概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題5答案

1、習(xí)題五1.一顆骰子連續(xù)擲4次，點(diǎn)數(shù)總和記為X.估計(jì)P10<X<18.【解】設(shè)表每次擲的點(diǎn)數(shù)，則 從而 又X1,X2,X3,X4獨(dú)立同分布.從而 所以 2. 假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在76%與84%之間的概率不小于90%，問這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【解】令而至少要生產(chǎn)n件，則i=1,2,n,且X1，X2，Xn獨(dú)立同分布，p=PXi=1=0.8.現(xiàn)要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n268.96, 故取n=269.3. 某車間有同型號機(jī)床200部，每部機(jī)床開動(dòng)的概率為0.7，假定各機(jī)床開動(dòng)與否互不影響，開動(dòng)時(shí)每部機(jī)床消耗電能15個(gè)單位.問

2、至少供應(yīng)多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車間同時(shí)開動(dòng)的機(jī)床數(shù)目最大值m，而m要滿足200部機(jī)床中同時(shí)開動(dòng)的機(jī)床數(shù)目不超過m的概率為95%,于是我們只要供應(yīng)15m單位電能就可滿足要求.令X表同時(shí)開動(dòng)機(jī)床數(shù)目，則XB（200，0.7）, 查表知 ,m=151.所以供電能151×15=2265（單位）.4. 一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓Vk（k=1，2，20），設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間（0，10）上服從均勻分布.記V=，求PV105的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,20由中心

3、極限定理知，隨機(jī)變量于是 即有 PV>1050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m.現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取出100根，問其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】設(shè)100根中有X根短于3m，則XB（100，0.2）從而 6. 某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查100個(gè)服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.（1） 若實(shí)際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？（2） 若實(shí)際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7，問接受這一斷言的概率是多少？【解】

4、令(1) XB(100,0.8)， (2) XB(100,0.7)， 7. 用Laplace中心極限定理近似計(jì)算從一批廢品率為0.05的產(chǎn)品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數(shù)X，則p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故 8. 設(shè)有30個(gè)電子器件.它們的使用壽命T1，T30服從參數(shù)=0.1單位：（小時(shí)）-1的指數(shù)分布，其使用情況是第一個(gè)損壞第二個(gè)立即使用，以此類推.令T為30個(gè)器件使用的總計(jì)時(shí)間，求T超過350小時(shí)的概率.【解】 故9. 上題中的電子器件若每件為a元，那么在年計(jì)劃中一年至少需多少元才能以9

5、5%的概率保證夠用（假定一年有306個(gè)工作日，每個(gè)工作日為8小時(shí)）.【解】設(shè)至少需n件才夠用.則E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.從而即故所以需272a元.10. 對于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長會(huì)的家長人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長、1 名家長、2名家長來參加會(huì)議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長數(shù)相與獨(dú)立，且服從同一分布.（1） 求參加會(huì)議的家長數(shù)X超過450的概率？（2） 求有1名家長來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.【解】（1） 以Xi(i=1,2,400)記第i個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家長數(shù)

6、.則Xi的分布律為Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心極限定理得于是 (2) 以Y記有一名家長來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù).則YB(400,0.8)由拉普拉斯中心極限定理得11. 設(shè)男孩出生率為0.515，求在10000個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，則XB（10000，0.515）要求女孩個(gè)數(shù)不少于男孩個(gè)數(shù)的概率，即求PX5000. 由中心極限定理有12. 設(shè)有1000個(gè)人獨(dú)立行動(dòng)，每個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計(jì)，在一次行動(dòng)中：（1）至少有多少個(gè)人能夠進(jìn)入？（

7、2）至多有多少人能夠進(jìn)入？【解】用Xi表第i個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體（i=1,2,1000）.令 Sn=X1+X2+X1000.(1) 設(shè)至少有m人能夠進(jìn)入掩蔽體，要求PmSn10000.95，事件由中心極限定理知：從而 故 所以 m=900-15.65=884.35884人(2) 設(shè)至多有M人能進(jìn)入掩蔽體，要求P0SnM0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.65916人.13. 在一定保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元賠償費(fèi).求：（1） 保險(xiǎn)公司沒有利潤的概率為多大；（2）

8、 保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大？【解】設(shè)X為在一年中參加保險(xiǎn)者的死亡人數(shù)，則XB（10000，0.006）.(1) 公司沒有利潤當(dāng)且僅當(dāng)“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率為 (2) 因?yàn)椤肮纠麧?0000”當(dāng)且僅當(dāng)“0X60”于是所求概率為 14. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5試根據(jù)契比雪夫不等式給出P|X-Y|6的估計(jì). （2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以15. 某保險(xiǎn)公司多年統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，以X表示在隨機(jī)抽查的100個(gè)索賠戶中，因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶

9、數(shù).（1） 寫出X的概率分布；（2） 利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值.（1988研考）【解】（1） X可看作100次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，被盜戶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，而在每次試驗(yàn)中被盜戶出現(xiàn)的概率是0.2，因此，XB(100,0.2)，故X的概率分布是(2) 被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率即為事件14X30的概率.由中心極限定理，得 16. 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的.假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.【解】設(shè)Xi（i=1,2,n）