2019屆湖南省長沙市高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、【詳解】第1頁共17頁2019 屆湖南省長沙市高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題一、單選題1 1 設(shè)全集，集合幾二心卜 / -，匚二、-，則()A A B B.閽:V一門C C .宀卜冬】*匚D D ；卜【答案】D【解析】先求“再求：即可【詳解】因?yàn)?丫廠 二，八 H；-： .-,所以 I I 乜=:匕 “CU(AUB)=X|X-3)故選：D【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，熟記并集與補(bǔ)集的定義，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4_2 2已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()A A. (-2-2)B.(一2C. (2,2)D. (2.-2)【答案】A【解析】先化簡乙再求即可【詳解】4_因?yàn)?，所以?/p>

2、工，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義，熟記定義，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2 1】心=0力0)r ,A3 3若雙曲線的一條漸近線與直線 _垂直，則該雙曲線的離心率為()A A 2 2B B.C C.D D.【答案】C【解析】先求漸近線的斜率，再求e即可第2頁共17頁ie = II + A = ;10依題意可得，貝U，所以；.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，漸近線，熟記性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4 4高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購并稱中國 新四大發(fā)明”，近日對全國 100100 個(gè)城市 的共享單車和掃碼支付的使用人數(shù)進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析，其中共享單車使用的人數(shù)分別

3、為“-xi：|1,它們的平均數(shù)為，方差為；其中掃碼支付使用的人數(shù)分別為，:y 二廠*,”它們的平均數(shù)為，方差為，貝y,分別為（）A A3x + 2 Sb + 2B3x 3SC+29sD3X+29S + 2【答案】C【解析】由樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的公式，化簡、運(yùn)算，即可求解，得到答案【詳解】 1由平均數(shù)的計(jì)算公式，可得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為二七1數(shù)據(jù) r -.十 _的平均數(shù)為：LI-而K%十2）十（沁十2） +（說豹十2）J =胡3兇十衍十十呵如）十2 * 100J=3x + 2數(shù)據(jù)虧二廣”二、=的方差為 - - - 數(shù)據(jù)A7、H的方差為：而址坯十2）-（3x十2/十（3X2十2-（4十2）十十（3x

4、100十2）-（3x十2）心=舟9（詢-x）2十9（X2-X）2十十9（x100-x）2 = 9$2故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算與應(yīng)用，其中解答中熟記樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，合理化簡與計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.x-2y i4 15 5已知變量滿足約束條件，則-的最小值為（）A A 9 9B B. 8 8C C 7 7D D 6 6【答案】A【解析】先畫出可行域，再結(jié)合z的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解即可【詳解】第3頁共17頁1 I1 I作出可行區(qū)域（如圖陰影所示），化直線二=7書為，可知當(dāng)直線經(jīng)lx - 2y + 4 = 05過點(diǎn)

5、A取得最小值，此時(shí)解得A,的最小值為6故選：D【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，數(shù)形結(jié)合思想，準(zhǔn)確作圖，熟練計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6 6已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，數(shù)列 滿足 ，且，則 （）A A 8 8B B. 1616C C 3232D D 6464【答案】C【解析】先確定 為等差數(shù)列，由等差的性質(zhì)得進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式和的通項(xiàng)公式，則可求【詳解】由題意知 為等差數(shù)列，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以公差 ，則 ，即. ，故，于是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等差與等比的通項(xiàng)公式，等差與等比數(shù)列性質(zhì)，熟記公式與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是 關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題第4頁共17頁17 7.已知是函數(shù)I的極值點(diǎn)，則（）1IA A .B B.

6、1 1C C .D D . 2 2【答案】B【解析】 對函數(shù)求導(dǎo)，利用已知條件求得a,得到導(dǎo)函數(shù)，由極值點(diǎn)的定義求解即可【詳解】F r ih,由. ，得.又：h-二I,當(dāng)X 0X1故是函數(shù)的極值點(diǎn)，故二成立故選：B【點(diǎn)睛】本題考查極值的定義，熟練計(jì)算是關(guān)鍵，注意檢驗(yàn)，是基礎(chǔ)題8 8某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）*1嗣A A.B B.C C.D D.【答案】A【解析】由題意首先確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合體積公式求解其體積即可.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為4的圓柱挖掉右上半柱而形成的幾何體.斗、亠r. 4站、rTEX故該幾何體的體積為故選：A.【點(diǎn)睛

7、】求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.9 9.已知，貝U-的值域?yàn)椋ǎ㎜3返A(chǔ) A . . UJUJB.B. 口勾C C .（亍三）D D . . （0*20*2 為第5頁共17頁【答案】B【解析】 化i： -二-I-I：】：I I=2（沁一擴(kuò)+ 所以恥嚴(yán)1 .故選：B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式，二次型函數(shù)求值域，熟記公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題1010. 20022002 年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)是以

8、我國古代數(shù)學(xué)家的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的. .弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）. .設(shè)4其中直角三角形中較小的銳角為，且如果在弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲10001000 米黑芝麻（大小差別忽略不計(jì)），則落在小正方形內(nèi)的黑芝麻數(shù)大約為（）A A. 350350B B. 300300C C. 250250D D . 200200【答案】DI【解析】由二倍角的正切公式推導(dǎo)出-,設(shè)大正方形為ABCD,小正方形為EFGHAE I邊長為a,由tan 0,得大正方形邊長為2a,利用大小正方形的面積比能求出落在小正方形內(nèi)的黑芝麻數(shù)【詳解】2曲悄41tan 20 =- = 7估門戸=_由亠”，得

9、.，設(shè)大正方形為ABCD，小正方形為EFGH，且,AE 1由肚*工咒，得-左二上，則，二心:落在小正方形內(nèi)的黑芝麻數(shù)大約為故選：DD第6頁共17頁【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二倍角的正切公式，直角三角形計(jì)算，熟記公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題g(x)=心 嚴(yán)g(.loB5in)-g(og1m) 2g(2)1111 已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則-的取值范圍是()1A A.25B.絢C.25,十D.胡【答案】A八.X 2/g(log5m) - g(logitn) 0,：故 在單調(diào)遞增，又為奇g(log5m) - g(login) 1）令-/J5）g：4p4當(dāng)i冬兀冬$時(shí)f（%）0.當(dāng)-J ?時(shí)

10、f（兀）0耗）=（）=_聖64故，即； l的最小值為本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的 方法來求解最值.二、填空題1313已知m0，若的展開式中”的系數(shù)比 x x 的系數(shù)大 3030,則也=_【答案】2 2【解析】 利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得的值.【詳解】a a 十咱）“展開式通項(xiàng)為：丁* _4_4 詔芬f 且 S 十皿）的展開式中芒的系數(shù)比兀的系數(shù)大 3030Gm = 30,即：2in m -6 - 0s解得：(舍去)或本題正確結(jié)果

11、：【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基 礎(chǔ)題.I IO |第8頁共17頁1414已知兩個(gè)單位向量 債和h的夾角為12，則a + b在h方向上的投影為 _1_【答案】I II II【解析】 運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，先求的值，再利用向量的投影公式,計(jì)算即可得到所求值.【詳解】. _ I i2_ 1|(n+brb11因?yàn)?a + b)Lb=aLb + |b飛，所以a十b在b方向上的投影為砧 |_故答案為【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影，數(shù)量積運(yùn)算，數(shù)量積定義，熟記公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題1515已知函數(shù)：的圖像在點(diǎn)處的切線與直線7- =二垂直，若數(shù)

12、列I麗；的前項(xiàng)和為，則二_.n【答案】丄【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求a,然后通過數(shù)列 的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和即可求出 .【詳解】由題意知城一譏；,則L H-,，故 ，；，故_L - _2_ _ !_ 1 1111 L 11 I n伽小創(chuàng)+H=花=喬7)可廣航肓十廠廠十荷-時(shí)尸 k? n故答案為【點(diǎn)睛】第9頁共17頁本題考查數(shù)列求和，切線的應(yīng)用，熟記求和基本方法，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題1616.如圖，在長方體 5 乩匸二 5；中，匸；-1，點(diǎn) 在棱上，當(dāng)-取得最小值時(shí)，1 1 丄山，則棱的長為_ . .【答案】【解析】把長方形展開到長方形所在平面，利用三點(diǎn)共線時(shí)：取得最小值，利用勾股定

13、理列方程組，解方程組求得的值【詳解】把長方形展開到長方形所在平面，如圖，當(dāng),在同一條直線上MA AC 2時(shí)，.取得最小值，此時(shí) K莎 方，令m出，,，則【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間中的最短距離問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查空間想象能力，屬于中檔題.第10頁共17頁三、解答題1717.在. 中，內(nèi)角 ，的對邊分別為，且4.：工；.（1 1）求號 ;（2 2）若3c sin A = JLISHIB, A AABC的面積為，求 的周長. .【答案】（1） * *；（2） S 二一 匚【解析】（1）根據(jù)余弦定理直接求解可得，進(jìn)而可得；（2）由正弦定理角化邊可得，再利用面積公式求解即可（2）因?yàn)?/p>

14、m - liii：.所以 ，即卩解得【點(diǎn)睛】 本題主要考查了正余弦定理及面積公式求解三角形，屬于基礎(chǔ)題1818.如圖，四棱錐的底面是直角梯形，和 是兩個(gè)邊長為 2 2 的正三角形，廠二=比， 為尤的中點(diǎn)， 為：的中點(diǎn). .假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，設(shè):-.- I : -II, 得 .，：；,由直線與平面廠工:所成角的正弦值為列的方程求解即可【詳解】(1)證明：設(shè)為 的中點(diǎn)，連接二，忙:. I, ，,四邊形I卜為正方形./為.的中點(diǎn)， 為川，.的交點(diǎn)， 為汀的中點(diǎn)，即0E為三角形BPF的中位線OE IIFF.因?yàn)閙匚的面積為13 c12即，所以，【詳解】第11頁共17頁.OE住平面PDC,PF匸平面P

15、DC,.OE II平面PDC.(2). *述為.的中點(diǎn)，陀丄 ACAC =JAB十= 22A0 = & ,.PO二JPAJ AC?=匹EO=沁-屈在APBO中，POF R0=PE2=4,.膽丄Ro.又AC BO =O,.膽 丄 平面應(yīng)UD.又因?yàn)閳R-工,所以過 分別作，的平行線，分別以它們作為軸，以 為 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 B(L-B(L-1,0)1,0), , C(1J,O)C(1J,O), , D(-3D(-3Q Q, , P(0,0P(0,0 框)假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使直線 與平面所成角的正弦值為.I III II I設(shè)DQ = ?JDP(O Z - + +- +

16、 -【答案】(1)見解析；(2)：丨；(3)見解析【解析】(1)令函數(shù)心:m證明其最小值大于等于0即可(2)原題轉(zhuǎn)第16頁共17頁化為 -： 恒成立，令-li； (3)由(1)，令 ，得，裂項(xiàng)相消求和得即可【詳解】(1)證明：令函數(shù)I :| | “，、 0，即兀十1.日0，得x a - 1 .當(dāng)：，U,即7.時(shí)，在I：；.八上單調(diào)遞增，m(x) m(0) = 0，所以當(dāng)】J.時(shí)，“心二；在I：；.八上恒成立；當(dāng)-:，即八I時(shí)，：在上單調(diào)遞增，在“I丨上單調(diào)遞減,所以煮口 小一 L：|所以不恒成立綜上所述：的取值范圍為(3)證明：由(1)知用點(diǎn)， * 令，：，：，.n +1li - 11“ “

17、“l(fā)n(n + 1) - Inn 時(shí)” 血，即，故有l(wèi)i：. i. I 11?ln(ti + 1) - Inn 亍?ax第17頁共17頁I 3n 4 2、n + 1 , ln(n十3rH 2) lnfri -i I)、八,12n- 1所以.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，分類討1論思想，分析求解能力，第三問關(guān)鍵是利用(1)令，裂項(xiàng)求和，是中檔題lx =- 1 I tcosa.2222 在直角坐標(biāo)系中，曲線 的參數(shù)方程為(為參數(shù))，其中，!.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程p，- 2pccs9 - 4psm6卜4 = 0

18、(1 1)求曲線 和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2(2)已知曲線與曲線 交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，求卜*：卜的取值范圍. .【答案】(1)曲線 的普通方程.；二：4，其中，；曲線 的直角坐標(biāo)方程.(2)【解析】(1)根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化，可得曲線的普通方程；根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可得曲線的直角坐標(biāo)方程(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線，利用韋達(dá)定理和參數(shù) 的幾何意義，即可求解，得 到答案.【詳解】(1)曲線的普通方程11 :其中，！;|x 1 I tCOSOk(2)將，-代入12n因?yàn)?-I :上述各式相加可得化簡得-J:1因?yàn)镴二 土 所以.亡二設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的第18頁共17頁,則有勺十毗池屮嚴(yán) X|PA|2+ |PB|2=(|PA| I |PB|)2- 2|PA|PB|弓(叩 + 冏)2% t=(片 + )2-2甲2 - 1白口 -6丘(6J01所以二的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及合理利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力屬于基礎(chǔ)題.2323