標(biāo)量場(chǎng)和靜電場(chǎng)的仿真分析

1、實(shí)驗(yàn)一 標(biāo)量場(chǎng)和靜電場(chǎng)的仿真分析實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?、掌握標(biāo)量場(chǎng)的梯度計(jì)算方法，理解梯度的物理意義； 2、掌握點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)特性；3、熟悉多個(gè)極性不同的點(diǎn)電荷形成的點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)特性；4、熟悉電偶極子的電場(chǎng)特性以及電力線和等位線的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)原理：1，標(biāo)量場(chǎng)：標(biāo)量場(chǎng)u沿指定方向的變化率就是標(biāo)量場(chǎng)在該方向的方向?qū)?shù)就是標(biāo)量場(chǎng)的梯度，計(jì)算公式為由此就可以計(jì)算出標(biāo)量場(chǎng)的梯度。2靜電場(chǎng)：電位表達(dá)式這就是等位面方程在Matlab中可求解該方程并用極坐標(biāo)作圖，即可得到電場(chǎng)的等位線圖(也可畫(huà)出三維立體等位面圖，如圖4)電位求出后就可得到球坐標(biāo)系下電場(chǎng)E的表達(dá)式實(shí)驗(yàn)步驟：1、標(biāo)量場(chǎng)的梯度和等位線仿真（1） 建立梯度的

2、數(shù)學(xué)模型（2） 利用matlab軟件進(jìn)行仿真（3） 觀察并分析仿真圖中梯度和等位線之間的相互關(guān)系 2、點(diǎn)電荷系的電位分布（1）建立點(diǎn)電荷系電位的數(shù)學(xué)模型（2）利用matlab軟件進(jìn)行仿真（3）觀察并分析仿真圖中電位分布的特點(diǎn) 3、電偶極子的場(chǎng)（1）建立電偶極子的電位和電場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型（2）利用matlab軟件進(jìn)行仿真（3）觀察并分析仿真圖中電位線和電力線的特點(diǎn)和關(guān)系實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求：（1）抓仿真程序結(jié)果圖（2）理論分析與討論例1 求二維標(biāo)量場(chǎng)u( r) = y2 - x 的梯度。理解梯度的關(guān)鍵是：梯度是與等值面垂直的一個(gè)矢量。Matlab程序如下：x,y=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2

3、:2); %設(shè)定坐標(biāo)x，y的范圍z=y.2-x; %計(jì)算公式px,py=gradient(z,.2,.2); contour(z) %求梯度hold on quiver(px,py) %繪制梯度圖像hold offtitle(等值線與梯度); %圖像標(biāo)題理論分析：由實(shí)驗(yàn)原理中梯度的概念和計(jì)算公式，按照題目的要求就可以得到上圖所示的圖形。根據(jù)圖形分析可得到，場(chǎng)中每一點(diǎn)處的梯度垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向函數(shù)增大的方向，也就是說(shuō)，梯度就是該等值面的法相矢量。 例2 (1) 2個(gè)等量同號(hào)點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系的電勢(shì)分布圖 為了方便求解，令則：clearv=1./(x-3).2+y.2).0.5+1./

4、(x+3).2+y.2).0.5; %讀入電勢(shì)計(jì)算方程xmax=10; %x軸的坐標(biāo)最大值ymax=10; %y軸的坐標(biāo)最大值ngrid=30;xplot=linspace(-xmax,xmax,ngrid); %繪圖區(qū)域、網(wǎng)格線設(shè)定x,y=meshgrid(xplot); %生成二維網(wǎng)格vplot=eval(v); %執(zhí)行輸入的電勢(shì)計(jì)算方程explot,eyplot=gradient(-vplot); %計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度clf;subplot(1,2,1),meshc(vplot); %畫(huà)含等勢(shì)線的三維曲面xlabel(x);ylabel(y);zlabel(電位);subplot(1,2,2)

5、,axis(-xmax xmax -ymax ymax)cs=contour(x,y,vplot); %畫(huà)等勢(shì)線clabel(cs);hold on; %在等勢(shì)線上編號(hào)quiver(x,y,explot,eyplot) %用箭頭描述矢量場(chǎng)xlabel(x);ylabel (y);hold off;分析：(1)如右圖所示，電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)，終止在無(wú)窮遠(yuǎn)處。電場(chǎng)線與等勢(shì)線垂直，任何兩條電場(chǎng)線都不相交。(2)電勢(shì)較高的等勢(shì)線分別包圍著電荷，電勢(shì)較低等勢(shì)線包圍著兩個(gè)電荷。電場(chǎng)強(qiáng)度大的地方，電場(chǎng)線較密，等勢(shì)線也較密。(3)當(dāng)兩個(gè)電荷的電量相等時(shí)，電場(chǎng)線和等勢(shì)線對(duì)中垂線是對(duì)稱(chēng)的。(4)根據(jù)左圖所示，點(diǎn)電

6、荷場(chǎng)強(qiáng)的分量Ex在電荷附近特別大。在點(diǎn)電荷附近的右側(cè)，Ex的方向沿x軸正向，在點(diǎn)電荷附近的左側(cè)，Ex的方向沿x軸負(fù)向，因此在點(diǎn)電荷的右側(cè)形成高峰，左側(cè)形成深谷。(5)根據(jù)左圖所示，點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)的分量Ey在電荷附近也特別大。在點(diǎn)電荷附近的前方，Ey的方向沿y軸正向，在點(diǎn)電荷附近的后方，Ey的方向沿y軸負(fù)向，因此在點(diǎn)電荷的前方形成高峰，后方形成深谷。(2) 2個(gè)等量異號(hào)點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系的電勢(shì)分布圖clearv=1./(x-3).2+y.2).0.5-1./(x+3).2+y.2).0.5; %讀入電勢(shì)計(jì)算方程xmax=10; %x軸的坐標(biāo)最大值ymax=10; %y軸的坐標(biāo)最大值ngrid=30

7、;xplot=linspace(-xmax,xmax,ngrid); %繪圖區(qū)域、網(wǎng)格線設(shè)定x,y=meshgrid(xplot); %生成二維網(wǎng)格vplot=eval(v); %執(zhí)行輸入的電勢(shì)計(jì)算方程explot,eyplot=gradient(-vplot); %計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度clf;subplot(1,2,1),meshc(vplot); %畫(huà)含等勢(shì)線的三維曲面xlabel(x);ylabel(y);zlabel(電位);subplot(1,2,2),axis(-xmax xmax -ymax ymax)cs=contour(x,y,vplot); %畫(huà)等勢(shì)線clabel(cs);hold

8、 on; %在等勢(shì)線上編號(hào)quiver(x,y,explot,eyplot) %用箭頭描述矢量場(chǎng)xlabel(x);ylabel (y);hold off;分析：(1)根據(jù)左圖所示，點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)的分量Ex在電荷附近特別大。在點(diǎn)電荷附近的右側(cè)，Ex的方向沿x軸正向，在點(diǎn)電荷附近的左側(cè)，Ex的方向沿x軸負(fù)向，因此在點(diǎn)電荷的右側(cè)形成高峰，左側(cè)形成深谷。(2)根據(jù)左圖所示，點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)的分量Ey在電荷附近也特別大。在點(diǎn)電荷附近的前方，Ey的方向沿y軸正向，在點(diǎn)電荷附近的后方，Ey的方向沿y軸負(fù)向，因此在點(diǎn)電荷的前方形成高峰，后方形成深谷。 (3)如右圖所示，電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)，終止在負(fù)電荷。電場(chǎng)線與等勢(shì)線

9、垂直，任何兩條電場(chǎng)線都不相交。(4)電勢(shì)較高的等勢(shì)線分別包圍著電荷，電勢(shì)較低等勢(shì)線包圍著兩個(gè)電荷。電場(chǎng)強(qiáng)度大的地方，電場(chǎng)線較密，等勢(shì)線也較密。(5當(dāng)兩個(gè)電荷的電量相等且異號(hào)時(shí)，電場(chǎng)線和等勢(shì)線對(duì)中垂線是對(duì)稱(chēng)的。 例3 畫(huà)電偶極子的等位線和電力線a=linspace(0,2.*pi); for c=-2:0.4:2r1=c.*cos(a).(1./2);r2=c.*sin(a).2;polar(a,r1,r);hold on;polar(a,r2,:)endtitle(電偶極子的等位線和電力線)分析：電偶極子的電位隨著距離的平方反比變化，電場(chǎng)按距離的三次方反比衰減。由圖形可以明顯的知道，隨著離電荷

10、的距離越遠(yuǎn)，電偶極子比單個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)衰減的更快，這是因?yàn)樵谶h(yuǎn)處正負(fù)電荷的相互抵消的緣故。點(diǎn)偶極子的電場(chǎng)和電位的另一個(gè)特點(diǎn)就是具有軸對(duì)稱(chēng)性，如上圖所示。例4 電偶極子的場(chǎng)（等位線和梯度）clear;clf;q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:0.6:6;y=x; X,Y=meshgrid(x,y); % 設(shè)置坐標(biāo)網(wǎng)格rp=sqrt(X-a).2+(Y-b).2);rm=sqrt(X+a).2+(Y+b).2); %正電荷在x=1.5;y=-1.5;負(fù)電荷在x=-1.5;y=1.5。V=q*k*(1./rp-1./rm); % 計(jì)算電位Ex,Ey=gradient(-V); %計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)AE=sqrt(Ex.2+Ey.2);Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE; %場(chǎng)強(qiáng)歸一化，使箭頭等長(zhǎng)cv=linspace(min(min(V),max(max(V),49); %產(chǎn)生49個(gè)電位值contourf(X,Y,V,cv,k-) %用黑實(shí)線畫(huà)等位線%axis(square) %在Notebook中，此指令不用title(電偶極子的場(chǎng)),hold onquiver(X,Y,Ex,Ey,0.7) %第五輸入宗量0.7，使場(chǎng)強(qiáng)箭頭長(zhǎng)短適中plot(a,b,wo,a,b,w+) %用白線畫(huà)正電荷位置plot(