第08章02節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)

1、第2節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)2.1空間直角坐標(biāo)系這里“空間”指的是我們生活在的空間。如果把平面直角坐標(biāo)系放在空間中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)缺一條表示高度的坐標(biāo)軸。因此，圖2.1空間中三條有共同原點(diǎn)且兩兩互相垂直的數(shù)軸，（這三條數(shù)軸分別叫軸(橫軸)，軸(縱軸)，軸(豎軸)，且統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸）它們的正方向要符合右手規(guī)則（右手握住軸，當(dāng)右手的四個(gè)指頭從軸的正向以角度轉(zhuǎn)向軸正向時(shí)，豎起的大拇指的指向就是軸正向），構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系(圖2.1)可以把軸，軸配置在水平面上，而軸則是鉛垂線(xiàn)；也可以不這樣 取定空間直角坐標(biāo)系之后，就可以建立空間點(diǎn)與坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（1）設(shè)為空間的一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作垂直于軸，軸，軸的三個(gè)

2、平面，它們與軸，軸，軸的交點(diǎn)依次為，這三點(diǎn)在軸，軸，軸的坐標(biāo)依次為，于是：空間點(diǎn)就惟一地確定了一個(gè)有序數(shù)組，稱(chēng)為點(diǎn)的坐標(biāo)圖2.2（2）反過(guò)來(lái)，任意給定坐標(biāo)，我們可以在軸上取坐標(biāo)為的點(diǎn)，在軸上取坐標(biāo)為的點(diǎn)，在軸取坐標(biāo)為的點(diǎn)，然后過(guò)分別作軸、軸、軸的垂直平面，這三個(gè)平面的交點(diǎn)就是坐標(biāo)確定的惟一的點(diǎn) (圖2.2)這樣，通過(guò)空間直角坐標(biāo)系，我們建立了空間點(diǎn)和坐標(biāo)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系依次稱(chēng)，為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，并可將點(diǎn)記作如同由于平面點(diǎn)與坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)就有了平面解析幾何一樣，由于空間點(diǎn)與坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)就有了空間解析幾何用代數(shù)方法研究空間幾何對(duì)象。圖2.3圖2.4三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面

3、，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)面由軸與軸所決定的坐標(biāo)面稱(chēng)為面，類(lèi)似地還有面與面這三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成了八個(gè)部分，每一部分稱(chēng)為一個(gè)卦限，如圖2.3所示，八個(gè)卦限分別用羅馬字母，¼，表示第一、二、三、四卦限均在面的上方，按逆時(shí)針?lè)较虼_定，其中含有軸、軸與軸正半軸的那個(gè)卦限叫做第一卦限第五、六、七、八卦限均在面的下方，也按逆時(shí)針?lè)较虼_定，它們依次分別在第一至四卦限的下方思考題：1. 試確定空間直角坐標(biāo)系的各個(gè)卦限中點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)？題目：1.找出空間中固定點(diǎn)的坐標(biāo)；2.給定，在空間中找出以為坐標(biāo)的點(diǎn)；3.做一個(gè)表，確定空間中各部分點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)。類(lèi)似于平面解析幾何，在空間中也可以用點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算

4、兩點(diǎn)間的距離設(shè)，為空間的兩點(diǎn)，過(guò)，各作三個(gè)分別垂直于三坐標(biāo)軸的平面，這六個(gè)平面圍成一個(gè)以為對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)方體，如圖2.4所示可見(jiàn)此長(zhǎng)方體各棱的長(zhǎng)度分別是，從而得對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，亦即空間兩點(diǎn)，間的距離公式為特別地，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為 (2.1)2.2向量的坐標(biāo)表示稱(chēng)空間直角坐標(biāo)系中，沿軸正向的單位向量為坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)單位向量，分別記為由于對(duì)任意向量，總可平移使其起點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，從而存在終點(diǎn)，滿(mǎn)足.以為對(duì)角線(xiàn)作長(zhǎng)方體（圖2.5），設(shè)點(diǎn)在軸，軸，軸上的投影點(diǎn)分別為，和，有圖2.5設(shè)在軸，軸，軸上的坐標(biāo)分別為，則，因此， (2.2)我們稱(chēng)(2.2)式為向量的標(biāo)準(zhǔn)分解式，稱(chēng)為向量沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量向

5、量與它的坐標(biāo)分解式是一一對(duì)應(yīng)的顯然，給定向量，就確定了點(diǎn)及三個(gè)分向量，進(jìn)而確定了有序數(shù)組，稱(chēng)為向量的坐標(biāo)，從而確定了的標(biāo)準(zhǔn)分解式(2.2)；反之，給定坐標(biāo)，則由(2.2)式就確定了向量和的標(biāo)準(zhǔn)分解式于是，向量，標(biāo)準(zhǔn)分解式以及坐標(biāo)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：因此我們把向量，坐標(biāo)以及的標(biāo)準(zhǔn)分解式不加區(qū)別，記作空間中點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)是兩個(gè)不同的概念，符號(hào)也不一樣。點(diǎn)和它的坐標(biāo)互相聯(lián)想；向量和它的坐標(biāo)以及它的標(biāo)準(zhǔn)分解式互相聯(lián)想?？臻g任一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，稱(chēng)為點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)）的向徑由向量的坐標(biāo)的定義知向徑記號(hào)表示點(diǎn)，向量表示為當(dāng)向量的始點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)相等。有了向量的坐標(biāo)，我們就可以

6、用代數(shù)方法研究向量代數(shù)。向量代數(shù)有兩套互相平行、互相翻譯的理論：1.用空間立體幾何描述的向量代數(shù)；2.用坐標(biāo)描述的向量代數(shù)。其中用坐標(biāo)描述的向量代數(shù)是我們的重點(diǎn)、考點(diǎn)。（題目（考的）：用坐標(biāo)作向量的各種運(yùn)算。）下面我們把向量的線(xiàn)性運(yùn)算翻譯成向量用坐標(biāo)的線(xiàn)性運(yùn)算設(shè) ，即，于是，由向量加法與數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律，即， (2.4) (2.5)可見(jiàn)，兩向量相加、減就是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相加、減；數(shù)乘向量就是用乘的各坐標(biāo)思考題：2怎樣用向量的坐標(biāo)表示兩向量相等？（設(shè)，則。）3設(shè)，求向量的坐標(biāo)表示式（向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減始點(diǎn)坐標(biāo)）。三組數(shù)據(jù)，和，知其任二可算出其第三?。┫旅嫖覀儼训?節(jié)定理1.1，向量的平行條件：，

7、存在唯一實(shí)數(shù)，使得，翻譯成用坐標(biāo)表示的平行條件。的坐標(biāo)表示式為：，因此平行條件可用坐標(biāo)表示為：， (2.6)（它們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例。）(2.6)右邊不是三個(gè)相等的分?jǐn)?shù)，而是三個(gè)相等的比。比是允許分母為0的。當(dāng)某個(gè)分母是0時(shí)，應(yīng)理解為其分子也是0?！纠?.1】已知兩點(diǎn)和，有向線(xiàn)段上的點(diǎn)將它分為兩條有向線(xiàn)段和，使它們的值的比等于數(shù)()，即圖2.6，求分點(diǎn)的坐標(biāo)解因?yàn)榕c在同一直線(xiàn)上，故，解得稱(chēng)本例中的點(diǎn)為有向線(xiàn)段的定比（）分點(diǎn)特別地，當(dāng)時(shí)，可得線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為*設(shè)，由定理1.2的推論，三向量，共面的充要條件是存在不全為零的數(shù)，使得用向量的坐標(biāo)表示上述關(guān)系，即這是一個(gè)關(guān)于未知量的齊次線(xiàn)性方程組，它有

8、非零解，故此線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式為零，從而有如下定理：定理2.1 三向量，共面的充要條件是 （2.7）【例2.2】問(wèn)和四點(diǎn)是否在同一平面上?解可求得，判別四點(diǎn)是否共面，即判別是否共面.由于，根據(jù)定理2.1，共面，從而共面.2.3 向量的模，方向角圖2.7下面我們用坐標(biāo)計(jì)算向量的模.設(shè)，作，如圖2.7所示，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此向量的模: (2.8)【例2.3】已知兩點(diǎn)和，求與同方向的單位向量解，.圖2.8設(shè)非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角，即與標(biāo)準(zhǔn)單位向量的夾角分別為。由的方向確定；反過(guò)來(lái)，的方向也由支定。因此，稱(chēng)為向量的方向角（），如圖2.8所示。方向角的余弦稱(chēng)為向量的方向余弦（為什么不講方向正

9、弦？）下面我們用坐標(biāo)計(jì)算向量的方向余弦。設(shè)，分別為點(diǎn)在軸，軸，軸上的投影點(diǎn)，則在軸，軸，軸上的坐標(biāo)分別為(圖2.8)，又，于是得 (2.9)且滿(mǎn)足關(guān)系式. (2.10)【例2.4】已知，求的模與方向角.解，故的方向角為 如果，則。一次性求出三個(gè)方向余弦的方法：思考題：4當(dāng)向量的模與方向角已知時(shí)怎樣確定向量的坐標(biāo)？（。）2.4 向量的投影設(shè)數(shù)軸。過(guò)點(diǎn)作平面垂直于并交于點(diǎn)（圖2.9），則稱(chēng)為在上的投影點(diǎn)；在上的實(shí)數(shù)稱(chēng)為在上的投影. （圖2.9.1）圖2.9.1設(shè)數(shù)軸，是上的單位向量，向量與的方向和單位都一致。設(shè)向量，且。設(shè)在上的投影點(diǎn)和投影分別是；在上的投影點(diǎn)和投影分別是。則我們有圖2.9.2(1

10、) 在或上的投影(2) 在或上的投影向量（如圖2.9.2）。由于是平移不變的，在或上的投影和投影向量都是平移不變的。由此定義可知，向量的坐標(biāo)即為向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影所組成的有序數(shù)組:在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影向量分別為: 。向量的投影具有如下線(xiàn)性性：證作向量,則.且在向量上的投影為，在向量上的投影為（見(jiàn)圖2.10）。因?yàn)?，所以，即圖2.10作向量,則.且在向量上的投影為,在向量上的投影為(圖2.11)，則即圖2.11【例2.5】一向量的終點(diǎn)為，它在軸，軸，軸上的投影依此為，求這個(gè)向量的起點(diǎn)的坐標(biāo)解設(shè)這個(gè)向量的起點(diǎn)的坐標(biāo)為，則但，故，解得故點(diǎn)的坐標(biāo)為習(xí)題82A類(lèi)1在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限?2設(shè)長(zhǎng)方體的各棱與坐標(biāo)軸平行，已知長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，試寫(xiě)出余下六個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)：(1) ，； (2) ，3證明：以點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形4求點(diǎn)關(guān)于(1) 各坐標(biāo)面; (2) 各坐標(biāo)軸;(3) 坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).5過(guò)點(diǎn)分別作各坐標(biāo)面和各坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)，寫(xiě)出各垂足的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)到各坐標(biāo)面和各坐標(biāo)軸的距離.6已知兩點(diǎn)和，計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角7已知向量與各坐標(biāo)軸成相等的銳角，且，求的坐標(biāo)8設(shè)，求向量在軸上的投影以及在軸上的投影向量解 向量在軸上的投影是13，在軸上的投影向