暑期班第14講空間向量在立體幾何中的應(yīng)用理科學(xué)生版

1、第十四講空間向量在立體幾何中的應(yīng)用高考要求1理解直線的方向向量與平面的法向量2能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系3能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）4能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的應(yīng)用知識(shí)精講（一）知識(shí)內(nèi)容1位置向量：已知向量，在空間固定一個(gè)基點(diǎn)，再作向量，則點(diǎn)在空間的位置就被向量所唯一確定了這時(shí)，我們稱這個(gè)向量為位置向量由此，我們可以用向量及其運(yùn)算來研究空間圖形的性質(zhì)2給定一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)向量，為空間中任一確定的點(diǎn)，為直線上的點(diǎn)，則在為過點(diǎn)且平行于向量的直線上 這

2、三個(gè)式子都稱為直線的向量參數(shù)方程向量稱為該直線的方向向量3設(shè)直線和的方向向量分別為和，（或與重合）；若向量和是兩個(gè)不共線的向量，且都平行于平面（即向量的基線與平面平行或在平面內(nèi)），直線的一個(gè)方向向量為，則或在內(nèi) 存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使4如果向量的基線與平面垂直，則向量就稱為平面的法向量設(shè)是空間任一點(diǎn)，為空間內(nèi)任一非零向量，則滿足的點(diǎn)表示過點(diǎn)且與向量垂直的平面，稱為該平面的向量表示式5設(shè)分別是平面的法向量，則或與重合；6線面角：斜線和它在平面內(nèi)的正射影的夾角叫做斜線和平面所成的角，是斜線與這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角7二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面從一條直線

3、出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；這條直線叫做二面角的棱每個(gè)半平面叫做二面角的面棱為，兩個(gè)面分別為的二面角，記作在二面角的棱上任取一點(diǎn)，在兩半平面內(nèi)分別作射線，則叫做二面角的平面角二面角的平面角的大小就稱為二面角的大小我們約定二面角的范圍為設(shè)，則角與二面角相等或互補(bǔ)（二）典例分析【例1】 設(shè)，則使、三點(diǎn)共線的條件是（ ）A BC D設(shè)向量，試確定的關(guān)系，使與軸垂直【例2】 已知，求平面的一個(gè)單位法向量；證明：向量與平面平行【變式】 已知和都是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且求證：是平面的法向量；若是的垂心，求證：是平面的法向量【例3】 （08浙江）如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直， 求證：平

4、面； 當(dāng)?shù)拈L為何值時(shí)，二面角的大小為？【例4】 如圖，在棱長為的正方體中，分別為的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，求證：，；求證：平面；求異面直線與所成角的余弦值；求直線與平面所成角的余弦值；求二面角的余弦值【例5】 如圖直角梯形中，平面，以、分別為軸、軸、軸建立直角坐標(biāo)系求與的夾角的大小（用反三角函數(shù)表示）；設(shè)，滿足平面，求的坐標(biāo)；與平面的夾角（用反三角函數(shù)表示）；到平面的距離【變式】 如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上，且，是的中點(diǎn)求異面直線與所成的角的余弦值；求點(diǎn)到平面的距離；若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且，求的值【例6】 已知分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，求與所成角的大??；與平面所成角的大?。欢?/p>

5、角的大小【例7】 如圖，棱長為的正方體中，、分別為棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且（）求證：；當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求二面角的大小【例8】 （2009全國II）如圖，直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，平面證明：設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小【例9】 （2009湖南卷理）如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且證明：平面平面；求直線和平面所成角的正弦值【例10】 （2009山東）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形， ，分別是棱、的中點(diǎn)證明：直線平面；求二面角的余弦值【例11】 （2009天津）如圖，在五面體中，平面，為的中點(diǎn)，求異面直線與所成的角的大小；證明平面平面；求二面角的余弦值【例12】 （2009四川）

6、如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，求證：平面；設(shè)線段的中點(diǎn)為，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，請指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；求二面角的大小家庭作業(yè)習(xí)題1. 已知，求方向向量為直線與平面所成角的余弦值習(xí)題2. 如圖，在正方體中，求與所成角的余弦值習(xí)題3. 已知正三棱柱，底面邊長，點(diǎn)、分別是邊，的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系求證：若為的中點(diǎn)，試用基向量、表示向量；求異面直線與所成角的余弦值習(xí)題4. （2003年全國新課程）如圖，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱，、分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影是的垂心求與平面所成角的余弦值；求點(diǎn)到平面的距離月測備選習(xí)題1. 已知三棱錐，、分別是棱、的中點(diǎn)，求：直線與所成角的余弦值習(xí)題2. 長方體中，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，又，求長方體的高；二面角的大小習(xí)題3. 如圖：在空間四邊形中，、兩兩垂直，且，是的中點(diǎn)，異