曲面與空間曲線的方程

1、第2章 曲面與空間曲線的方程2.1 曲面的方程1、 一動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，與及平面等距離，求該動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)在給定的坐標(biāo)系下，動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡為，則亦即由于上述變形為同解變形，從而所求的軌跡方程為2、在空間，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求下列點(diǎn)的軌跡方程：（1）到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；（2）到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；（3）到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；（4）到一定點(diǎn)和一定平面距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。解：（1）取二定點(diǎn)的連線為軸，二定點(diǎn)連接線段的中點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，且令兩距離之比的常數(shù)為，二定點(diǎn)的距離為，則二定點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡為，則亦即經(jīng)同解變形得：上式即為所要求

2、的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。（2）建立坐標(biāo)系如（1），但設(shè)兩定點(diǎn)的距離為，距離之和常數(shù)為。設(shè)動(dòng)點(diǎn)，要求的軌跡為，則亦即兩邊平方且整理后，得： （1）從而（1）為即：由于上述過(guò)程為同解變形，所以（3）即為所求的軌跡方程。（3）建立如（2）的坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡為，則類似于（2），上式經(jīng)同解變形為：其中 （*）（*）即為所求的軌跡的方程。（4）取定平面為面，并讓定點(diǎn)在軸上，從而定點(diǎn)的坐標(biāo)為，再令距離之比為。設(shè)動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡為，則將上述方程經(jīng)同解化簡(jiǎn)為： （*）（*）即為所要求的軌跡方程。2、 求下列各球面的方程：（1）中心，半徑為；（2）中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（3）一條直徑的兩端點(diǎn)是（4）通過(guò)原點(diǎn)與

3、解：（1）由本節(jié)例5 知，所求的球面方程為：（2）由已知，球面半徑所以類似上題，得球面方程為（3）由已知，球面的球心坐標(biāo)，球的半徑，所以球面方程為：（4）設(shè)所求的球面方程為：因該球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以 （1）解（1）有所求的球面方程為2.2 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程1、畫(huà)出下列方程所表示的曲面的圖形。（1） 解：各題的圖形如下：（1）2.3空間曲線的方程1、平面與的公共點(diǎn)組成怎樣的軌跡。解：上述二圖形的公共點(diǎn)的坐標(biāo)滿足從而：（）當(dāng)時(shí)，公共點(diǎn)的軌跡為： 及 即為兩條平行軸的直線；（）當(dāng)時(shí)，公共點(diǎn)的軌跡為： 即為軸；（）當(dāng)時(shí)，公共點(diǎn)的軌跡為： 即過(guò)且平行于軸的直線；（）當(dāng)或時(shí)，兩圖形無(wú)公共點(diǎn)。2、指出

4、下列曲面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線分別是什么曲線？（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）曲面與面的交線為：此曲線是圓心在原點(diǎn)，半徑且處在面上的圓。同理可求出曲面與面及面的交線分別為：， 它們分別是中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，且處在面上的橢圓，以及中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，且處在面上的橢圓；（2）由面與面，面，面的交線分別為：,亦即：,即為中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，且處在面上的橢圓；中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸，且處在面上的雙曲線，以及中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸，且處在面上的雙曲線。（3）曲面與面，面，面的交線分別為：,亦即,即為中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸，且處在面上的雙曲線；無(wú)軌跡以及中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸上，且處在面上的雙曲線。（4）曲面與面，面，面的交線分別為：,亦即,即為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)以軸為對(duì)稱軸，且處在面上的拋物線，以及頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以軸為對(duì)稱軸，且處在面上的拋物線。3、 求下列空間曲線對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的射影柱面方程。（1）;（2）（3）（4）解：（1）從方程組分別消去變量，得：亦即： （） （） （）（）是原曲線對(duì)平面的射影柱面方程；（）是原曲線對(duì)平面的射影柱面方程；（）是原曲線對(duì)平面的射影柱面方程。（2）按照與（1）同樣的方法可得原曲線（）對(duì)平面的射影柱面方程；（）對(duì)平面的射影柱面方程；（）對(duì)平面的射影柱面方程。（3） 原曲線對(duì)平面的射影柱面