柯西不等式畢業(yè)論文

1、摘要柯西不等式是一個(gè)非常重要的公式，對(duì)于柯西不等式的深入了解對(duì)于我們解決一些問題有非常大的幫助。本文給出了柯西不等式的二維形式、三角形式、向量形式、一般形式、推廣形式、積分形式，對(duì)于柯西不等式的證明本文也給出了多種證明方法包括構(gòu)造二次函數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、配方法、均值不等式法、向量法、行列式證明法、利用二次型法、利用線性相關(guān)性法，本文結(jié)尾對(duì)于柯西不等式在距離問題、證明等式及不等式、解三角形和幾何相關(guān)問題、求最值、利用柯西不等式解方程、用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用給出了具體的例子，幫助大家更好的理解和掌握柯西不等式。關(guān)鍵詞： 柯西不等式；形式；證明方法；應(yīng)用；例子AbstractCauc

2、hyinequalityisa very importantformula,for in-depth understandingofCauchy inequalityforwe have thevery big helpsolve some of theproblems.This papergives theCauchy inequalitytwo-dimensionalform,triangular form,a vector of the form,the general form,extended form,integral form,theproof of Cauchy inequal

3、ityis also given in this papersome provingmethod includes the construction oftwofunction method,the mathematical inductionmethod,distribution,mean inequality method,vector method,the determinantmethod,provedby twomethod,usinglinear correlationmethod,in the end,theCauchy inequality in thedistance pro

4、blem,proving inequality,triangleand geometricproblems,solving the most value,using the Cauchyinequality usingCauchy inequalityinterpretationgives the sampleof the linear correlation coefficientequation,specific examples,to help youbetter understand and master theCauchy inequality.Keywords:Cauchy ine

5、quality;form;proof method;application; examples目錄前言1一柯西不等式的知識(shí)背景2二柯西不等式的形式3（1）二維形式3（2）三角形式3（3）向量形式3（4）一般形式3（5）推廣形式3（6）概率論形式4（7）積分形式4（8）小結(jié)4三柯西不等式的證明方法5（1）構(gòu)造二次函數(shù)法5（2）數(shù)學(xué)歸納法5（3）配方證明法6（4）向量證明法7（5）利用均值不等式法7（6）利用行列式證明柯西不等式8（7）利用線性相關(guān)性證明柯西不等式9（8）利用二次型9四柯西不等式的應(yīng)用11（1）距離問題11（2）證明等式及不等式12（3）解三角形和幾何相關(guān)問題13（4）求最值13（

6、5）利用柯西不等式解方程14（6）用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)15（7）小結(jié)16參考文獻(xiàn)17致謝18前 言現(xiàn)在我國(guó)數(shù)學(xué)界對(duì)于柯西不等式的證明及應(yīng)用都有非常深厚的認(rèn)識(shí)，各位數(shù)學(xué)教授以及愛好柯西不等式研究的學(xué)者朋友們?cè)诳挛鞑坏仁降淖C明以及應(yīng)用方面都給出了很好的方法和思路，而我現(xiàn)在首要的任務(wù)就是將大家的方法和思路做一個(gè)統(tǒng)一的整理，對(duì)柯西不等式結(jié)合初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法。讓我們更加清楚的認(rèn)識(shí)到柯西不等式的證明方法和應(yīng)用層次，在論文中我也會(huì)參考書籍資料挑選好的例題來增強(qiáng)大家對(duì)柯西不等式的理解，更加完美的詮釋柯西不等式的魅力所在。一 柯西不等式的知識(shí)背景不等式作為我們學(xué)習(xí)和生活中非常重要

7、的工具，為我們的學(xué)習(xí)和生活帶來了很大的便捷。在學(xué)習(xí)上巧妙的運(yùn)用不等式能使我們遇到的問題迎刃而解，在生活中運(yùn)用不等式可以統(tǒng)籌規(guī)劃，放大資源的利用，使生產(chǎn)更有效更有利可圖。而柯西不等式做為不等式的典型的存在，在我們學(xué)習(xí)中顯得尤為重要，所以在高中柯西不等式就和廣大的學(xué)子見面了，但是當(dāng)時(shí)的我們稚嫩懵懂，只知道拿來主義的運(yùn)用柯西不等式，而并未對(duì)它的由來做充分的研究，對(duì)它的證明以及更深層次的運(yùn)用更加沒有過了解，但是在上大學(xué)后再一次見到了柯西不等式，所以如今借著論文的形式來對(duì)柯西不等式做一個(gè)簡(jiǎn)單的了解和研究。柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的?？挛鞒錾屠?，是一

8、位虔誠的天主教徒，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得了很多成就，柯西不等式的發(fā)現(xiàn)就是他眾多成就之一。但是要說真正讓柯西不等式發(fā)光發(fā)熱，Buniakowsky和Schwarz兩位數(shù)學(xué)家功不可沒，因?yàn)檎撬麄儶?dú)立的在積分學(xué)中推而廣之，才將柯西不等式的近乎完善的呈現(xiàn)在大家面前。所以柯西不等式準(zhǔn)確的講應(yīng)該稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式。就這樣柯西不等式得到了大家的追捧，尤其是很多的數(shù)學(xué)學(xué)者對(duì)柯西不等式更是愛不釋手，所以柯西不等式的運(yùn)用可以說是無時(shí)無刻都在發(fā)展，現(xiàn)今已知的關(guān)于柯西不等式運(yùn)用在求解距離問題、證明等式及不等式、解三角形和幾何相關(guān)問題、求最值、利用柯西不等式解方程、用柯西不等式解釋

9、樣本線性相關(guān)系數(shù)數(shù)學(xué)問題方面比較顯著。如果說數(shù)學(xué)是思維的體操，那柯西不等式一定是體操教員，對(duì)初等數(shù)學(xué)有很重要的指導(dǎo)作用?？挛鞑坏仁侥艽蚱瞥Ｒ?guī)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，很好的提高數(shù)學(xué)思考能力和解題能力，能高瞻遠(yuǎn)矚，使用起來能方便的解決數(shù)學(xué)中的問題，提高解題的效率。二 柯西不等式的形式相信大家對(duì)于柯西不等式形式的都有所了解，最常見的就是一般形式，但其實(shí)柯西不等式除了一般形式以外還有其他很多種形式。充分的了解這些形式，勢(shì)必會(huì)增加我們對(duì)柯西不等式的了解，在解題的過程中靈活的運(yùn)用，選擇合適的形式，使我們的解題達(dá)到事半功倍的效果。同樣對(duì)于諸多形式的了解和掌握也會(huì)為我們學(xué)習(xí)更深層次的數(shù)學(xué)理論奠定良好的基礎(chǔ)。具體

10、如下：（1）二維形式若都是實(shí)數(shù)，則柯西不等式可表述為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。（2）三角形式若都是實(shí)數(shù)，則柯西不等式表述為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。（3）向量形式若兩向量模的乘積大于等于兩向量點(diǎn)乘的模，即，其中兩向量，為零向量或者則等號(hào)成立（4）一般形式等號(hào)成立的條件是：，或者均為零。（5）推廣形式此推廣式又稱卡爾松不等式，其表述是：在矩陣中，各行元素之和的幾何平均不小于個(gè)列元素之和的幾何平均之積。（6）概率論形式（7）積分形式（8）小結(jié)從上述的眾多形式我們不難看出，對(duì)于高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、概率論這三個(gè)看似沒有聯(lián)系的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，其實(shí)是存在內(nèi)在聯(lián)系的，雖然柯西不等式在這三門課程中以不同的形式存在

11、，也擁有不一樣的名稱，但是其實(shí)質(zhì)意義是一致的。三 柯西不等式的證明方法對(duì)于柯西不等式的了解我們不能局限于外表的形式，更要了解柯西不等式的證明過程，這樣在學(xué)習(xí)和運(yùn)用柯西不等式的過程中能有更為清晰的思路，在運(yùn)用中才能做到游刃有余，從而幫助我們更好的解決問題。對(duì)于柯西不等式的的證明方法多種多樣，大家所熟悉的有像構(gòu)造二次函數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、配方法、均值不等式法這些比較容易理解的方法和掌握的方法，但其實(shí)還有向量法、行列式證明法、利用二次型法、利用線性相關(guān)性法這些雖然相對(duì)其他方法稍難理解和記憶，但在證明柯西不等式時(shí)，也是非常不錯(cuò)的幾種方法。在加強(qiáng)我們對(duì)于柯西不等式的理解和運(yùn)用存在著非常重要的作用。具體方法

12、如下：（1）構(gòu)造二次函數(shù)法恒成立即當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立綜上柯西不等式成立（2）數(shù)學(xué)歸納法i）當(dāng)時(shí)，有，柯西不等式成立當(dāng)時(shí)，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，柯西不等式成立ii)假設(shè)時(shí)，柯西不等式成立即當(dāng)為常數(shù),或時(shí)等號(hào)成立設(shè)則當(dāng)為常數(shù)，或時(shí)等號(hào)成立即時(shí)不等式成立綜合i）ii）可知,柯西不等式成立（3）配方證明法即當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立綜上所述柯西不等式成立（4）向量證明法設(shè)n維空間中有兩個(gè)向量其中為任意兩組實(shí)數(shù)由向量長(zhǎng)度定義，有又由向量的內(nèi)積定義，其中為的夾角再而所以于是有即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即與共線時(shí)等號(hào)成立由綜上所述，柯西不等式成立。（5）利用均值不等式法當(dāng)時(shí)，柯西不等式成立當(dāng)時(shí)，柯西不等式可化為由均值不

13、等式可知即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立綜上所述，柯西不等式得證.（6）利用行列式證明柯西不等式首先存在定理：設(shè)其中則等于中所有的階子試與中對(duì)應(yīng)的子試的乘積之和即（當(dāng)時(shí)規(guī)定右邊為零）再用上述定理給出柯西不等式的行列式證明方法如下：令矩陣，則故但由上述定理知：而及為實(shí)數(shù)，故當(dāng)且僅當(dāng)與成正比時(shí)等號(hào)成立于是即柯西不等式得證.（7）利用線性相關(guān)性證明柯西不等式設(shè)為向量空間若則成立當(dāng)且僅當(dāng)向量與線性相關(guān)時(shí)證明：i)設(shè)與線性相關(guān)，則存在不全為零的，使所以有或者，其中以上兩種情況帶入柯西不等式兩端均可使等號(hào)成立ii)設(shè)與線性無關(guān)，則對(duì)每一個(gè)有，即至少有一個(gè)使于是或者這里，否則與線性相關(guān)與題設(shè)矛盾于是有不全為零和這樣就有

14、即于是iii)若柯西不等式等號(hào)成立，則不然由ii)將推出柯西不等式不等號(hào)成立故綜上所述柯西不等式成立（8）利用二次型對(duì)于不等式即關(guān)于的二次型非負(fù)定，那么即，柯西不等式得證 四 柯西不等式的應(yīng)用對(duì)柯西不等式形式和證明方法的理解其目的在于讓我們更好的運(yùn)用柯西不等式，所以柯西不等式作為工具我們就應(yīng)該對(duì)它的應(yīng)用有一定的掌握。而這也正是柯西不等式的本質(zhì)意義?？挛鞑坏仁皆诓坏仁街姓紦?jù)很重要的地位，掌握好柯西不等式并靈活巧妙的運(yùn)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。 柯西不等式在證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題的方面都有很好的應(yīng)用。對(duì)柯西不等式的應(yīng)用相信大家也都了解一二，論文的意義也在于把更

15、多的柯西不等式的應(yīng)用思路清晰的呈現(xiàn)在大家的面前，在以后的學(xué)習(xí)和研究中希望能對(duì)大家有所幫助。所以通過對(duì)學(xué)者論文以及相關(guān)書籍的整理，梳理出了以下幾方面對(duì)于柯西不等式的應(yīng)用，在論文中也會(huì)給出相應(yīng)的典型例題幫助大家更好的理解柯西不等式應(yīng)用的巧妙之處。主要應(yīng)用包括下列幾方面:（1）距離問題利用柯西不等式證明：平面點(diǎn)到直線的距離公式證明：對(duì)直線上的任意一點(diǎn)得，且由柯西不等式得：則有當(dāng)時(shí)，等式成立，由垂線段最短可得（2）證明等式及不等式已知正數(shù)滿足證明證明：利用柯西不等式有又因?yàn)樵诖瞬坏仁絻蛇呁艘?，再加上得：設(shè)，且，求證：證明：上述不等式可以寫成由綜上不等式成立。已知，求證：。證明：由柯西不等式得：當(dāng)且

16、僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立于是有。（3）解三角形和幾何相關(guān)問題設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)，是到三邊 的距離，是外接圓的半徑，證明證明：由柯西不等式得記為的面積，則故不等式成立。（4）求最值已知實(shí)數(shù)滿足試求的最值解：由柯西不等式得即由條件可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。帶入時(shí)，時(shí)，已知，求的最小值。解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最小值。（5）利用柯西不等式解方程在實(shí)數(shù)集內(nèi)求解方程組解：由柯西不等式得（1）又即不等式（1）中僅等號(hào)成立從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件得從而有方程組可得求解方程組 解：原方程組可化簡(jiǎn)為運(yùn)用柯西不等式得，兩式相乘得到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故原方程組的解為。（6）用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在線性回歸中，有樣

17、本相關(guān)系數(shù)當(dāng)且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，則相關(guān)程度就越小利用柯西不等式解釋線性相關(guān)系數(shù)先設(shè)，則有，由柯西不等式有，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，為常數(shù)點(diǎn)均在直線上當(dāng)時(shí)，即而為常數(shù)此時(shí)為常數(shù)點(diǎn)均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大當(dāng)時(shí)，不具備上述特征，從而找不到合適的常數(shù)使得點(diǎn)不都在直線附近，所以越接近于0，則相關(guān)程度越小 。（7）小結(jié)綜上所述的柯西不等式應(yīng)用的解釋也不是最完美的，但這只是起到一個(gè)拋磚引玉的效果，希望更多的學(xué)者朋友給出更多精彩的例子，來不斷的完善柯西不等式的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)1 黃衛(wèi). 柯西不等式證明及應(yīng)用. 赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2011(4)2 徐鴻遲. 柯西不等式的微小改動(dòng). 數(shù)學(xué)通報(bào)，

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