi)存在一個(gè)分點(diǎn)，使它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為負(fù)即可. )例2( 2006全國(guó)II12題)函數(shù)f(x)|x-1| + |x-19|的最小值為( )（A）190 （B）171 （C）90 （D）45分析 因 |x-n| 表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到點(diǎn)n之間的距離

19、. 當(dāng) |x-1| + |x-19| 最小時(shí)，x為區(qū)間1，19內(nèi)的任意一個(gè)分點(diǎn);以此類(lèi)推，當(dāng) |x- 9| + |x- 11| 最小時(shí)，x為區(qū)間9，11內(nèi)的任意一個(gè)分點(diǎn);當(dāng) x-10 最小時(shí)，x=10. 利用“二分法”的思想方法，當(dāng)x是區(qū)間1，19，2，18，3，17，9，11共同二等分點(diǎn)，即x=10時(shí)，f(x)取得最小值，所以f(x)min= 10 - 1 + 10- 2 + 10-3 + 10-9 + 10-10 + 10 - 11 + 10 - 19 = 90.第一部分：二分法的Matlab和C程序?qū)崿F(xiàn) 第二部分主要通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)研究單變量非線性方程f（x）=0的二分法求解及此方法的收斂

20、性，根據(jù)誤差估計(jì)確定二分次數(shù)并進(jìn)行求解。同時(shí)實(shí)現(xiàn)Matlab和C語(yǔ)言程序編寫(xiě)。從而掌握過(guò)程的基本形式和二分法的基本思想，在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中得以應(yīng)用。 一、 引 言 在科學(xué)研究與工程技術(shù)中常會(huì)遇到求解非線性方程f(x)=0的問(wèn)題。而方程f(x)是多項(xiàng)式或超越函數(shù)又分為代數(shù)方程或超越方程。對(duì)于不高于四次的代數(shù)方程已有求根公式，而高于四次的代數(shù)方程則無(wú)精確的求根公式，至于超越方程就更無(wú)法求其精確解了。因此，如何求得滿足一定精度要求的方程的近似根也就成為了我們迫切需要解決的問(wèn)題。近年來(lái)，隨著數(shù)學(xué)科學(xué)研究的不斷進(jìn)展，又更新了許多方程求解的方法。我們知道，對(duì)于單變量非線性方程f（x）=0，一般都可采用迭代

21、法求根，由此產(chǎn)生了二分法。二、Matlab實(shí)現(xiàn)function c,err,yc=bisect(f,a,b,delta)%f是要求解的函數(shù)%a和b分別是有根區(qū)間的左右限%delta是允許的誤差界%c為所求近似解%yc為函數(shù)f在c的誤差估計(jì)if nargin<4 delta=1e-5;endya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if yb=0,c=b,return,endif ya*yb>0disp(a,b)不是有根區(qū)間)；return,endmax1=1+round(log(b-a)-log(delta)/log(2);for k=1:max1c=(a+b)/2;ye=feval(f,c);if yc=0 a=c;b=c;break,elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=c;endif(b-a)endk,c=(a+b)/2,err=abs(b-a),yc=feval(f,c)例如，要求f(x)=x3-x-1=0在區(qū)間1，2內(nèi)的根先在命令窗口中輸入：>>fplot(x3-x-1,0,1 2);grid回車(chē)后輸出曲線圖現(xiàn)在再編寫(xiě)所求的非線性函數(shù)，輸入：f=i