第23章一元二次方程（判別式根與系數(shù)）

1、第23章一元二次方程（判別式、根與系數(shù)）一、知識點歸納：1.一元二次方程根的情況：(1)當0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)當=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)當0時，方程無實數(shù)根.2、一元二次方程根與系數(shù)的關系韋達定理： 一元二次方程，如果有實數(shù)根（即），設兩實數(shù)根為x1，x2，則， 引申1：對稱式： 引申2：由可判斷兩根符號之間的關系： 若，則x1，x2同號； 若，則x1，x2異號，即一正一負 再由可判斷兩根大小的關系。 3、由x1，x2兩根可構(gòu)造的一元二次方程 以x1，x2為根的一個一元二次方程為二、【典型例題】 【例1】已知關于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0

2、，當m為何非負整數(shù)時：(1)方程只有一個實數(shù)根；(2)方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)方程有兩個不等的實數(shù)根.【例2】 已知關于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有兩個相等的實根，且滿足2a-b=0.(1)求a、b的值；(2)已知k為一實數(shù)，求證：關于x的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有兩個不等的實根.【例3】關于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.【例4】 已知：a、b、c是ABC的三邊，若方程有兩個等根，試判斷

3、ABC的形狀.【例5】（1）若x1，x2是方程的兩個根，求，； （2）若方程的兩個根是x1，x2，求。 【例6】（江西2004中考題） 已知關于x的方程 （1）當m取什么值時，原方程沒有實數(shù)根？ （2）對m選取一個合適的非零整數(shù)，使原方程有兩個實數(shù)根，并求這兩個實數(shù)根的平方和。 【例7】（2004海淀中考） 已知，關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根之差的平方為m，若對于任意一個非零的實數(shù)a，總成立，求實數(shù)c及m的值。 三、基礎練習（一）選擇題：1.若關于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 ( ) A.m1 B. m1且m0 C.m1 D. m1且m02.一元二次方程x

4、2+2x+4=0的根的情況是 ( ) A.有一個實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根 C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根3.下列一元二次方程中，有實數(shù)根的是( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=04.關于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是 ( ) A.當k=1/2時，方程兩根互為相反數(shù) B.當k=0時，方程的根是x=-1 C.當k=±1時，方程兩根互為倒數(shù) D.當k1/4時，方程有實數(shù)根5已知關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值等于（ ）. AB. C. 或 D. 8或-86已知關于的方程有兩個不相

5、等的實數(shù)根，那么的最大整數(shù)值是（ ）（A） 2 （B） 1 （C）0 （D）17要使關于的方程有實數(shù)根，則應滿足的條件是（ ）.AB. C. D. 8、下列方程中，兩實數(shù)根之和等于2的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如果一元二次方程的兩個根為，那么與的值分別為（ ） A. 3，2B. C. D. 10已知一元二次方程的兩個根的和為，兩個根的積是2，則這一元二次方程是 （ ）A、 B、 C、 D、11. 如果是方程的兩個根，那么的值等于（ ） A. B. 3C. D. 12. 已知關于x的方程有兩個相等的正實數(shù)根，則k的值是（ ） A. B. C. 2或D. 13. 若方程兩實數(shù)根的

6、平方差為16，則m的值等于（ ） A. 3B. 5C. 15D. 14. 如果是兩個不相等的實數(shù)，且滿足，那么等于（ ） A. 2B. C. 1D. 15. 對于任意實數(shù)m，關于x的方程一定（ ） A. 有兩個正的實數(shù)根 B. 有兩個負的實數(shù)根C. 有一個正實數(shù)根、一個負實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根16已知a、b、c是ABC的三邊長，方程的根的情況是（ ） A. 有兩個不相等的實根B. 有兩個相等的實根C. 無實根D. 根據(jù)ABC的形狀確定（二）、填空題：1關于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有兩個相等的實數(shù)根，則k= .2關于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其

7、根的判別式的值為1，m= 3一元二次方程，當m= 時，方程有兩個相等的實根；當m 時，方程有兩個不相等的實根；當m = 時，方程有一個根為04如果關于x的方程有兩個實數(shù)根，則k得取值范圍 5. 若方程的兩根之比是2：3，則k=_。6. 若方程的兩根為a、，則 _。7. 以數(shù)和為兩根的一元二次方程是 。8、若方程的兩根的倒數(shù)和是，則_。三、解答題1當a是什么實數(shù)時，關于x的一元二次方程。（1）有兩個相等的實數(shù)根？（2）有兩個不相等的實數(shù)根？（3）沒有實數(shù)根？2已知關于x的方程和，它們都有實數(shù)根，試求實數(shù)k的取值范圍3已知關于x的方程根的判別式之值為0，1為方程的根，求m、n的值。4. 設方程的兩根為，求分別以下列兩數(shù)為根的一元二次方程： (1)；(2) 5、已知一元二次方程 （1）當m取何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？ （2）設是方程的兩個實數(shù)根，且滿足，求m的值。 5、. 已知關于x的方程 （1）k取什么值時，方程有兩個實數(shù)根？ （2）如果方程的兩個實數(shù)根滿足，求k的值。 6、. 已知關于x的