無窮積分斂散性判別法

1、無窮積分斂散性的判別法 鄭漢彬摘 要：無窮積分的基本問題就是斂散性的判別問題,是求解無窮積分近似值的個先決條件。由于判別方法比較多,學生不易掌握,從而是數(shù)學分析的一個難點,也一直是一個重要的研究課題。本文就一些常見和不常見的判定方法做一個歸納,這樣將有助于我們靈活地運用各種判別法判定無窮積分的斂散性。關鍵詞：無窮積分；瑕積分；收斂性；判別法無窮積分的基本問題就是斂散性的判別問題,是求解無窮積分近似值的一個先決條件。由于判斷方法比較多,不易掌握,從而是數(shù)學分析和高等數(shù)學的一個難點。最原始的判別方法是對積分區(qū)間無窮型的反常積分先將積分限視為有限的積分區(qū)間,按常義積分處理,待積分求出原函數(shù)后再考查其

2、極限是否存在,再用極限去判定原積分是否收斂。本文以文獻中相關定理為基礎,并對相關的文獻資料中給出的無窮積分斂散性判定方法的相關理論進行總結及一定的改進和補充,使之能夠更廣泛地應用于無窮積分斂散性判定中,對比了各種類型的無窮積分斂散性判定方法的應用以及在應用過程中應注意的一些巧妙方法,不僅使這些原本復雜的問題簡單化,而且可避免出現(xiàn)錯誤。1 無窮積分的斂散性定義1 設函數(shù)在上有定義,且對在上可積,當 存在,稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的無窮限反常積分(簡稱無窮積分),記為 這時稱積分是收斂的.如果上述極限不存在,為方便起見,并稱無窮積分發(fā)散.2 無窮積分斂散性的判別法如何判斷一個無窮積分的斂散性,這是無

3、窮積分理論的重要內(nèi)容之一。對此,我們首先建立一個收斂準則,然后再介紹幾種常有的斂散性判別法。2.1 柯西收斂準則因為無窮積分的收斂問題即是極限的存在問題,所以由極限的柯西收斂準則立刻可以得到無窮積分的收斂準則。定理1 無窮積分收斂的充分必要條件是對任何,都存在,使當時,有一般來說,利用柯西收斂準則判斷一個無窮積分的收斂性,其難度是比較大的。實踐證明,在不少情況下,將所給的無窮積分與一個已知其斂散性的無窮積分相比較,可以有效地確定該無窮積分的斂散性。我們可以給出下面的比較判別法。2.2 比較判別法定理2 設定義在上的函數(shù)f和g都在任何有限區(qū)間a,u上可積,滿足 則當收斂時必收斂；當發(fā)散時, 必發(fā)

4、散.比較判別法是一種非常重要和常見的無窮積分斂散性判別法,在很多情況中都會用到,常常會收到比較明顯的效果。上面介紹的是比較判別法的一般形式,比較判別法也有極限形式。2.3柯西判別法定理3 設定義于,且在任何有限區(qū)間上可積,則有(i) 當且時收斂；(ii) 當且時發(fā)散. 當無窮積分收斂,但無窮積分不收斂,稱無窮積分為條件收斂。上面介紹的比較判別法和柯西判別法都只能判定無窮積分的絕對收斂性,對于條件收斂的判定則是無能為力的。下面再介紹兩種適用范圍更廣的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。2.4 狄利克雷判別法定理4 若在上有界,在上當時單調(diào)趨于0,則收斂.2.5阿貝爾判別法定理5 若收斂,在上單調(diào)有界,

5、則收斂. 上面介紹的柯西收斂準則,比較判別法,柯西判別法,狄利克雷判別法,阿貝爾判別法是最常用的五種判別無窮積分斂散性方法,我們必須熟練和準確地掌握這幾種判別方法。下面介紹幾種不常見的對數(shù)判別法,比值判別法等判別方法,對我們學習和研究無窮積分的斂散性也有所幫助。2.6 對數(shù)判別法定理6 設在上恒正可積,且 (i)當時,無窮積分收斂,(ii)當時,無窮積分發(fā)散.注1 我們在利用對數(shù)判別法討論無窮積分的斂散性時,被積函數(shù)必須是恒的。當時,無窮積分的斂散性無法確定。我們必須利用別的判定方法對其進一步判定。2.7 比值判別法 正項級數(shù)的斂散性判別法很多,例如比值判別法,根值判別法,拉貝判別法等,但非負

6、函數(shù)無窮積分的斂散性判別法卻不多,正項級數(shù)與非負函數(shù)無窮積分本有相似之處,我們可以建立非負函數(shù)無窮積分,其斂散性與正項級數(shù)斂散性判別法相似,于是我們得到無窮積分的比值判別法。定理7 設有在上可積,且 則當時無窮積分收斂,當時無窮積分發(fā)散. 上面得出了無窮積分的比值判別法,我們同理也可得出無窮積分的根值判別法：設有在上可積,若 則當時無窮積分收斂,當時無窮積分發(fā)散.2.8 求導極限判別法定理8 設函數(shù)在上可導,且,若 , 則,當時, 收斂； 當時, 發(fā)散； 當時, 斂散性不確定. 以上對數(shù)判別法,比值判別法和求導極限判別法都有被積函數(shù)非負這一約束條件, 當上式的比值時,無窮積分的斂散性都不確定,

7、都要求我們作進一步的討論。在很多情況下,這三種方法是可以相互通用的。2.9 極限審斂法的等價定理我們將無窮積分運用無窮小和無窮大比較的方法進行比較,可得到了相應無窮積分斂散性極限審斂法的等價定理,從而可運用等價定理靈活地判斷無窮積分的斂散性。定理9 設在上連續(xù),且.(i)如果存在在常數(shù),即有界,則收斂；(ii)如果是的同階或低階無窮小,則發(fā)散.3 判別法的應用例1 求證反常積分收斂,其中被積函數(shù)在的值定義為1.證明 對任何,按分部積分公式有 從而有 對于任給的,取,于是當時,就有 由柯西收斂準則知反常積分收斂.例2 證明反常積分是收斂的.證明 因為=+所以只須證明收斂即可.記則對任意, 在上單

8、調(diào)遞減,并且.由狄利克雷判別法可知無窮積分收斂.例3 討論的斂散性.解 因為所以由比值判別法知：當時,積分收斂；當時,積分發(fā)散；當時, .由拉貝判別法知發(fā)散.綜上所述,當時,積分收斂； 當時,積分發(fā)散.4 結束語無窮積分涉及到一個所謂收斂性問題，關于無窮積分斂散性的判定,在目前的文獻中有不少的介紹,本文就一些常見的判定方法和不常見的判定方法做了一個歸納，并列舉了相關例題，這樣將有助于我們靈活地運用各種判別方法判斷無窮積分的斂散性。參考文獻： 1 陳紀修， 於崇華， 金路. 華東師范大學數(shù)學系數(shù)學分析(上冊，第三版) M. 北京FF1A 高等教育出版社， 1999.2 錢吉林. 數(shù)學分析題集精粹

9、M. 武漢：崇文書店， 2003 . 3 斐禮文. 數(shù)學分析中的典型問題與方法M. 北京：高等教育出版社， 2006.4 唐國吉.無窮積分與瑕積分的一個關系J. 廣西民族學院學報,2002, 23 (3)：39-40. 5 何憶捷. 對一類反常積分收斂判別題的研究J. 高等數(shù)學研究， 2005，8(6)：29-30.Detemination methods of convergence and divergenceof Infinite Integral ZHENG Han-binAbstract:the fundamental problem of the infinite integral

10、 is determination problem of convergence and divergence, which is a prerequisite of solving infinite integrals approximation.As determination methods are many and are difficult for students to master, infinite integral is a difficulty of mathematical analysis, which has also been an important research topic. In this paper, some common and uncommon methods of determining infinite integral are given an inductive, and are also given some typical examples, which would help us flexibility to use all k