第23章一元二次方程（判別式根與系數(shù)）

1、第23章一元二次方程（判別式、根與系數(shù)）一、知識(shí)點(diǎn)歸納：1.一元二次方程根的情況：(1)當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)當(dāng)0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.2、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理： 一元二次方程，如果有實(shí)數(shù)根（即），設(shè)兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，則， 引申1：對(duì)稱式： 引申2：由可判斷兩根符號(hào)之間的關(guān)系： 若，則x1，x2同號(hào)； 若，則x1，x2異號(hào)，即一正一負(fù) 再由可判斷兩根大小的關(guān)系。 3、由x1，x2兩根可構(gòu)造的一元二次方程 以x1，x2為根的一個(gè)一元二次方程為二、【典型例題】 【例1】已知關(guān)于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0

2、，當(dāng)m為何非負(fù)整數(shù)時(shí)：(1)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.【例2】 已知關(guān)于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且滿足2a-b=0.(1)求a、b的值；(2)已知k為一實(shí)數(shù)，求證：關(guān)于x的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有兩個(gè)不等的實(shí)根.【例3】關(guān)于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由.【例4】 已知：a、b、c是ABC的三邊，若方程有兩個(gè)等根，試判斷

3、ABC的形狀.【例5】（1）若x1，x2是方程的兩個(gè)根，求，； （2）若方程的兩個(gè)根是x1，x2，求。 【例6】（江西2004中考題） 已知關(guān)于x的方程 （1）當(dāng)m取什么值時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根？ （2）對(duì)m選取一個(gè)合適的非零整數(shù)，使原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并求這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和。 【例7】（2004海淀中考） 已知，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之差的平方為m，若對(duì)于任意一個(gè)非零的實(shí)數(shù)a，總成立，求實(shí)數(shù)c及m的值。 三、基礎(chǔ)練習(xí)（一）選擇題：1.若關(guān)于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是 ( ) A.m1 B. m1且m0 C.m1 D. m1且m02.一元二次方程x

4、2+2x+4=0的根的情況是 ( ) A.有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根3.下列一元二次方程中，有實(shí)數(shù)根的是( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=04.關(guān)于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是 ( ) A.當(dāng)k=1/2時(shí)，方程兩根互為相反數(shù) B.當(dāng)k=0時(shí)，方程的根是x=-1 C.當(dāng)k=±1時(shí)，方程兩根互為倒數(shù) D.當(dāng)k1/4時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根5已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值等于（ ）. AB. C. 或 D. 8或-86已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相

5、等的實(shí)數(shù)根，那么的最大整數(shù)值是（ ）（A） 2 （B） 1 （C）0 （D）17要使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則應(yīng)滿足的條件是（ ）.AB. C. D. 8、下列方程中，兩實(shí)數(shù)根之和等于2的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么與的值分別為（ ） A. 3，2B. C. D. 10已知一元二次方程的兩個(gè)根的和為，兩個(gè)根的積是2，則這一元二次方程是 （ ）A、 B、 C、 D、11. 如果是方程的兩個(gè)根，那么的值等于（ ） A. B. 3C. D. 12. 已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根，則k的值是（ ） A. B. C. 2或D. 13. 若方程兩實(shí)數(shù)根的

6、平方差為16，則m的值等于（ ） A. 3B. 5C. 15D. 14. 如果是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足，那么等于（ ） A. 2B. C. 1D. 15. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程一定（ ） A. 有兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)根C. 有一個(gè)正實(shí)數(shù)根、一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根 D. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根16已知a、b、c是ABC的三邊長(zhǎng)，方程的根的情況是（ ） A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)根C. 無(wú)實(shí)根D. 根據(jù)ABC的形狀確定（二）、填空題：1關(guān)于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k= .2關(guān)于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其

7、根的判別式的值為1，m= 3一元二次方程，當(dāng)m= 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)m 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；當(dāng)m = 時(shí)，方程有一個(gè)根為04如果關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k得取值范圍 5. 若方程的兩根之比是2：3，則k=_。6. 若方程的兩根為a、，則 _。7. 以數(shù)和為兩根的一元二次方程是 。8、若方程的兩根的倒數(shù)和是，則_。三、解答題1當(dāng)a是什么實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程。（1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？（2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根？2已知關(guān)于x的方程和，它們都有實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍3已知關(guān)于x的方程根的判別式之值為0，1為方程的根，求m、n的值。4. 設(shè)方程的兩根為，求分別以下列兩數(shù)為根的一元二次方程： (1)；(2) 5、已知一元二次方程 （1）當(dāng)m取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？ （2）設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，求m的值。 5、. 已知關(guān)于x的方程 （1）k取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？ （2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求k的值。 6、. 已知關(guān)于x的