第10章04直角坐標(biāo)系下三重積分的計算(1)

1、第4節(jié)直角坐標(biāo)系下三重積分的計算我們直接給出三重積分，的計算方法不追求它的嚴(yán)格證明，只要求同學(xué)們理解、記住、練熟下面的計算方法步驟。（參看圖4.1）(1) 將積分區(qū)域投影到面，得投影區(qū)域(2) 以的邊界曲線為準(zhǔn)線，作一個母線平行于軸的柱面柱面與閉區(qū)域的邊界曲面相交將分割為上、下兩片曲面；，且則，（二重積分里面套一個定積分。稱為二套一方法。）只要你會做里面的定積分，再會做外面的二重積分，三重積分就算出來了。（測）約定：。做里層定積分的時候，視為常數(shù)，里層定積分的結(jié)果是的函數(shù)。里層積分的上下限總是外層變量的函數(shù)。圖4.1（小邊界）（大邊界）（小邊界）（大邊界）（和的找法：，過點(diǎn)平行于軸的直線截得截

2、線（圖4.1）。）利用圖4.1的上區(qū)域，在軸上投影，的小邊界大邊界（此時積分區(qū)域表示為），我們可以進(jìn)一步把外層的二重積分寫成二次積分這樣，三重積分就變成了做三次定積分，稱為三次積分。約定：。上式是先對，后對，再對的三次積分里層積分的上下限總是外層變量的函數(shù)。做里層積分時，外層變量固定為常數(shù)。同理，如果積分區(qū)域表示為將積分區(qū)域投影到面上得投影區(qū)域。，可類似地將三重積分化為 (4.2)先對，后對（或），再對（或）的三次積分。其中，的，。 若將區(qū)域投影到面得區(qū)域，可將三重積分化為 (4.3)其中，的，。上面并沒有列舉完三重積分化為三次積分的全部可能情形。由此可看到，三重積分化為三次積分的關(guān)鍵也在于將

3、積分區(qū)域用不等式組表示出來為了避免出錯，希望同學(xué)們嚴(yán)格順序：首先把三重積分變成二套一，再把二套一變成三次積分。小技巧：如果你只熟悉“同理”前計算方法，在整個題中，改一下（比如說把改成把改成），就可變成“同理”前的計算方法。結(jié)果不變。（黑板解析）思考題：1若穿過區(qū)域且平行于對應(yīng)坐標(biāo)軸的直線與的邊界曲面的交點(diǎn)多于兩個時，如何化三重積分為三次積分？（分割。）【例4.1】將三重積分化為三次積分，其中為由曲面，及三個坐標(biāo)面所圍成的位于第一卦限的部分解畫出兩張曲面和，就得到積分區(qū)域（見圖4.2）。將區(qū)域分別向三個坐標(biāo)面投影，有三種不同的解法(1) 將區(qū)域向面投影，得，的小邊界，大邊界。區(qū)域的不等式組表示式

4、為，在軸上的投影，圖4.2 的小邊界大邊界。所以 (2) 將區(qū)域向面投影，得。的小邊界，大邊界。在軸上的投影內(nèi)，的小邊界大邊界。積分區(qū)域表示為所以(3) 將區(qū)域向面投影，得。的小邊界，大邊界有兩個表示式和（過內(nèi)的任一點(diǎn)，作平行于軸的直線穿過內(nèi)部，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)位于曲面的交線在面上的投影曲線的兩側(cè)時，過點(diǎn)的直線與區(qū)域的邊界曲面的交點(diǎn)落在不同曲面上：當(dāng)點(diǎn)時，直線上位于內(nèi)部的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足；當(dāng)點(diǎn)時，直線上位于內(nèi)部的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足。）故此時應(yīng)將劃分成兩部分，由上面的討論知，這兩部分的表示式分別為：，所以 由此題可看到，選擇適當(dāng)?shù)耐队懊妫墒狗e分計算簡便【例4.2】計算三重積分，其中由曲面，所圍成的閉區(qū)域解如圖4

5、.3所示，畫出就得到積分區(qū)域。將積分區(qū)域向面投影，得投影區(qū)域由曲線及圍成可求兩曲線的交點(diǎn)為，故可得，的小邊界大過邊界。積分區(qū)域表示為圖4.3 所以 思考題：2將上述積分區(qū)域分別向和面投影，并寫出對應(yīng)的三次積分的表示式下面介紹計算三重積分的另一方法。（1）把往軸投影得；（2）任意給定，用平面截得截面（與有關(guān)）；則 做里層二重積分時，把視為常數(shù)。此稱一套二方法。如果你會計算里層的二重積分，再會計算外層的定積分，三重積分就算出來了。約定：。類似地，（1'）把往投影得；（2'）任意給定，用平面截得截面（與有關(guān)）；則（1"）把往投影得；（2"）任意給定，用平面截得截面

6、（與有關(guān)）；則【例4.3】計算，其中是由三個坐標(biāo)面與平面圍成的閉區(qū)域解1 將積分區(qū)域向面投影（圖4.4），得，的小邊界大過邊界。區(qū)域可表示為，則有 解2因?yàn)楸环e函數(shù)，只與變量有關(guān)，而表示區(qū)域的面積，所以，我們可以用一套二方法計算往軸投影得；任意給定，用平面截區(qū)域得三角形（圖4.5）。此三角形的面積為。故圖4.4 圖4.5 方法總結(jié)：當(dāng)被積函數(shù)與（或）無關(guān)時，用先往（或）軸投影的一套二方法計算特別簡單。一般情況用二套一方法計算三重積分，只是為了簡便才用一套二方法。【例4.4】計算，其中由，圍成的閉區(qū)域解被積函數(shù)，只與變量無關(guān)，用先往軸投影的一套二方法計算。往軸投影得。任意給定，用平面截得半徑為的

7、圓（圖4.6）所以圖4.6 圖4.7 【例4.5】計算三重積分，其中由曲面，圍成的閉區(qū)域解求兩曲面的交線的投影柱面，交線的投影柱面的方程為：，如圖4.7所示，將積分區(qū)域向面投影，得投影區(qū)域?yàn)闄E圓的小邊界大邊界（圖4.7）。得 ，因?yàn)槔飳臃e分（固定為常數(shù)）的被積函數(shù)是的奇函數(shù)，而積分區(qū)間關(guān)于點(diǎn)對稱，里層積分為0，可得事實(shí)上，在此題中，因積分區(qū)域關(guān)于面是對稱的，而被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，直接可得類似于二重積分中的關(guān)于對稱性和函數(shù)的奇偶性的討論，三重積分的對稱性與函數(shù)的奇偶性有下面結(jié)論：若積分區(qū)域關(guān)于面對稱，被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，則有若積分區(qū)域關(guān)于面對稱，被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，則有，其中是區(qū)域位于面上

8、方的部分區(qū)域其余的兩種情形類似。若積分區(qū)域關(guān)于面對稱，被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，則有若積分區(qū)域關(guān)于面對稱，被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，則有，其中是區(qū)域位于面前方的部分區(qū)域若積分區(qū)域關(guān)于面對稱，被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，則有若積分區(qū)域關(guān)于面對稱，被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，則有，其中是區(qū)域位于面右方的部分區(qū)域習(xí)題10A類1化三重積分為三次積分*(1) 由，圍成；(2) 由，圍成；(3) ，圍成；(4) ，及所圍成解 （2）往面投影得圓的小邊界大邊界。所以往或面投影很復(fù)雜，略。2計算，3求，由，圍成*4求，由，及圍成5求，由，及圍成6求，由，及圍成7求，由，圍成解 被積函數(shù)與無關(guān)，用先往軸投影的一套二方法簡單。往軸投影得。任意給定，用截得圓*8計算，由，及圍成9計算，由，及圍成10利用三重積分計算曲面所圍的立體的體積(1) ，和；(2)