小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型(等高模型)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三角形等高模型與鳥(niǎo)頭模型模型一 三角形等高模型已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積底高從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；這說(shuō)明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，底變?yōu)樵瓉?lái)的，則三角形面積與原來(lái)的一樣這就是說(shuō)：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化同時(shí)也告訴我們：一個(gè)三角形在面

2、積不改變的情況下，可以有無(wú)數(shù)多個(gè)不同的形狀在實(shí)際問(wèn)題的研究中，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如圖 夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比【例 1】 你有多少種方法將任意一個(gè)三角形分成： 3個(gè)面積相等的三角形； 4個(gè)面積相等的三角形；6個(gè)面積相等

3、的三角形?！窘馕觥?如下圖，D、E是BC的三等分點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是對(duì)應(yīng)線段的中點(diǎn)，答案不唯一： 如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：【例 2】 如圖，BD長(zhǎng)12厘米，DC長(zhǎng)4厘米，B、C和D在同一條直線上。 求三角形ABC的面積是三角形ABD面積的多少倍？ 求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍？【解析】 因?yàn)槿切蜛BD、三角形ABC和三角形ADC在分別以BD、BC和DC為底時(shí)，它們的高都是從A點(diǎn)向BC邊上所作的垂線，也就是說(shuō)三個(gè)三角形的高相等。于是：三角形ABD的面積高高三角形ABC的面積高高三角形ADC的面積高高所以，三角形ABC的面積是三角形ABD

4、面積的倍；三角形ABD的面積是三角形ADC面積的3倍。【例 3】 如右圖，和都是矩形，的長(zhǎng)是厘米，的長(zhǎng)是厘米，那么圖中陰影部分的面積是 平方厘米?！窘馕觥?圖中陰影部分的面積等于長(zhǎng)方形面積的一半，即(平方厘米)?！眷柟獭?2009年四中小升初入學(xué)測(cè)試題)如圖所示，平行四邊形的面積是50平方厘米，則陰影部分的面積是 平方厘米?！窘馕觥?根據(jù)面積比例模型，可知圖中空白三角形面積等于平行四邊形面積的一半，所以陰影部分的面積也等于平行四邊形面積的一半，為平方厘米。【鞏固】如下圖，長(zhǎng)方形和長(zhǎng)方形拼成了長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20，寬是12，則它內(nèi)部陰影部分的面積是 ?！窘馕觥?根據(jù)面積比例模型可知陰影部分面

5、積等于長(zhǎng)方形面積的一半，為?！纠?4】 如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，點(diǎn)、分別是長(zhǎng)方形邊上的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積。 【解析】 本題是等底等高的兩個(gè)三角形面積相等的應(yīng)用。連接、。，同理，(平方厘米)【鞏固】圖中的、分別是正方形三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長(zhǎng)是，那么陰影部分的面積是 。 【解析】 把另外三個(gè)三等分點(diǎn)標(biāo)出之后，正方形的個(gè)邊就都被分成了相等的三段。把和這些分點(diǎn)以及正方形的頂點(diǎn)相連，把整個(gè)正方形分割成了個(gè)形狀各不相同的三角形。這個(gè)三角形的底邊分別是在正方形的個(gè)邊上，它們的長(zhǎng)度都是正方形邊長(zhǎng)的三分之一。陰影部分被分割成了個(gè)三角形，右邊三角形的面積和第第個(gè)三角形相等：

6、中間三角形的面積和第第個(gè)三角形相等；左邊三角形的面積和第個(gè)第個(gè)三角形相等。因此這個(gè)陰影三角形的面積分別是、和的三分之一，因此全部陰影的總面積就等于正方形面積的三分之一。正方形的面積是，陰影部分的面積就是。【例 5】 長(zhǎng)方形的面積為36，、為各邊中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，問(wèn)陰影部分面積是多少？【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下圖： 可得：、，而 即； 而，。 所以陰影部分的面積是： 解法二：特殊點(diǎn)法。找的特殊點(diǎn)，把點(diǎn)與點(diǎn)重合，那么圖形就可變成右圖： 這樣陰影部分的面積就是的面積，根據(jù)鳥(niǎo)頭定理，則有： ?！纠?6】 長(zhǎng)方形的面積為36，、為各邊中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，問(wèn)陰影部分面積是多少？

7、 【解析】 （法1）特殊點(diǎn)法。由于為邊上任意一點(diǎn)，找的特殊點(diǎn)，把點(diǎn)與點(diǎn)重合（如左上圖），那么陰影部分的面積就是與的面積之和，而這兩個(gè)三角形的面積分別為長(zhǎng)方形面積的和，所以陰影部分面積為長(zhǎng)方形面積的，為。（法2）尋找可利用的條件，連接、，如右上圖。可得：、，而，即；而，。所以陰影部分的面積是：?！眷柟獭吭谶呴L(zhǎng)為6厘米的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，將正方形的一組對(duì)邊二等分，另一組對(duì)邊三等分，分別與點(diǎn)連接,求陰影部分面積。 【解析】 （法1）特殊點(diǎn)法。由于是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn)，可采用特殊點(diǎn)法，假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個(gè)陰影三角形的面積分別占正方形面積的和，所以陰影部分的面積為平方厘

8、米。（法2）連接、。由于與的面積之和等于正方形面積的一半，所以上、下兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，同理可知左、右兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，所以陰影部分的面積為平方厘米?！纠?7】 如右圖，E在AD上，AD垂直BC，厘米，厘米求三角形ABC的面積是三角形EBC面積的幾倍？【解析】 因?yàn)锳D垂直于BC，所以當(dāng)BC為三角形ABC和三角形EBC的底時(shí)，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，于是：三角形ABC的面積三角形EBC的面積所以三角形ABC的面積是三角形EBC的面積的4倍【例 8】 如圖，在平行四邊形ABCD中，EF平行AC，連結(jié)BE、AE、CF、BF那么與

9、BEC等積的三角形一共有哪幾個(gè)三角形？【解析】 AEC、AFC、ABF【鞏固】如圖，在ABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，連結(jié)BE、CE，那么與ABE等積的三角形一共有哪幾個(gè)三角形？【解析】 3個(gè)，AEC、BED、DEC【鞏固】如圖，在梯形ABCD中，共有八個(gè)三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對(duì)？【解析】 ABD與ACD，ABC與DBC，ABO與DCO【例 9】 (第四屆”迎春杯”試題)如圖，三角形的面積為1，其中，三角形 的面積是多少？【解析】 連接，又，【例 10】 (2008年四中考題)如右圖，已知陰影部分面積為5平方厘米，的面積是 平方厘米 【解析】 連接根據(jù)題意可知，的面積為面積

10、的，的面積為面積的，所以的面積為面積的而的面積為5平方厘米，所以的面積為(平方厘米)【鞏固】圖中三角形的面積是180平方厘米，是的中點(diǎn)，的長(zhǎng)是長(zhǎng)的3倍，的長(zhǎng)是 長(zhǎng)的3倍那么三角形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 ，等高，所以面積的比為底的比，有,所以=(平方厘米)同理有(平方厘米)， (平方厘米)即三角形的面積是22.5平方厘米【鞏固】如圖，在長(zhǎng)方形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，如果厘米，厘米，求三角形的面積【解析】 是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，又是長(zhǎng)方形， (平方厘米)【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是24，D、E和F分別是BC、AC和AD的中點(diǎn)求三角形DEF的面積【解析】 三角形ADC的面積是三角形AB

11、C面積的一半，三角形ADE又是三角形ADC面積的一半三角形FED的面積是三角形ADE面積的一半，所以三角形FED的面積【鞏固】如圖，在三角形ABC中，厘米，高是6厘米，E、F分別為AB和AC的中點(diǎn)，那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？【解析】 是的中點(diǎn)同理(平方厘米)【例 11】 如圖ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形，點(diǎn)E、F和G分別是它們所在邊的中點(diǎn)如果長(zhǎng)方形的面積是36個(gè)平方單位，求三角形EFG的面積是多少個(gè)平方單位 【解析】 如右圖分割后可得，（平方單位）【鞏固】(97迎春杯決賽)如圖，長(zhǎng)方形的面積是，是邊的中點(diǎn)，在邊上，且.那么，陰影部分的面積是多少？【解析】 連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)所以的面積為又因?yàn)?/p>

12、，所以的面積為，又因?yàn)槊娣e為，所以陰影部分的面積為：.【例 12】 如圖，大長(zhǎng)方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個(gè)小長(zhǎng)方形組合而成求陰影部分的面積 【解析】 如圖，將大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的長(zhǎng)度設(shè)為1，則，所以，陰影部分面積為【例 13】 如圖，三角形中，三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形的面積是多少？【解析】 ，；又，(平方厘米)【例 14】 (2009年第七屆”希望杯”二試六年級(jí))如圖，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面積分別是89，28，26那么三角形的面積是 【解析】 根據(jù)題意可知，所以，那么，故【例 15】 (第四屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽)如圖，梯形A

13、BCD被它的一條對(duì)角線BD分成了兩部分三角形BDC的面積比三角形ABD的面積大10平方分米已知梯形的上底與下底的長(zhǎng)度之和是15分米，它們的差是5分米求梯形ABCD的面積 【解析】 如右圖，作AB的平行線DE三角形BDE的面積與三角形ABD的面積相等，三角形DEC的面積就是三角形BDC與三角形ABD的面積差(10平方分米)從而，可求出梯形高(三角形DEC的高)是：(分米)，梯形面積是：(平方分米)【例 16】 圖中AOB的面積為，線段OB的長(zhǎng)度為OD的3倍，求梯形ABCD的面積【解析】 在中，因?yàn)?，且，所以有因?yàn)楹偷鹊椎雀?，所以有從而，在中，所以梯形面積：【例 17】 如圖，把四邊形ABCD改成

14、一個(gè)等積的三角形【解析】 本題有兩點(diǎn)要求，一是把四邊形改成一個(gè)三角形，二是改成的三角形與原四邊形面積相等我們可以利用三角形等積變形的方法，如右上圖把頂點(diǎn)A移到CB的延長(zhǎng)線上的A處，ABD與 面積相等，從而ADC面積與原四邊形ABCD面積也相等這樣就把四邊形ABCD等積地改成了三角形ADC問(wèn)題是A位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原則過(guò)A作一條和DB平行的直線與CB的延長(zhǎng)線交于A點(diǎn)具體做法： 連接BD； 過(guò)A作BD的平行線，與CB的延長(zhǎng)線交于A 連接AD，則ACD與四邊形ABCD等積【例 18】 （第三屆“華杯賽”初賽試題）一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的，黃色三角形面積

15、是問(wèn)：長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？【解析】 黃色三角形與綠色三角形的底相等都等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高相加為長(zhǎng)方形的寬，所以黃色三角形與綠色三角形的面積和為長(zhǎng)方形面積的，而綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的，所以黃色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的已知黃色三角形面積是，所以長(zhǎng)方形面積等于（）【例 19】 是長(zhǎng)方形內(nèi)一點(diǎn)，已知的面積是，的面積是，求的面積是多少？【解析】 由于是長(zhǎng)方形，所以，而，所以，則，所以【例 20】 如右圖，過(guò)平行四邊形內(nèi)的一點(diǎn)作邊的平行線、，若的面積為8平方分米，求平行四邊形的面積比平行四邊形的面積大多少平方分米？ 【解析】 根據(jù)差不變?cè)?，要求平行四邊形的面積與平行四邊形的面積差，相當(dāng)于求平

16、行四邊形的面積與平行四邊形的面積差如右上圖，連接、由于，所以而，所以(平方分米)【例 21】 如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積 【解析】 連接交于點(diǎn)，并連接如下圖所示， 可得，所以與面積相等(同底等高)，所以有：， 因?yàn)?，所以【鞏固】如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積 【解析】 連接交于點(diǎn)，并連接如右上圖所示， 可得，所以與面積相等(同底等高)，所以有:， 因?yàn)?，所以【?22】 在長(zhǎng)方形內(nèi)部有一點(diǎn)，形成等腰的面積為16，等腰的面積占長(zhǎng)方形面積的，那么陰影的面積是多少？【解析】 先算出長(zhǎng)方形面積，再用其一半減去的面積(長(zhǎng)方形面積的)，再減去的面積，即可

17、求出的面積根據(jù)模型可知，所以，又與的面積相等，它們的面積和等于長(zhǎng)方形面積的一半，所以的面積等于長(zhǎng)方形面積的，所以【例 23】 （2008年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽六年級(jí)）如右圖所示，在梯形中，、分別是其兩腰、的中點(diǎn)，是上的任意一點(diǎn)，已知 的面積為，而的面積恰好是梯形面積的，則梯形的面積是 【解析】 如果可以求出與的面積之和與梯形面積的比，那么就可以知道的面積占梯形面積的多少，從而可以求出梯形的面積如圖，連接、則，于是要求與梯形的面積之比，可以把梯形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，變成一個(gè)平行四邊形如下圖所示：從中容易看出的面積為梯形的面積的一半(也可以根據(jù)，得來(lái))那么，根據(jù)題意可知的面積占梯形面積的，所以梯

18、形的面積是小結(jié)：梯形一條腰的兩個(gè)端點(diǎn)與另一條腰的中點(diǎn)連接而成的三角形，其面積等于梯形面積的一半，這是一個(gè)很有用的結(jié)論本題中，如果知道這一結(jié)論，直接采用特殊點(diǎn)法，假設(shè)與重合，則的面積占梯形面積的一半，那么與合起來(lái)占一半【例 24】 如圖所示，四邊形與都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等 【解析】 本題主要是讓學(xué)生了解并會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等和三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半證明：連接(我們通過(guò)把這兩個(gè)看似無(wú)關(guān)的平行四邊形聯(lián)系在一起)在平行四邊形中，邊上的高，同理，平行四邊形與面積相等【鞏固】如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為厘米，那么長(zhǎng)方形的寬為幾厘米？

19、 【解析】 本題主要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半證明：連接(我們通過(guò)把這兩個(gè)長(zhǎng)方形和正方形聯(lián)系在一起)在正方形中，邊上的高，(三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半)同理，正方形與長(zhǎng)方形面積相等 長(zhǎng)方形的寬(厘米)【例 25】 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，1.5，2長(zhǎng)方形EFGH的面積為 【解析】 連接DE，DF，則長(zhǎng)方形EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積，,所以長(zhǎng)方形EFGH面積為33【例 26】 如圖，ABCD為

20、平行四邊形，EF平行AC，如果ADE的面積為4平方厘米求三角形CDF的面積 【解析】 連結(jié)AF、CE；又AC與EF平行， (平方厘米)【鞏固】如右圖，在平行四邊形中，直線交于，交延長(zhǎng)線于，若，求 的面積 【解析】 本題主要是讓學(xué)生并會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等(或夾在一組平行線之間的三角形面積相等)和等量代換的思想連接，同理，又， ，即【例 27】 圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是6厘米和4厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多少平方厘米【解析】 【例 28】 如圖，有三個(gè)正方形的頂點(diǎn)、恰好在同一條直線上，其中正方形的邊長(zhǎng)為10厘米，求陰影部分的面積【解析】 對(duì)于這種幾個(gè)正方形并排放在一起的圖形

21、，一般可以連接正方形同方向的對(duì)角線，連得的這些對(duì)角線互相都是平行的，從而可以利用面積比例模型進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)化如右圖所示，連接、，則，根據(jù)幾何五大模型中的面積比例模型，可得，所以陰影部分的面積就等于正方形的面積，即為平方厘米【鞏固】右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長(zhǎng)是厘米，求三角形的面積 【解析】 這道題似乎缺少大正方形的邊長(zhǎng)這個(gè)條件，實(shí)際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長(zhǎng)沒(méi)關(guān)系連接(見(jiàn)右上圖)，可以看出，三角形與三角形的底都等于小正方形的邊長(zhǎng)，高都等于大正方形的邊長(zhǎng)，所以面積相等因?yàn)槿切问侨切闻c三角形的公共部分，所以去掉這個(gè)公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個(gè)部分，即三角形與三角形面積

22、仍然相等根據(jù)等量代換，求三角形的面積等于求三角形的面積，等于【鞏固】(2008年西城實(shí)驗(yàn)考題)如圖，與均為正方形，三角形的面積為6平方厘米，圖中陰影部分的面積為 【解析】 如圖，連接，比較與，由于，即與的底與高分別相等，所以與的面積相等，那么陰影部分面積與的面積相等，為6平方厘米【鞏固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長(zhǎng)為10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米？ 【解析】 方法一：三角形BEF的面積，梯形EFDC的面積三角形BEF的面積，而四邊形CEFH是它們的公共部分，所以，三角形DHF的面積三角形BCH的面積，進(jìn)而可得，陰影面積三角形BDF的面積三角形BCD的面積(平方厘

23、米)方法二：連接CF，那么CF平行BD ，所以，陰影面積三角形BDF的面積三角形BCD的面積(平方厘米)【鞏固】(人大附中考題)已知正方形邊長(zhǎng)為10，正方形邊長(zhǎng)為6，求陰影部分的面積 【解析】 如果注意到為一個(gè)正方形的對(duì)角線(或者說(shuō)一個(gè)等腰直角三角形的斜邊)，那么容易想到與是平行的所以可以連接、，如上圖由于與平行，所以的面積與的面積相等而的面積為，所以的面積也為20【例 29】 (2008年”華杯賽”決賽)右圖中，和是兩個(gè)正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面積等于6平方厘米，求五邊形的面積 【解析】 連接、，由于與平行，可知四邊形構(gòu)成一個(gè)梯形由于面積為6平方厘米，且等于的三分之一，

24、所以等于的，根據(jù)梯形蝴蝶定理或相似三角形性質(zhì)，可知的面積為12平方厘米，的面積為6平方厘米，的面積為3平方厘米那么正方形的面積為平方厘米，所以其邊長(zhǎng)為6厘米又的面積為平方厘米，所以(厘米)，即正方形的邊長(zhǎng)為3厘米那么，五邊形的面積為：(平方厘米)【例 30】 (第八屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題)如下圖，、分別是梯形的下底和腰上的點(diǎn)，并且甲、乙、丙個(gè)三角形面積相等已知梯形的面積是平方厘米求圖中陰影部分的面積【解析】 因?yàn)橐?、丙兩個(gè)三角形面積相等，底所以到的距離與到的距離相等，即與平行，四邊形是平行四邊形，陰影部分的面積平行四邊形的面積的，所以陰影部分的面積乙的面積設(shè)甲、乙、丙的面積分別為份，則陰影面

25、積為份，梯形的面積為份，從而陰影部分的面積(平方厘米)【例 31】 如圖，已知長(zhǎng)方形的面積，三角形的面積是，三角形的面積是，那么三角形的面積是多少？ 【解析】 方法一：連接對(duì)角線 是長(zhǎng)方形 ， ，方法二：連接，由圖知，所以，又由，恰好是面積的一半，所以是的中點(diǎn)，因此，所以【例 32】 如圖，在平行四邊形中，求陰影面積與空白面積的比【解析】 方法一：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，同理可得，因?yàn)?，所以空白部分的面積，所以陰影部分的面積是，所以陰影面積與空白面積的比是【例 33】 (第七屆”小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽五年級(jí)復(fù)賽)如圖所示，三角形中，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一點(diǎn)，且，為與的交點(diǎn)若的面積為平方厘米，

26、的面積為平方厘米且是平方厘米，那么三角形的面積是 平方厘米【解析】 ，所以(平方厘米)所以(平方厘米)【例 34】 如圖，在梯形中，且的面積比的面積小10平方厘米梯形的面積是 平方厘米【解析】 根據(jù)題意可知，則，而平方厘米，所以，則平方厘米又，所以平方厘米所以(平方厘米)【鞏固】(第五屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽)如圖，是梯形的一條對(duì)角線，線段與平行， 與相交于點(diǎn)已知三角形的面積比三角形的面積大平方米，并且求梯形的面積 【解析】 連接根據(jù)差不變?cè)砜芍切蔚拿娣e比三角形大4平方米，而三角形與三角形面積相等，因此也與三角形面積相等，從而三角形的面積比三角形的大4平方米 但，所以三角形的面積是三角形的，

27、從而三角形的面積是(平方米)，梯形的面積為：(平方米)【例 35】 如右圖所示，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是，那么圖中陰影部分的面積是多少？【解析】 三角形的面積三角形的面積長(zhǎng)方形面積陰影部分面積；又因?yàn)槿切蔚拿娣e三角形的面積長(zhǎng)方形面積，所以可得：陰影部分面積【例 36】 圖中是一個(gè)各條邊分別為5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形將它的短直角邊對(duì)折到斜邊上去與斜邊相重合，那么圖中的陰影部分(即未被蓋住的部分)的面積是多少平方厘米？ 【解析】 如下圖，為了方便說(shuō)明，將某些點(diǎn)標(biāo)上字母有為直角，而，所以也為直角.而.與同高，所以面積比為底的比，及=，設(shè)的面積為“8”，則的面積

28、為“5”是由折疊而成，所以有、面積相等，是由、組成，所以=“8”+“5”+“5”=“18”對(duì)應(yīng)為，所以“1”份對(duì)應(yīng)為，那么ADE的面積為=平方厘米即陰影部分的面積為平方厘米【例 37】 如圖，長(zhǎng)方形的面積是2平方厘米，是的中點(diǎn)陰影部分的面積是多少平方厘米？【解析】 如下圖，連接，、的面積相等，設(shè)為平方厘米;、的面積相等，設(shè)為平方厘米，那么的面積為平方厘米 ，所以有比較、式，式左邊比式左邊多，式右邊比式右邊大0.5，有，即,而陰影部分面積為平方厘米【例 38】 (2007年六年級(jí)希望杯二試試題)如圖，三角形田地中有兩條小路和，交叉處為，張大伯常走這兩條小路，他知道,且則兩塊地和的面積比是_ 【解

29、析】 方法一：連接設(shè)的面積為1， 的面積，則根據(jù)題上說(shuō)給出的條件，由得，即的面積為、;又有，、，而；得，所以方法二：連接，設(shè)(份)，則,設(shè)則有，解得，所以方法三：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由相似得,又因?yàn)椋?，所以兩塊田地ACF和CFB的面積比【例 39】 (年第一屆”學(xué)而思杯”綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)六年級(jí)試)如圖，被分成個(gè)面積相等的小三角形，那么 【解析】 由題意可知，所以，；又，所以，同樣分析可得，所以【鞏固】（2009年清華附中入學(xué)測(cè)試題）如圖，在角的兩邊上分別有、及、六個(gè)點(diǎn)，并且、的面積都等于1，則的面積等于 【解析】 根據(jù)題意可知，所以，【例 40】 、分別為直角梯形兩邊上的點(diǎn)，且、彼此平行，若，求陰影

30、部分的面積 【解析】 連接、由于、彼此平行，所以四邊形是梯形，且與該梯形的兩個(gè)底平行，那么三角形與、三角形與的面積分別相等，所以三角形的面積與三角形的面積相等而三角形的面積根據(jù)已知條件很容易求出來(lái)由于為直角梯形，且，所以三角形的面積的面積為：所以三角形的面積為25【例 41】 (2007年人大附中分班考試題)已知為等邊三角形，面積為400，、分別為三邊的中點(diǎn)，已知甲、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積(丙是三角形)【解析】 因?yàn)?、分別為三邊的中點(diǎn)，所以、是三角形的中位線，也就與對(duì)應(yīng)的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形和三角形的面積都等于三角形的一半，即為200根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有，即，所

31、以又，所以【例 42】 (2009年四中入學(xué)測(cè)試題)如圖，已知，線段將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形的面積是 【解析】 連接，根據(jù)題意可知，；所以，于是：；可得故三角形的面積是40【鞏固】(第四屆希望杯)如圖，點(diǎn)、在線段上，已知厘米，厘米，厘米，厘米，將整個(gè)圖形分成上下兩部分，下邊部分面積是平方厘米，上邊部分面積是平方厘米，則三角形的面積是多少平方厘米？【解析】 連接設(shè)的面積是,由于所以的面積是、的面積是由于上半部分的面積是平方厘米所以的面積是()平方厘米，因?yàn)橄掳氩糠值拿娣e是平方厘米所以的面積是()平方厘米，因?yàn)槭堑?倍所以可以列方程為：()解得，的面積為

32、平方厘米.【例 43】 (2008年仁華考題)如圖，正方形的邊長(zhǎng)為10，四邊形的面積為5，那么陰影部分的面積是 【解析】 如圖所示，設(shè)上的兩個(gè)點(diǎn)分別為、連接根據(jù)面積比例模型，與的面積是相等的，那么與的面積之和，等于與的面積之和，即等于的面積而的面積為正方形面積的一半，為又與的面積之和與陰影部分的面積相比較，多了2個(gè)四邊形的面積，所以陰影部分的面積為：【鞏固】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為12，陰影部分的面積為60，那么四邊形的面積是 【解析】 如圖所示，設(shè)上的兩個(gè)點(diǎn)分別為、連接根據(jù)面積比例模型，與的面積是相等的，那么與的面積之和，等于與的面積之和，即等于的面積而的面積為正方形面積的一半，為又與的面積之和

33、與陰影部分的面積相比較，多了2個(gè)四邊形的面積，所以四邊形的面積為：【例 44】 (2008年走美六年級(jí)初賽)如圖所示，長(zhǎng)方形內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，四邊形的面積為 【解析】 利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形、和四邊形的面積之和，以及三角形和的面積之和，進(jìn)而求出四邊形的面積由于長(zhǎng)方形的面積為，所以三角形的面積為，所以三角形和的面積之和為；又三角形、和四邊形的面積之和為，所以四邊形的面積為另解：從整體上來(lái)看，四邊形的面積三角形面積三角形面積白色部分的面積，而三角形面積三角形面積為長(zhǎng)方形面積的一半，即60，白色部分的面積等于長(zhǎng)方形面積減去陰影部分的面積，即，所以四邊形的面積為【鞏固】(20

34、08年”華杯賽”初賽)如圖所示，矩形的面積為24平方厘米三角形與三角形 的面積之和為平方厘米，則四邊形的面積是 平方厘米【解析】 因?yàn)槿切闻c三角形的面積之和是矩形的面積的一半，即12平方厘米，又三角形與三角形的面積之和為平方厘米，則三角形與三角形的面積之和是平方厘米，則四邊形的面積三角形面積三角形與三角形的面積之和三角形面積(平方厘米)【鞏固】如圖所示，矩形的面積為36平方厘米，四邊形的面積是3平方厘米，則陰影部分的面積是 平方厘米【解析】 因?yàn)槿切蚊娣e為矩形的面積的一半，即18平方厘米，三角形面積為矩形的面積的，即9平方厘米，又四邊形的面積為3平方厘米，所以三角形與三角形的面積之和是平方

35、厘米又三角形與三角形的面積之和是矩形的面積的一半，即18平方厘米，所以陰影部分面積為(平方厘米)【鞏固】(2008年清華附中考題)如圖，長(zhǎng)方形的面積是36，是的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積為 【解析】 如圖，連接根據(jù)蝴蝶定理，所以；，所以又，所以陰影部分面積為：【例 45】 (清華附中分班考試題)如圖，如果長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，那么四邊形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 如圖，過(guò)、分別作長(zhǎng)方形的各邊的平行線易知交成中間的陰影正方形的邊長(zhǎng)為厘米，面積等于平方厘米設(shè)、的面積之和為，四邊形的面積等于，則，解得(平方厘米)【例 46】 (2008年日本第12屆小學(xué)算術(shù)奧林匹克大賽初賽)如圖，陰影部分四

36、邊形的外接圖形是邊長(zhǎng)為的正方形，則陰影部分四邊形的面積是 【解析】 如圖所示，分別過(guò)陰影四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)作正方形各邊的平行線，相交得長(zhǎng)方形，易知長(zhǎng)方形的面積為平方厘米從圖中可以看出，原圖中四個(gè)空白三角形的面積之和的2倍，等于、 四個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，等于正方形的面積加上長(zhǎng)方形的面積，為平方厘米，所以四個(gè)空白三角形的面積之和為平方厘米，那么陰影四邊形的面積為平方厘米【鞏固】如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長(zhǎng)為厘米的正方形，則陰影部分四邊形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 如圖所示，分別過(guò)陰影四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)作正方形各邊的平行線，相交得長(zhǎng)方形，易知長(zhǎng)方形的面積為平方厘米從圖中可以看出，原圖中四個(gè)

37、空白三角形的面積之和的2倍，等于、 四個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，等于正方形的面積加上長(zhǎng)方形的面積，為平方厘米，所以四個(gè)空白三角形的面積之和為平方厘米，那么陰影四邊形的面積為平方厘米【鞏固】已知正方形的邊長(zhǎng)為10，則 【解析】 如圖，作于，于則四邊形分為4個(gè)直角三角形和中間的一個(gè)長(zhǎng)方形，其中的4個(gè)直角三角形分別與四邊形周?chē)?個(gè)三角形相等，所以它們的面積和相等，而中間的小長(zhǎng)方形的面積為，所以【例 47】 如圖，三角形的面積是，、的長(zhǎng)度分別為11、3求長(zhǎng)方形的面積 【解析】 如圖，過(guò)作，過(guò)作，、交于，連接則另解：設(shè)三角形、的面積之和為，則正方形的面積為從圖中可以看出，三角形、的面積之和的2倍，等于正方形

38、的面積與長(zhǎng)方形的面積之和，即，得，所以正方形的面積為【例 48】 (2008年第二屆兩岸四地華羅庚金杯數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽)如圖，長(zhǎng)方形中，、分別是邊上的兩點(diǎn)，那么，三角形面積的最小值是 【解析】 由于長(zhǎng)方形的面積是一定的，要使三角形面積最小，就必須使、的面積之和最大由于、都是直角三角形，可以分別過(guò)、作、的平行線，可構(gòu)成三個(gè)矩形、和，如圖所示容易知道這三個(gè)矩形的面積之和等于、的面積之和的2倍，而這三個(gè)矩形的面積之和又等于長(zhǎng)方形的面積加上長(zhǎng)方形的面積所以為使、的面積之和最大，只需使長(zhǎng)方形的面積最大長(zhǎng)方形的面積等于其長(zhǎng)與寬的積，而其長(zhǎng)，寬，由題知，根據(jù)”兩個(gè)數(shù)的和一定，差越小，積越大”，所以當(dāng)與的差為0

39、，即與相等時(shí)它們的積最大，此時(shí)長(zhǎng)方形的面積也最大，所以此時(shí)三角形面積最小當(dāng)與相等時(shí)，此時(shí)三角形的面積為：(也可根據(jù)得到三角形的面積)【例 49】 (2007首屆全國(guó)資優(yōu)生思維能力測(cè)試)是邊長(zhǎng)為12的正方形，如圖所示，是內(nèi)部任意一點(diǎn)，、，那么陰影部分的面積是 【解析】 （法1）特殊點(diǎn)法由于是內(nèi)部任意一點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合(如上中圖)，那么陰影部分就是和而的面積為，的面積為，所以陰影部分的面積為（法2）尋找可以利用的條件，連接、可得右上圖所示： 則有: 同理可得：; 而,即； 同理：,; 所以： 而； ； 所以陰影部分的面積是： 即為：【例 50】 如圖所示，在四邊形中，分別是各邊的中點(diǎn)，求陰影部

40、分與四邊形的面積之比 【解析】 (法1)設(shè)，連接知，；所以；同理于是；注意到這四個(gè)三角形重合的部分是四塊陰影小三角形，沒(méi)算的部分是四邊形；因此四塊陰影的面積和就等于四邊形的面積(法2)特殊值法(只用于填空題、選擇題)，將四邊形畫(huà)成正方形，很容易得到結(jié)果【鞏固】(2008年”希望杯”二試六年級(jí))如圖，、分別是四邊形各邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，、及分別表示四個(gè)小四邊形的面積試比較與的大小 【解析】 如右圖，連接、，則可判斷出，每條邊與點(diǎn)所構(gòu)成的三角形都被分為面積相等的兩部分，且每個(gè)三角形中的兩部分都分屬于、這兩個(gè)不同的組合，所以可知【例 51】 如圖，四邊形中，已知四邊形的面積等于4，則四邊形的面積 【解析】 運(yùn)用三角形面積與底和高的關(guān)系解題連接、，因?yàn)?，所以，在中，在中，在中，在中，因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以【拓展】如圖，對(duì)于任意四邊形，通過(guò)各邊三等分點(diǎn)的相應(yīng)連線，得到中間四邊形，求四邊形的面積是四邊形的幾分之幾？【解析】 分層次來(lái)考慮：如下左圖，所以又因?yàn)?，所以?如右上圖，已知，；所以；所以，即是三等分點(diǎn)；同理，可知、都是三等分點(diǎn)；所以再次應(yīng)用的結(jié)論，可知，【例 52】 (2008年日本小學(xué)算數(shù)奧林匹克大賽決賽)有正三角形，在邊、的正中間分別取點(diǎn)、，在邊、上分別取點(diǎn)、，使，當(dāng)和、和、和的相交點(diǎn)分別是、時(shí)，使這時(shí)，三角形的面積是三角形的面積的幾分之幾？請(qǐng)寫(xiě)出思考過(guò)程【解析】 連接、，顯