正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別11

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別xxx（x x x數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院x x x班 x x x x 郵編）摘要:正項(xiàng)級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)內(nèi)容中的一種重要級(jí)數(shù),它的斂散性是其最基本的性質(zhì).本文主要探討正項(xiàng)級(jí)數(shù)的各種斂散性判別法,主要有柯西積分判別法、比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法以及一種優(yōu)于達(dá)朗貝爾的判別方法.探討了它們的證明過程及應(yīng)用這些方法解決相關(guān)的實(shí)例,并對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別的方法進(jìn)行了總結(jié).關(guān)鍵詞：正項(xiàng)級(jí)數(shù)；斂散性；判別法中圖分類號(hào)：O122.71引言：級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分之一,而正項(xiàng)級(jí)數(shù)又是級(jí)數(shù)中最簡(jiǎn)單從而也是級(jí)數(shù)中最基礎(chǔ)的一種級(jí)數(shù).證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是正項(xiàng)級(jí)數(shù)最重要的性質(zhì)之一,而在解決級(jí)數(shù)的

2、問題時(shí)多半也要涉及到討論級(jí)數(shù)的斂散性.由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)中的基礎(chǔ)地位,所以討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是級(jí)數(shù)的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容,也是十分重要的內(nèi)容之一,故正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法在數(shù)學(xué)分析中有著重要地位.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念2.1定義所謂無窮級(jí)數(shù)，就是指有一列無窮多個(gè)數(shù)，將此數(shù)列依次用加號(hào)連接起來，寫成，就稱為無窮級(jí)數(shù)，記為，其中稱為通項(xiàng)或者第項(xiàng).僅僅是一種形式上的相加，為了回答這種形式上的相加是否具有“和數(shù)”及這個(gè)“和數(shù)”的確切意義，我們首先令.,.這樣對(duì)任何一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，我們總可以做出一個(gè)數(shù)列并稱為級(jí)數(shù)的次部分和（簡(jiǎn)稱部分和）稱數(shù)列為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列.級(jí)數(shù)就是無限多個(gè)數(shù)的和.若級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)的符號(hào)都是正,則

3、稱級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù).若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于有限值，即=.則稱級(jí)數(shù)收斂，收斂于,記為.也稱為級(jí)數(shù)的和數(shù).若部分和數(shù)列發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，又稱為級(jí)數(shù)的余和.2.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定理設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和為，顯然部分和數(shù)列為單調(diào)增加的，也就是，我們已經(jīng)知道，如果這個(gè)數(shù)列具有上界，那么他的極限存在.如果這個(gè)數(shù)列沒有上界，那么它發(fā)散到.由此我們得到了正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定理.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂它的部分和數(shù)列有上界.正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散到正無窮它的部分和數(shù)列無上界.基本判別定理解決了級(jí)數(shù)的一個(gè)收斂問題,它不必研究,而只需粗略地估計(jì)的值當(dāng)時(shí)是否保持有界就可以了,這樣就避開了中冠以的復(fù)雜表達(dá)式.它是判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)

4、收斂（或發(fā)散）的最基本方法,但是我們?cè)诰唧w應(yīng)用時(shí)卻不大方便.由正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本判別定理可以推導(dǎo)出正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性常用判別定理比較判別法及其極限形式，柯西判別法（又稱根式判別法）及其極限形式，達(dá)朗貝爾判別法（又稱比值判別法）及其極限形式，柯西積分判別法.3幾個(gè)比較重要的級(jí)數(shù)在正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別中往往需要一個(gè)用于比較的因子,用這個(gè)因子的斂散性來判斷一個(gè)級(jí)數(shù)收斂還是發(fā)散.常用的比較因子有三個(gè)幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)、p-級(jí)數(shù).下面簡(jiǎn)單介紹一下這三個(gè)級(jí)數(shù)及它們斂散性的證明,便于后期能夠更好地應(yīng)用.3.1 幾何級(jí)數(shù)(等比級(jí)數(shù))討論幾何級(jí)數(shù)的斂散性,其中是公比.解：1）當(dāng)時(shí)，已知幾何級(jí)數(shù)的項(xiàng)部分和（i）當(dāng),

5、時(shí),幾何級(jí)數(shù)的部分和存在極限,且. 因此,當(dāng)時(shí),幾何級(jí)數(shù)收斂,其和是,即.（ii）當(dāng)時(shí), 因此,當(dāng)時(shí),幾何級(jí)數(shù)發(fā)散.2）當(dāng)時(shí),有兩種情況:()當(dāng)時(shí),幾何級(jí)數(shù)是 即幾何級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列發(fā)散.（）當(dāng)時(shí),幾何級(jí)數(shù)是 即幾何級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列發(fā)散.于是,當(dāng)時(shí),幾何級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上所述,幾何級(jí)數(shù),當(dāng)時(shí)收斂,其和是,即幾何級(jí)數(shù)收斂于，當(dāng)時(shí)發(fā)散.3.2調(diào)和級(jí)數(shù)證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的.證明： 設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)的項(xiàng)部分和是,即由于已知即當(dāng)時(shí),調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和與是等價(jià)無窮大,即調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.3.3 P-級(jí)數(shù)討論p-級(jí)數(shù)的斂散性,其中是任意實(shí)數(shù)（該級(jí)數(shù)又稱為廣義調(diào)和級(jí)數(shù)）.解：1）當(dāng)時(shí),廣義調(diào)和級(jí)數(shù)就是調(diào)和級(jí)數(shù),已知調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)

6、散,即p-級(jí)數(shù)發(fā)散. 2）當(dāng)時(shí),有.已知調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,根據(jù)比較判別法可知,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.3）當(dāng)時(shí),有.于是,有即級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有上界,從而級(jí)數(shù)收斂.綜上所述,當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí)收斂.在正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的證明中常借助于這三個(gè)級(jí)數(shù)斂散性為橋梁來判斷其它級(jí)數(shù)的斂散性,所以必須要熟練掌握這三個(gè)級(jí)數(shù).4幾種常用的級(jí)數(shù)斂散性判別的方法4.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法 由以上給出的基本定理，我們可以得到一個(gè)判別級(jí)數(shù)斂散性的基本方法.比較判別法 若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和之間成立著關(guān)系：存在常數(shù)，使，或在某項(xiàng)以后（即存在，當(dāng)時(shí)）成立以上關(guān)系式，那么：（i）當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂.（ii）當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散. 證明：

7、設(shè)級(jí)數(shù)和的部分和分別是和，于是有成立，當(dāng)收斂時(shí)，有界，于是也必有界，得知收斂.當(dāng)發(fā)散時(shí)，無上界，于是也沒有上界，故發(fā)散.為了使比較判別法能更方便地應(yīng)用，我們給出比較判別法的極限形式.比較判別法的極限形式 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和 ，若有，那么這兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散. 證明：利用極限存在的定義，我們可以很容易地證明上訴結(jié)論.為此，取，則存在，當(dāng)時(shí)，有再利用比較判別法便證明了此結(jié)論.當(dāng) 時(shí) 即，和為兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)，取，則在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有即，于是，又收斂，則根據(jù)比較判別法有.若發(fā)散，則可能收斂可能發(fā)散.例如：發(fā)散，但收斂.發(fā)散，但發(fā)散.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?jí)數(shù)和是正項(xiàng)級(jí)數(shù).取，則存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有.于是，若收斂，

8、則由比較法，得收斂；若發(fā)散，則發(fā)散，若發(fā)散，則的斂散性不一定.比較判別法只適用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別，而尋求合適的級(jí)數(shù)是解題的關(guān)鍵.幾何級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)常用來充當(dāng)比較判別法中的級(jí)數(shù).例1： 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性.分析這是一個(gè)典型的例題，通項(xiàng)是關(guān)于的一個(gè)有理分式.應(yīng)注意分母和分子中的最高冪次之差，通項(xiàng)為關(guān)于的一個(gè)有理分式的級(jí)數(shù)和相應(yīng)的p-級(jí)數(shù)有相同的斂散性.本題中這一差數(shù)為，故應(yīng)和的級(jí)數(shù)做比較.解：，而級(jí)數(shù)與有相同的斂散性，即同時(shí)發(fā)散，又發(fā)散，故由比較判別法，級(jí)數(shù)是發(fā)散的.例2： 用比較判別法的極限形式判別實(shí)例1中的級(jí)數(shù)的斂散性. 解：因?yàn)?，故由比較判別法得知此級(jí)數(shù)發(fā)散.利用比較判別法，要將判定的級(jí)數(shù)

9、與幾何級(jí)數(shù)比較，于是我們可以建立以下兩個(gè)很有用的判別法柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別發(fā).4.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西判別法柯西判別法 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若從某一項(xiàng)起（即存在,當(dāng)時(shí)）成立著（為某確定的常數(shù)），則級(jí)數(shù)收斂；若，則發(fā)散. 證明：若當(dāng)時(shí)成立，那么有而級(jí)數(shù)是收斂的，再根據(jù)比較判別法得知亦收斂；若當(dāng)時(shí)成立，那么有，因此級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于，故級(jí)數(shù)發(fā)散.柯西判別法的極限形式對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)那么當(dāng)時(shí)，此級(jí)數(shù)必為收斂，當(dāng)時(shí)為發(fā)散，而當(dāng)時(shí)，此級(jí)數(shù)的斂散性需要進(jìn)一步判定.證明：i）當(dāng)時(shí)，由于，總可以選取適當(dāng)小的一個(gè)正數(shù)使，再按上下限的定理，在數(shù)列中只有有限多個(gè)數(shù)的n次根大于或等于，既是當(dāng)時(shí)有 應(yīng)用以證明的柯西判別法，此

10、處，立即得知，級(jí)數(shù)收斂.ii)當(dāng)時(shí)，由于，則總可以取適當(dāng)小的一個(gè)正數(shù)使.再由上下限定理，在數(shù)列中將有無窮多個(gè)數(shù)，它的次根大于或等于，即是說，將有無窮多個(gè)這樣的（記為）使得 于是，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)必不趨于，即此級(jí)數(shù)發(fā)散. iii）時(shí)，我們舉例說明級(jí)數(shù)和這兩個(gè)級(jí)數(shù)的都等于，但前者發(fā)散，后者收斂，因此當(dāng)時(shí)，此判別法失效.例3： 證明級(jí)數(shù)收斂.分析當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)中含有或類似的表達(dá)式時(shí)，通常采用柯西判別法判別級(jí)數(shù)的斂散性.證：因?yàn)楣视煽挛髋袆e法得知所給級(jí)數(shù)收斂.例4：判別級(jí)數(shù)的斂散性.解: 由于,所以根據(jù)柯西判別法的推論知,級(jí)數(shù)發(fā)散.4.3正項(xiàng)級(jí)數(shù)的達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若從某一項(xiàng)起成立

11、著（為確定的數(shù)），則級(jí)數(shù)收斂，若, 則級(jí)數(shù)發(fā)散.證明：我們假設(shè)從第二項(xiàng)起，即有，并且，故 由于，所以級(jí)數(shù)收斂，再由比較判別法知級(jí)數(shù)也收斂.若從某一項(xiàng)起，則對(duì)一切，皆有于是當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)將不趨于，故此極限發(fā)散.為了在實(shí)際應(yīng)用中更方便，下面給出其極限形式.達(dá)朗貝爾判別法的極限形式 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.而當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的斂散性須進(jìn)一步判定. 證明：i）當(dāng)時(shí)，由于，于是總可以找到一個(gè)適當(dāng)小的數(shù)，使.再按照上下限定理，在數(shù)列中除去優(yōu)先多個(gè)數(shù)外，其余數(shù)都小于.也就是說，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有成立，應(yīng)用已經(jīng)證明的達(dá)朗貝爾判別法，這里，故級(jí)數(shù)收斂.ii）當(dāng)時(shí)，由于，那么我們總可以找到一

12、個(gè)適當(dāng)小的正數(shù)使，在根據(jù)上下限定理，在數(shù)列中，除去有限多個(gè)數(shù)外，其余數(shù)都大于，也就是存在自然數(shù),當(dāng)時(shí)，有應(yīng)用達(dá)朗貝爾判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散. iii）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的斂散性需要進(jìn)一步地判定.在此我們用兩個(gè)例子來加以說明和這兩個(gè)例子的，但前者發(fā)散，而后者收斂.例5： 判別級(jí)數(shù)的斂散性.解: 由于,所以根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法的推論知,級(jí)數(shù)收斂.說明：當(dāng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)具有積、商、冪的形式,且中含有、以及形如的因子時(shí),用達(dá)朗貝爾判別法比較簡(jiǎn)便.當(dāng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為n次方形式,用柯西判別法比較方便.因這就說明凡能用比較判別法判定收斂性的級(jí)數(shù)，也能用根式判別法來判斷，即根式判別法較之比較判別法更有效.但反之不能.由于

13、達(dá)朗貝爾判別法有時(shí)會(huì)失效，下面介紹一種優(yōu)于達(dá)朗貝爾的判別方法.4.4定理： 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散. 在證明這個(gè)定理前要先給出一個(gè)引理引理（1）和（2）是兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果從某一項(xiàng)起下列不等式成立，則（2）收斂蘊(yùn)含著（1）收斂；級(jí)數(shù)（1）發(fā)散蘊(yùn)含著級(jí)數(shù)（2）發(fā)散. 證明：取一自然數(shù)，使，設(shè)引理中的不等式恒成立，注意到引理中的三個(gè)不等式都可化為令則 1）當(dāng)時(shí)，顯然有. 2）當(dāng)時(shí)，我們可以將寫成的形式，其中，若則有；若，則可表示為的形式，使 ，若還不成立，則將此過程一次繼續(xù)下去，經(jīng)過有限次后，我們可以將表示成的形式，其中，反復(fù)使用不等式，于是我們得到下面的式子：于是對(duì)于，

14、恒成立.由級(jí)數(shù)的比較判別法就證明了引理的結(jié)論.下面證明定理4.4證：1）當(dāng) 時(shí)，取，使得成立.根據(jù)定理的假設(shè)，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有， 取一實(shí)數(shù)，使.令，則級(jí)數(shù)收斂，且 ，故當(dāng)n充分大以后應(yīng)有：，即 ，且，根據(jù)引理知級(jí)數(shù)收斂.2） 當(dāng)時(shí)，取，使得成立.根據(jù)定理假設(shè)，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，令，則，因此，于是由引理及級(jí)數(shù)發(fā)散知級(jí)數(shù)也發(fā)散.說明：當(dāng)時(shí)，此方法失效. 推論： 對(duì)于級(jí)數(shù)，如果，且，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.例6：討論級(jí)數(shù)的斂散性. 解：因?yàn)椋什荒苡眠_(dá)朗貝爾的判別法來判別其斂散性.但是我們可以觀察到， 根據(jù)推論知：當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，可由積分判別法知級(jí)數(shù)發(fā)散.4.5正項(xiàng)

15、級(jí)數(shù)的柯西積分判別法設(shè)為上非負(fù)減函數(shù)，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.證明：由假設(shè)為上非負(fù)減函數(shù)，則對(duì)任何正數(shù)，在上可積，從而有，依次相加，得 若反常積分收斂，則對(duì)，有.于是，知 級(jí)數(shù) 收斂.反之，若級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)任意正整數(shù)，有.又因?yàn)樯戏秦?fù)減函數(shù)，故對(duì)任何，有, .故知，反常積分收斂.同理可證它們同時(shí)發(fā)散.例7： 判別級(jí)數(shù)的斂散性.分析:因?yàn)閷Q成連續(xù)變量,即是，顯然函數(shù)在是單調(diào)減少的正值函數(shù),所以可以用積分判別法.解:將原級(jí)數(shù)換成積分形式,由于,即收斂,根據(jù)積分判別法可知,級(jí)數(shù)也收斂.5判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性方法的總結(jié)綜上所述,判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的方法多種多樣,本文介紹的主要有比較判

16、別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法、柯西積分判別法,以及一種優(yōu)于達(dá)朗貝爾的判別方法.但是我們?cè)谂袆e正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)要選用合適的方法.也就是說一種判別方法并不是對(duì)所有的正項(xiàng)級(jí)數(shù)都適用.對(duì)用給定的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們可以按下列順序進(jìn)行判別： 1）首先觀察其通項(xiàng)是否趨于零，如果通項(xiàng)不趨于零，則級(jí)數(shù)發(fā)散. 2）如果通項(xiàng)趨于零，可根據(jù)級(jí)數(shù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，考慮用比較判別法、達(dá)朗貝爾判別法法、柯西判別法或優(yōu)于達(dá)朗貝爾的判別法. 3）極其特殊的情況下，也可以用級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列來判斷級(jí)數(shù)的斂散性.總結(jié)了正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法和解題思路后，我們就能更好地掌握如何選擇正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法，做到避繁就簡(jiǎn)，思路清晰，起到事半功

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