曲面積分與高斯公式

1、泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教案 數(shù)值分析 教研室 課程名稱高等數(shù)學(xué)研究授課對象授課題目 第十四講曲面積分與高斯公式課時數(shù)4教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握兩類曲面積分的來源、定義、性質(zhì)和計算方法，重點掌握高斯公式及曲面積分與路徑無關(guān)的條件重點難點1重點兩類曲面積分的計算方法；2難點高斯公式及補面法。教學(xué)提綱第十四講曲面積分與高斯公式1.第一類曲面積分(1)問題的提出， 第一類曲面積分與曲面的方向(側(cè))無關(guān)(2)第一類曲面積分的計算-代入法2. 第二類曲面積分(1)問題的提出:第二類曲面積分與方向(側(cè))有關(guān)，改變方向，積分變號(2)計算-代入法 (3)高斯公式 補面法 (4)曲面積分與積分路徑無關(guān)問題

2、(5)奇點的處理方法。教學(xué)過程與內(nèi)容教學(xué)后記第十四講曲面積分與高斯公式一、.第一類曲面積分1問題的提出設(shè)有一塊光滑的金屬曲面S 。它的密度是不均勻的。在其點(x,y,z)處密度為f（x,y,z），并設(shè)f在S上連續(xù),則金屬曲面S的質(zhì)量M說明: 第一類曲面積分與曲面的方向(側(cè))無關(guān)2第一類曲面積分的計算(代入法)設(shè)S 是一個光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) ,當(dāng) f1時可得空間曲面面積的計算公式，即例1：I=,S是半球面（）?！窘狻? , =例2：為橢球面S:的動點，若S在處的切平面與面垂直。（） 求點的軌跡；（） 計算，其中為橢球面位于上方的部分。二、 第二類曲面積分1問題的提出磁通量問

3、題。表示【說明】第二類曲面積分與方向(側(cè))有關(guān)，改變方向，積分變號2第二類曲面積分計算(代入法) 用代入法計算時,一般應(yīng)分成三個計算: （如果曲面積分取的上側(cè)取號，如果曲面積分取的下側(cè)取-號）.類似有（如果曲面積分取的前側(cè)取號，如果曲面積分取的后側(cè)取-號）。（如果曲面積分取的右側(cè)取號，如果曲面積分取的左側(cè)取-號）.例3:計算曲面積分，其中是圓面 下側(cè)?！痉治觥?由于在上， ，所以【點評】本題展示的化簡積分的方法是非常重要的。例4:計算曲面積分，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面及之間的下側(cè)【分析】 可直接代公式計算, 而需要分成前后兩部分分別計算.【解】（略）3高斯公式設(shè) D 是R內(nèi)的一個有界閉區(qū)域，其

4、邊界由光滑曲面或逐片光滑曲面組成，方向是外側(cè)（相對于區(qū)域D而言）。又設(shè)函數(shù)P，Q，R都在D內(nèi)關(guān)于 x,y,z有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列高斯公式成立： 由Gauss公式可計算某些空間立體積分 V= 例5： 計算, 式中S為球面的內(nèi)側(cè)【解】 由高斯公式 知 =例6：計算曲面積分 其中為曲面的上側(cè)。【分析】（補面法）本題曲面不封閉，可考慮先添加一平面域使其封閉，在封閉曲面所圍成的區(qū)域內(nèi)用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可?！窘狻?補充曲面：，取下側(cè). 則 =其中為與所為成的空間區(qū)域，D為平面區(qū)域. 由于區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，因此. 又=其中.【評注】 （1）注意在計算過程中盡量利用對稱性進(jìn)行簡化。本題

5、也可通過直接投影進(jìn)行計算，但計算過程比較復(fù)雜。（2）本題中的三重積分計算用“先二后一”法，若用“先一后二”法計算量是大的例7：計算外側(cè)。 【分析】該題，它們在S所包圍的區(qū)域內(nèi)不連續(xù)(在原點沒定義，偏導(dǎo)數(shù)不存在)，所以不能用高斯公式。【解】 由積分表達(dá)式及S的對稱性知所以記上半球（上側(cè)）為S上，記下半球（下側(cè)）為S下 =2所以 4.曲面積分與積分路徑無關(guān)問題設(shè)是空間二維單連通區(qū)域，函數(shù)、在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲面積分在內(nèi)與所取曲面無關(guān)而只取決于的邊界曲面(或沿內(nèi)任一閉曲面的曲面積分為零)的充分必要條件是等式在內(nèi)恒在成立。例8：設(shè)對于半空間x>0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S，都有 ，其中在（，）內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求【解】 由于對于半空間x>0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S，都有 ，所以即解得5.奇點的處理方法定理：設(shè)函數(shù)、在在空間坐標(biāo)系上除了點外都有，則對任意分段光滑閉曲面，是一個定值。例9：計算曲面積分其中是曲面的外側(cè)?！窘狻?在在空間坐標(biāo)系上除了點原點外都有 則對任意分段光滑閉