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1、第2章 曲面與空間曲線的方程2.1 曲面的方程1、 一動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí),與及平面等距離,求該動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。解:設(shè)在給定的坐標(biāo)系下,動(dòng)點(diǎn),所求的軌跡為,則亦即由于上述變形為同解變形,從而所求的軌跡方程為2、在空間,選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求下列點(diǎn)的軌跡方程:(1)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡;(2)到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡;(3)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡;(4)到一定點(diǎn)和一定平面距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。解:(1)取二定點(diǎn)的連線為軸,二定點(diǎn)連接線段的中點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn),且令兩距離之比的常數(shù)為,二定點(diǎn)的距離為,則二定點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)動(dòng)點(diǎn),所求的軌跡為,則亦即經(jīng)同解變形得:上式即為所要求
2、的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。(2)建立坐標(biāo)系如(1),但設(shè)兩定點(diǎn)的距離為,距離之和常數(shù)為。設(shè)動(dòng)點(diǎn),要求的軌跡為,則亦即兩邊平方且整理后,得: (1)從而(1)為即:由于上述過(guò)程為同解變形,所以(3)即為所求的軌跡方程。(3)建立如(2)的坐標(biāo)系,設(shè)動(dòng)點(diǎn),所求的軌跡為,則類似于(2),上式經(jīng)同解變形為:其中 (*)(*)即為所求的軌跡的方程。(4)取定平面為面,并讓定點(diǎn)在軸上,從而定點(diǎn)的坐標(biāo)為,再令距離之比為。設(shè)動(dòng)點(diǎn),所求的軌跡為,則將上述方程經(jīng)同解化簡(jiǎn)為: (*)(*)即為所要求的軌跡方程。2、 求下列各球面的方程:(1)中心,半徑為;(2)中心在原點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn);(3)一條直徑的兩端點(diǎn)是(4)通過(guò)原點(diǎn)與
3、解:(1)由本節(jié)例5 知,所求的球面方程為:(2)由已知,球面半徑所以類似上題,得球面方程為(3)由已知,球面的球心坐標(biāo),球的半徑,所以球面方程為:(4)設(shè)所求的球面方程為:因該球面經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以 (1)解(1)有所求的球面方程為2.2 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程1、畫(huà)出下列方程所表示的曲面的圖形。(1) 解:各題的圖形如下:(1)2.3空間曲線的方程1、平面與的公共點(diǎn)組成怎樣的軌跡。解:上述二圖形的公共點(diǎn)的坐標(biāo)滿足從而:()當(dāng)時(shí),公共點(diǎn)的軌跡為: 及 即為兩條平行軸的直線;()當(dāng)時(shí),公共點(diǎn)的軌跡為: 即為軸;()當(dāng)時(shí),公共點(diǎn)的軌跡為: 即過(guò)且平行于軸的直線;()當(dāng)或時(shí),兩圖形無(wú)公共點(diǎn)。2、指出
4、下列曲面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線分別是什么曲線?(1); (2);(3); (4)解:(1)曲面與面的交線為:此曲線是圓心在原點(diǎn),半徑且處在面上的圓。同理可求出曲面與面及面的交線分別為:, 它們分別是中心在原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,且處在面上的橢圓,以及中心在原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,且處在面上的橢圓;(2)由面與面,面,面的交線分別為:,亦即:,即為中心在原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,且處在面上的橢圓;中心在原點(diǎn),實(shí)軸在軸,且處在面上的雙曲線,以及中心在原點(diǎn),實(shí)軸在軸,且處在面上的雙曲線。(3)曲面與面,面,面的交線分別為:,亦即,即為中心在原點(diǎn),實(shí)軸在軸,且處在面上的雙曲線;無(wú)軌跡以及中心在原點(diǎn),實(shí)軸在軸上,且處在面上的雙曲線。(4)曲面與面,面,面的交線分別為:,亦即,即為坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)在原點(diǎn)以軸為對(duì)稱軸,且處在面上的拋物線,以及頂點(diǎn)在原點(diǎn),以軸為對(duì)稱軸,且處在面上的拋物線。3、 求下列空間曲線對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的射影柱面方程。(1);(2)(3)(4)解:(1)從方程組分別消去變量,得:亦即: () () ()()是原曲線對(duì)平面的射影柱面方程;()是原曲線對(duì)平面的射影柱面方程;()是原曲線對(duì)平面的射影柱面方程。(2)按照與(1)同樣的方法可得原曲線()對(duì)平面的射影柱面方程;()對(duì)平面的射影柱面方程;()對(duì)平面的射影柱面方程。(3) 原曲線對(duì)平面的射影柱面
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