極限的求解方法

1、求函數(shù)極限的方法和技巧1、運用極限的定義2、利用極限的四則運算性質(zhì)若 (I) (II)(III)若 B0 則： （IV） （c為常數(shù)）上述性質(zhì)對于3、約去零因式（此法適用于）例: 求解:原式= = =4、通分法（適用于型）例: 求 解: 原式= 5、利用無窮小量性質(zhì)法（特別是利用無窮小量與有界量之乘積仍為無窮小量的性質(zhì)）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x) 滿足：（I）(II) (M為正整數(shù))則：例: 求 解: 由 而 故 原式 =6、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系。 （I）若： 則 (II) 若: 且 f(x)0 則 例: 求下列極限 解: 由 故 由 故 =7、等價無窮小代換法 設(shè) 都是同一極限過程中的

2、無窮小量，且有： ， 存在，則 也存在，且有= 例:求極限 解: =注： 在利用等價無窮小做代換時，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時可以互換，若以和、差出現(xiàn)時，不要輕易代換，因為此時經(jīng)過代換后，往往改變了它的無窮小量之比的“階數(shù)”8、利用兩個重要的極限。 但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：例：求下列函數(shù)極限 9、利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點處的極限）。例：求下列函數(shù)的極限 （2） 10、變量替換法（適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類型）特別地有： m、n、k、l 為正整數(shù)。例：求下列函數(shù)極限 、n 解: 令 t= 則當(dāng) 時 ,于是原式=由于=令： 則 = =11、 利用函數(shù)極限的存在性定理

3、定理: 設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: 則極限 存在, 且有 例: 求 (a>1,n>0)解: 當(dāng) x1 時,存在唯一的正整數(shù)k,使 k xk+1于是當(dāng) n>0 時有: 及 又 當(dāng)x時,k 有 及 =012、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點處的極限，以及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是左極限及右極限都存在且都等于A。即有：=A例：設(shè)= 求及由 13、羅比塔法則（適用于未定式極限）定理：若此定理是對型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。注：運用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點：1、 要注意條件，也就是

4、說，在沒有化為時不可求導(dǎo)。2、 應(yīng)用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。3、 要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會引起錯誤。4、當(dāng) 不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求極限須用另外方法。例： 求下列函數(shù)的極限 解：令f(x)= , g(x)= l, 由于但從而運用羅比塔法則兩次后得到 由 故此例屬于型，由羅比塔法則有：14、利用泰勒公式對于求某些不定式的極限來說，應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，下列為常用的展開式：1、2、3、4、5、6、上述展開式中的符號都有:例:求解:利

5、用泰勒公式，當(dāng) 有于是 =15、利用拉格朗日中值定理定理:若函數(shù)f滿足如下條件： (I) f 在閉區(qū)間上連續(xù) (II)f 在(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)則在(a ,b)內(nèi)至少存在一點,使得此式變形可為: 例: 求 解:令 對它應(yīng)用中值定理得即: 連續(xù)從而有: 16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即若:(I)當(dāng)時，有 (II)當(dāng) 時有:若 則 若 而 則若,則分別考慮若為的s重根,即: 也為的r重根,即: 可得結(jié)論如下：例：求下列函數(shù)的極限 解: 分子，分母的最高次方相同，故 = 必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:(2)無理式的情況。雖然無理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說明有理化的方法求極限。 例：求解: 二、多種方法的綜合運用上述介紹了求解極限的基本方法，然而，每一道題目并非只有一種方法。因此我們在解題中要注意各種方法的綜合運用的技巧，使得計算大為簡化。例:求 解法一: = 注:此法采用羅比塔法則配合使用兩個重要極限法。解法二: =注：此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個重要極限法。解法三:注:此解法利用了兩個重要極限法配合使用無窮小代換法以及羅比塔法則解法四:注:此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個重要極