最佳保溫層厚度

1、B題：最佳保溫層厚度摘 要目前，城市居民樓很多都是簡單的平屋頂，房屋建設過程當中加入保溫層確保室內溫度盡可能的不受室外的影響。居民樓的節(jié)能性的發(fā)展和新型保溫材料的使用成為設計者考慮的必要因素,因此保溫材料的選擇及保溫層的厚度,日益成為目前建筑節(jié)能的重要課題。為了既要滿足室內有比較適宜的溫度（16度24度），又不造成資源的浪費這兩個目的，我們采用了多目標優(yōu)化的模型求解出最佳的保溫層厚度；又在材料的選擇過程中采用了模糊綜合評價法，選取性價比最高的材料。 在問題1中，對于珍珠巖保溫層厚度確定，我們應用熱力學導熱學學科中的傅里葉定律，求出有無保溫層時的熱流密度之比與保溫層厚度的函數(shù)關系。隨著保溫層厚度

2、的增加，保溫層的隔熱效率也相應增加。要達到保溫效果，實際所花費用為建筑材料費用和室內調溫費用之和，且室內調溫費用跟熱流密度有關。為了達到舒適和節(jié)約的要求，我們建立了多目標規(guī)化模型，并求解得出最佳保溫層厚度為11.2cm，此時保溫層的隔熱效率達到80%。在問題2中僅考慮導熱系數(shù)時，同問題1進行相應的分析，得各種保溫材料的隔熱能力均隨厚度增加而減小，且在厚度相同時，聚氨硬脂板的隔熱能力最強。若考慮導熱系數(shù)和價格兩種因素，依據(jù)模糊綜合評價法確定各指標在保溫材料選擇中所占權重，對其進行量化處理，然后再對每個指標分別運算，給出相應的材料性能評價，又對各因素整合選擇出最好的保溫材料仍為聚氨硬脂板，通過費用

3、關系計算其厚度為10.4cm，此時隔熱效率為89%。關鍵詞：保溫層 傅立葉定律 隔熱效率 多目標規(guī)劃 模糊評價 一、問題的提出目前，城市居民樓很多都是簡單的平頂屋，假設屋頂由里向外的結構是0.1（cm）涂料，1.5（cm）水泥砂漿，20（cm）樓板，2（cm）水泥砂漿，珍珠巖保溫層，2（cm）水泥砂漿，1（cm）三氈四油防水材料。北方地區(qū)這樣的屋頂，夏季太陽日照下的表面溫度最高可以達到攝氏75度，冬季為攝氏零下40度。為了保持室內有較好的舒適溫度，又不造成浪費，1）保溫層厚度應該為多厚。2）如果更換保溫層成其它保溫材料，哪種材料最好，并計算其厚度。二、問題的分析在外墻和屋面等圍護結構中設置保溫

4、層以提高外圍護結構熱阻，是改善我國目前嚴寒和嚴寒地區(qū)居住建筑采暖能耗大、熱環(huán)境差等狀況重要的有效的措施。在保溫材料確定的情況下，保溫層厚度是決定建筑保溫水平的重要參數(shù)。一般隨著保溫層厚度的增加，圍護結構的絕熱性能提高，從而降低建筑負荷，采暖設備造價和采暖系統(tǒng)運行費用也相應降低；但同時，圍護結構的建造費用也相應增加，因此，一定存在某一特定的保溫層厚度，使建筑物總費用最小。保溫層經(jīng)濟厚度的合理計算可以防止因根據(jù)經(jīng)驗選擇保溫層厚度所造成的綜合效益損失，因此，研究保溫層厚度的計算方法對建筑節(jié)能具有重要的現(xiàn)實意義。建筑物與外界進行熱量交換主要通過傳導和對流兩種途徑，一般情況下，密閉性較好的建筑物可忽略對

5、流對其的影響。在夏天時，屋頂上層溫度要高于下層，熱量向室內擴散，且溫度逐漸遞減，要使室內溫度維持在一定的舒適溫度范圍內，就需利用空調等制冷裝置進行散熱。而在冬天，室外溫度比室內要低，熱量往室外擴散，需要暖氣對屋內進行供暖從而達到所需要的舒適溫度。若保溫層材料未確定，則需綜合考慮經(jīng)濟方面及其保溫性能等多種方面的因素，可采用模糊綜合評價法來確定各指標的權系數(shù)，使其更有合理性，更符合客觀實際并易于定量表示，從而提高各種材料綜合評判結果的準確性。三、問題的假設1）熱量的傳播過程只有傳導，沒有對流。即建筑物的密閉性能很好，室內與室外的空氣是不流通的。2）室內溫度和室外溫度在某一時間段內保持不變，熱傳導過

6、程處于穩(wěn)定狀態(tài)。即沿熱傳導方向，單位時間通過單位面積的熱量是常數(shù)。3）屋頂各層材料之間層次分明，同一層次厚度均勻，且各種材料的導熱系數(shù)不隨溫度的變化而變化，為一恒定常量。4）建筑物僅通過屋頂與外界進行熱量交換，建筑物側面及地面的影響忽略不計。且冬季燃煤取暖，夏季用空調制冷，其中煤的利用率為100。5）涂料的隔熱效果可以忽略，即涂料上層和下層的溫度相同。四、符號的約定Q熱流密度Q1有保溫層時的熱流密度Q2無保溫層時的熱流密度夏季屋頂?shù)钠骄鶡崃髅芏榷疚蓓數(shù)钠骄鶡崃髅芏萒均勻介質兩側的溫度差Ti第i層上側的溫度（i1，2，6）T7建筑物室內溫度di第i層厚度（i1，2，6）ki第i層導熱系數(shù)（i1

7、，2，6）W1保溫材料的費用W2室內調溫的費用W21夏季制冷費用W22冬季供暖費用市場上珍珠巖的單位體積的平均售價L1每度電的電價L2單位千克的煤的價格空調制冷對屋頂?shù)臒崃髁康呢暙I效率每個季節(jié)的時間長度q單位千克煤產(chǎn)生的熱量供給屋頂傳熱的熱量W建造屋頂及其后續(xù)調溫總費用 i1，2，6：表示屋頂由外向內依次為三氈四油防水材料、水泥砂漿、保溫層、水泥砂漿、樓板水泥、砂漿五、模型的建立與求解5.1問題1：珍珠巖保溫層厚度的確定5.1.1 保溫層隔熱效率與厚度的關系模型在上述假設下熱傳導過程遵從熱力學中的傅里葉定律1：厚度為d的均勻介質，兩側溫度差為T，則單位時間由溫度高的一側向溫度低的一側通過單位面

8、積的熱量Q與T成正比，與d成反比，即 （1）k為熱傳導系數(shù)按室內空氣質量標準規(guī)定可知，使人體感到舒適的室內溫度為1624度。冬季時室內溫度高于室外，屋頂向外散熱，為使室內溫度保持相對穩(wěn)定，需對室內進行供熱，為了使取暖費用盡可能低，可使室內溫度保持在16度。而在夏季，室外溫度高于室內，外部的熱量會進入室內而使室內溫度升高，要維持穩(wěn)定的舒適溫度，就需向外進行散熱，考慮到經(jīng)濟性，可使夏季溫度穩(wěn)定在24度。建筑物與外界的熱量傳導過程如圖1所示，屋頂屋頂各層厚度及各層間的溫度示意圖如圖2所示。夏季冬季圖1 建筑物與外界的熱量交換示意圖T7T4T3T2水泥砂漿d6樓板d5珍珠巖保溫層d3水泥砂漿d4水泥砂

9、漿d2三氈四油防水材料d1T1T6T5圖2 屋頂各層厚度及各層間的溫度室外室內夏季時，室外溫度高于室內，熱量傳入室內，溫度由外向內逐層遞減。由于屋頂各層散熱量相同。故通過（1）式可知熱流密度為 （2）從（2）式中消去可得 （3）若屋頂沒有保溫層，可得如下方程組 （4）容易求得無保溫層時的熱流密度為 （5）由（3），（5）兩式之比，得： （6）由（5）式可知，有無保溫層時的熱流密度之比與溫度大小無關，Q1/Q2是以保溫層厚度d3為自變量的一個函數(shù)。通過查閱資料，我們可以得出各層材料的導熱系數(shù)值見表1，表1 各層材料的導熱系數(shù)表水泥砂漿樓板珍珠巖三氈四油導熱系數(shù)（W/m.K）0.930.7060.

10、070.170代入（6）式并化簡得 （7）用matlab軟件2繪圖得到Q1/Q2與保溫層厚度d3的關系如圖3。圖3 珍珠巖保溫層隔熱效率圖由圖3不難看出，有無保溫層的散熱量之比Q1/Q2隨保溫層厚度d3的增加而減小，且d3越大，散熱量之比Q1/Q2的變化趨勢越平緩。因此可得保溫層厚度與隔熱效率的關系列表如下：表2 保溫層厚度與隔熱效率的關系表厚度（cm）0510152025隔熱效率06478848890考慮到建筑物的承重能力等多種因素，保溫層的厚度不宜過大，故可取保溫層厚度在10cm15cm之間，此時的隔熱效率為7884。5.1.2 保溫費用問題 為了確定保溫層的厚度使室內保持有較好的舒適溫度

11、（16度24度），又不造成資源的浪費，就是要減小熱流量和節(jié)省材料W1和室內調溫的費用W2。我們設耗費材料的費用為W1，顯然W1使關于保溫層厚度d3的函數(shù)。由市場上銷售的珍珠巖保溫層以單位體積來計算，因此W1的函數(shù)表達式可以表示為： （8）為市場上珍珠巖的單位體積的平均售價。 保溫層的厚度對房頂?shù)臒崃髅芏犬a(chǎn)生很大影響，因此在夏季和冬季對室內的溫度也產(chǎn)生很大的影響，為了保持室內的溫度對人體比較適宜，那么必須在夏季采用降溫措施，而在冬季采用升溫的措施。而夏季一般采用空調調節(jié)室內氣溫，而冬季以煤的燃燒來獲取熱量。因此費用轉化為夏季空調調節(jié)時產(chǎn)生的費用W21和冬季燃煤產(chǎn)生的熱量的費用W22。夏季調溫費用

12、跟屋頂?shù)臒崃髅芏仁浅烧鹊?，屋頂熱流密度越大空調的調溫功率越大，因此調溫費用越高。我們假設夏季屋頂表面溫度的平均值為30度左右，室內溫度保持在24度左右。在這兩個溫度差條件下，屋頂?shù)钠骄鶡崃髅芏?（9）因此，每年夏季空調的調溫費用為 （10）其中L1為每度電的電價，通常為0.52元/度，為空調制冷對屋頂?shù)臒崃髁康呢暙I效率，不妨設定為80，為夏季的時間長度。 冬季的供暖費用同樣也跟屋頂?shù)臒崃髅芏仁浅烧鹊?，屋頂熱流密度越大供暖的熱量會消耗更過，供暖費用越高。同樣我們假設冬季的室外平均溫度為零下12度左右，室內平均溫度為16度左右。同理得冬季珍珠巖保溫層的平均熱流密度 ， （11）因此冬季供暖的費

13、用為 （12）其中L1為單位千克的煤的價格，為1元/千克，q為單位千克煤產(chǎn)生的熱量供給屋頂傳熱的熱量，為冬季的時間長度。每年調溫的總費用為 （13）對于珍珠巖保溫層而言有20年左右的使用壽命，所以調溫費用該為20年內的調溫費用的總和。綜上所述，建立屋頂及其后續(xù)調溫總費用為 （14）5.1.3 多目標規(guī)化確定保溫層厚度決策要求既要保持室內有較好的舒適溫度又要不造成浪費，也就是說要在夏季和冬季室外屋頂表面的溫度分別達到極限時，室內溫度還得滿足在舒適的溫度范圍之內；建設屋頂費用和后續(xù)調溫的總費用達到盡可能的低。這兩個目標分別要達到自己的最優(yōu)。顯然保持室內的溫度為適宜溫度為第一級目標條件，總費用盡可能

14、地低為第二級目標條件。設兩者之間的權重比5。因此我們建立起多目標優(yōu)化模型3。對于夏季和冬季而言我們設在室外溫度達到極限（即75度和-40度）時，為了保持室內比較適宜的溫度屋頂?shù)臒崃髅芏鹊钠谕捣謩e是厚度為15cm的熱流密度（即隔熱效率達到84%左右），分別為和。在20年內費用的期望值也為珍珠巖厚度為15cm時的費用，記為。分別給熱流密度和費用一個正偏差和一個負偏差，其中這兩個偏差都是大于等于零。目標函數(shù)加一個負偏差減去正偏差盡可能的等于期望值。建立的數(shù)學模型如下：s.t. (15)而對于同一塊珍珠巖保溫層而言，要盡量滿足溫差最大時，屋頂中的熱流密度達到盡量的小。即要滿足和的取值都為兩者最大的那

15、個，而顯然上式中的，所以；因此上式可以表示為;s.t. （16）通過lingo軟件編程求解上式（程序見附錄1），得m，即珍珠巖保溫層的厚度為11.2cm時，可保持室內有較好的舒適溫度，且又不造成浪費。此時的隔熱效率為80%，滿足題目的要求。5.2 問題2：更換其它保溫材料及其厚度的確定若更換為其它保溫材料，其余各層同問題1，可建立數(shù)學模型如下 （17）查閱資料不難得出常用其它保溫材料及其導熱系數(shù)如表3表3 保溫材料導熱系數(shù)表玻璃棉板聚氨硬脂板聚乙烯泡沫導熱系數(shù)（W/m.K）0.050.0330.047代入數(shù)據(jù)并化簡可得各保溫材料與其厚度的函數(shù)關系式如下玻璃棉板 （18）聚氨硬脂板 （19）聚乙

16、烯泡沫 （20）用matlab軟件繪圖可得四種保溫材料隔熱效率與保溫層厚度的關系圖如下：圖4 各種保溫材料的隔熱效率圖若僅考慮材料的導熱系數(shù)，則由圖4可以看出，各種保溫材料的隔熱能力均隨厚度增加而減小，且在厚度相同時，聚氨硬脂板的隔熱能力最強。若其厚度為5cm時，有聚氨硬脂板保溫層的建筑物隔熱量為無保溫層時的79。若其厚度增加到10cm時，隔熱效率可達88，明顯高于同厚度珍珠巖保溫層的隔熱效率。在實際選擇保溫材料時，除了要考慮不同材料的導熱系數(shù)外，往往還要考慮其單位體積的價格等其它因素。各種材料的導熱系數(shù)及價格列表如下：表4 導熱系數(shù)及價格列表材料名稱導熱系數(shù)（W/m.K）單價（）玻璃棉板0.

17、05260聚氨硬脂板0.033280聚乙烯泡沫0.047320珍珠巖0.07615可用模糊綜合評價法3對其進行評判：1）對導熱系數(shù)進行評判：由于導熱系數(shù)越高，保溫能力越低，故可對四種保溫材料的導熱系數(shù)的倒數(shù)進行歸一化處理，得到其評價結果為（0.233，0.353，0.248，0.166）。2）對單價進行評判：由于單價越高，實際利用價值越低，同樣對各單價的倒數(shù)進行歸一化處理，得到其評價結果為（0.316，0.293，0.257，0.144）。故其模糊評判矩陣為 3)確定權系數(shù)向量。一般情況下，對保溫材料的選擇主要要求是同樣厚度時保溫能力盡可能好，即導熱系數(shù)越小越好，而對價格多少的要求相對要低一些

18、，可設兩個指標的權系數(shù)向量為A0.7,0.3，于是可求得對各保溫材料的綜合評判結果為 =0.258,0.335,0.251,0.1594)歸一化處理。0.258+0.335+0.251+0.1591.003，再用1.003除各項，得0.257,0.334,0.250,0.159，即為對保溫材料的最終評判結果。由模糊綜合評價法可知，如果更換保溫層成其它保溫材料，聚氨硬脂板為最佳材料。同問題1，可建立如下的數(shù)學模型：s.t. （21）用lingo求解（見附錄2）可得m，即聚氨硬脂板的厚度為10.4cm,此時保溫層的隔熱效率為89%。六、進一步討論在上述問題中，我們是通過夏季最高溫度攝氏75度和冬季

19、最低溫度攝氏零下40度兩個極值點來確定保溫層的厚度，但在一年中，極值點溫度出現(xiàn)得天數(shù)很少，大部分時間的屋頂溫度都在兩者之間，這時就需要利用平均溫度來確定實際花費的費用。不過因為在這兩個極值點時都保溫效果都滿足居住舒適度的話，其它條件都會滿足的。在計算過程中，我們還忽略了許多其它的因素，例如通風，還有墻壁和地面的導熱。對于夏季，北方的鄉(xiāng)村地區(qū)因為綠化條件好，氣候調節(jié)正常，因此可以不用降溫電器或設備，但是在某些城市地區(qū)，因為大自然的氣候調節(jié)效果沒有鄉(xiāng)村地區(qū)明顯，且存在熱島效應，因而一般會用降溫電器或設備。而在冬季，無論鄉(xiāng)村和城市，都少不了暖氣設備。從節(jié)能角度講，無論是為了夏天減少降溫費用，冬天降低

20、取暖費用，都是減少透過屋頂、墻壁和地板的熱流量。目前，計算保溫層經(jīng)濟厚度的方法有很多種，包括采暖年平均最小費用法、Lagrange乘子法、生命周期耗費分析法等。由實際情況可知，保溫層經(jīng)濟厚度的影響因素很多，假如其數(shù)學模型復雜、參數(shù)眾多且不易確定，往往會造成使用不便，最終仍然流于經(jīng)驗判定。因此，應探尋比較接近客觀現(xiàn)實，又易于計算的方法。采用生命周期耗費分析法對建筑物總耗費進行經(jīng)濟分析，是國外使用較多的一種方法，對于我國也具有一定的參考價值。七、模型的評價與推廣7.1模型的優(yōu)缺點分析7.1 .1模型的優(yōu)點（1）模型建立過程中忽略了一些不必要的因素，從而使模型簡潔明了，更容易進行定性分析和定量計算。

21、（2）利用數(shù)學工具，通過lingo和matlab編程的方法，嚴格地對模型求解，具有科學性。（3）本文建立的模型與實際緊密聯(lián)系，充分考慮現(xiàn)實情況的多樣性，從而使模型更貼近實際，模型求解簡便，有較好的應用前景和推廣價值7.1.2模型的缺點（1）模型建立過程中忽略了室內和室外的熱對流的影響，而且未考慮墻壁及地面對室內溫度的影響，精確度較低。（2）實際生活中，保溫材料的導熱系數(shù)隨溫度的變化也會發(fā)生相應的變化，在該問題中忽略了這些因素的影響。費用的計算是一個取估算平均值，對模型結果的準確性有一定影響。7.2模型的推廣 通過分析該數(shù)學模型，它不僅適用于建筑物屋頂保溫層建造，還可應用于門窗結構，恒溫庫以及其

22、它減震結構的設計，具有廣泛的應用推廣價值。參考文獻1 姜啟源等數(shù)學模型北京：高等教育出版社，20032 周品等MATLAB數(shù)學建模與仿真北京：國防工業(yè)出版社，20093 張杰等運籌學模型與實驗.北京：中國電力出版社，2007附錄附錄1 多目標規(guī)劃求解珍珠巖保溫層的lingo程序min=5*(y1+y2)+y3;3.57/(0.028+d)+x1-y1=28;3.92/(0.028+d)+x2-y2=28;615*d+20*1.110256/(0.028+d)+x3-y3=315;x1>=0;y1>=0;x2>=0;y2>=0;x3>=0;y3>=0;結果 L

23、ocal optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 0.000000 Variable Value Reduced Cost Y1 0.000000 0.000000 Y2 0.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 D 0.1120000 0.000000 X1 2.500000 0.000000 X2 0.000000 0.000000 X3 87.51200 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000 2 -0.3677278E-07 0.000000 3 -0.4037818E-07 0.000000 4 -0.2287244E-06 0.000000 5 2.500000 0.000000 6 0.000000 -