2019屆湖南師大附中高三上學(xué)期月考(四)試卷數(shù)學(xué)文(解析版)

1、頁(yè)1第湖南師大附中 2019 屆高三月考試卷(四)數(shù)學(xué)(文科)本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共 8 頁(yè)。時(shí)量 120 分鐘。滿分 150 分。第I卷一、選擇題：本大題共12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集 U= R,集合 M =x|2x1,則下列結(jié)論中成立的是(C)A.MnN=M B.MUN=NC.Mn(?uN)=M D.(?uM)nN=【解析】由 2x1 = 20,得 x1 = log22, /x2 ,；Mn(?uN)=x|x0nx|x0,o0,|,x取)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可得：A=1，寸 T=疋

2、,a/3 勺條件不具備，C 不成立；D 也不成立，選 A.3.已知 P(1, 3)在雙曲線=1(a0 , b0)的漸近線上,則該雙曲線的離心率為A. 10 B. 2 C/.5 D. 3(A)y = 3X,所以有字4.已知 f(x) = Asinx+Q(A0,co0,Mq,x R)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,則 y= f(x)的解析式是(B)A .f(x) = sinB . f(x)= sin2x+nf(x)=皿+疳D . f(x)= sinnrn再由可得:nM= 3,所以函數(shù) f(x)= sinn !2x+ 3 故應(yīng)選B.2 2x y【解析】根據(jù)點(diǎn) P(1 , 3)在雙曲線的漸近線上，所以雙曲

3、線的一條漸近線方程為3,即 b= 3a,根據(jù)雙曲線中n1 代入函數(shù)的解析式可得:12 ,1頁(yè)2第o=2,再把點(diǎn)頁(yè)3第值是(D)A . 62 B. 63 C. 126 D. 1277.設(shè) A、B、C 為圓 O 上三點(diǎn)，且 AB = 3, AC= 5,貝 U = (D)A . 8 B. 1 C. 1 D. 81【解析】取 BC 的中點(diǎn) D,連接 AD , OD ,因?yàn)?O 為三角形 ABC 外接圓的圓心，貝9=?(+),= 0 所1 12 2以=(+) = = 5(+) (- )= 2(| |)= 8,選 D.8.已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x)= f(x+ 2),數(shù)列an的前

4、n 項(xiàng)和為 Sn,且 Sn= 2an+ 2,則 f(an) = (A)A . 0 B. 0 或 1 C. 1 或 0 D . 1 或1【解析】.f(x) = f(x+ 2),所以 f(x)函數(shù)周期為2,.數(shù)列a*滿足Sn=2an+ 2,a1=2,Sn1= 2an1+ 2, -an= 2an 2an1,即an= 2an1, an以一 2 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，.an= 2 , - f(an) = f( 2n)=f(0)= 0,故選 A.5 .公元263 年左右,多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的

5、“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖(參考數(shù)據(jù)：sin 15 = 0.258 8, sin 7.5 = 0.130 5)(C),則輸出 n 的值為A . 12B . 16C. 24D . 48【解析】由程序框圖可列表如n61224S3也233祈3邁因?yàn)?3 6 3 23.1063.10 ,所以輸出 n 的值為 24,故選 C.6 .已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,通項(xiàng)公式 an= log2n+ 1n+ 2(n N*),則滿足不等式Sn 6 的 n 的最小【解23因?yàn)?Sn= Iog2.x 4X.Xn+ 1=log2n+ 2 丿+ 2,-6，所以126,故應(yīng)選 D.我國(guó)

6、數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)頁(yè)4第|lg|x 2|,XM2,29.設(shè)定義域?yàn)?R 的函數(shù) f(x) = i il若b0 ,貝U關(guān)于X的方程f(x)1 2+ bf(x) = 0 的不同實(shí), x =2,數(shù)根共有(C)A . 4 個(gè) B. 5 個(gè) C. 7 個(gè) D. 8 個(gè) c.5)2 12= 2,圓錐底面半徑為 r = l2 h2= 2,22128 頁(yè)5第由f(x)2+ bf(x) = 0,得 f(x) = 0 或 f(x)= b所以方程f(x)2+ bf(x) = 0 的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y= f(x)與函數(shù) y= 0, y= b(b0)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象

7、大致如圖所示，數(shù)形結(jié)合可知，f(x)= 0 有 3 個(gè)實(shí)數(shù)根，f(x) = b(b0)有 4 個(gè)實(shí)數(shù)根，所以f(x)2+ bf(x) = 0 共有 7 個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故答案 選 C.10.一個(gè)圓錐被過(guò)頂點(diǎn)的平面截去了較少的一部分幾何體，余下的幾何體的三視圖如下的幾何體的體積為(D)8n16n -A. + .15B. 3 +38n2 ,316n2 3C.3 3D.9 3S= 3nr +歹 sin 120 =3n+3,故幾何體的體積為：【解,則余下部分頁(yè)6第【解析】由已知中的三視圖，圓錐母線為l = ： ( ,；5)2+223= 2 2 ,圓錐的高 h =截去的底面弧的圓心角為120,故底面剩余

8、部分為V = sh=1X8n+3X2=16冗+穿，故選 D.11.本周星期日下午 1 點(diǎn)至 6 點(diǎn)學(xué)校圖書館照常開放， 甲、乙兩人計(jì)劃前去自習(xí)，其中甲連續(xù)自習(xí) 2 小時(shí)，乙連續(xù)自習(xí) 3 小時(shí).假設(shè)這兩人各自隨機(jī)到達(dá)圖書館，貝 U 下午 5點(diǎn)鐘時(shí)甲、乙兩人都在圖書館自習(xí)的概率是(B)1111A6 B.6 C.3 D.2【解析】據(jù)題意，甲、乙應(yīng)分別在下午4 點(diǎn)、3 點(diǎn)之前到達(dá)圖書館，設(shè)甲、乙到達(dá)圖書館的時(shí)間分別1WX4,為X, y，則，所對(duì)應(yīng)的矩形區(qū)域的面積為6.若下午 5 鐘點(diǎn)時(shí)甲、乙兩人都在自習(xí)，則JWy 3,3WX 4,1所對(duì)應(yīng)的正方形區(qū)域的面積為1,所以 P = 1 選 B.2Wy3,6d

9、 (x) a, x 1,f(x)恰有 2 個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(A)A.扌,12, +s) B. 4,1 ju 號(hào)，iC. 4，+8/ D. (8,3I【解析】因?yàn)楹瘮?shù) d(x)與函數(shù) y= log2x 關(guān)于直線 y= x 對(duì)稱，所以 d(x) = 2x;設(shè) g(x)= 4(x a)(x 2a), x 1, h(x)= 2x a, x 1,1若 g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，h(x)沒有零點(diǎn)，則丿得 a2(1 )= 2 a 0,a1,a0,12若 g(x)和 h(x)各有 1 個(gè)零點(diǎn)，則 且$得新 a4|h (1)= 2 a0,5綜上，a 舟，1 但 2,+8.故答案選 A.選擇題答題

10、卡題號(hào)123456789101112答案CAP AP BCDDACDBA第n卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第1321 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第2223 題為41a+ b 1 1【解析】 由已知，a= log210=, b= Iog510=.所以.=_ + = lg 2 + lg 5 = lg 10 = 1.lg 2lg 5 ab a b16.已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù) a、b 都有f(a + b) = f(a) + f(b) 1,且當(dāng) x0 時(shí) f(x) 1若 f(4) = 5 ,則不等式 f(3x2 x 2) X2,貝 U X1 X2 0 , f(X1

11、 X2) 1.所以 f(X1) f(X2)= f(X1 X2)+ 刈f(x2)= f(X1 X2)10 ,即 f(X1) f(X2),所以 f(x)是增函數(shù).因?yàn)?f(4) = 5,即 f(2) + f(2) 1 = 5,所以 f(2) = 3.所以原不等式化 為 f(3x2 x2)f(2)3x2 x 223x2 x 40 1x4.故不等式的解集是一 1,號(hào).三、 解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.(本題滿分 12 分)頁(yè)7第選考題，考生根據(jù)要求作答.二、 填空題：本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分，滿分 20 分.請(qǐng)把答案填在答題卷對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線 上.13.已知圓 C

12、1： (x a)2+ y2= 1 與圓 C2： x2+ y2 6x+ 5= 0 外切，貝 V a 的值為 0 或 6 .【解析】 圓 C1: (x a)2+ y2= 1 的圓心為(a, 0),半徑為 1 ,圓 C2： x2+ y2 6x + 5 = 0 的圓心為(3, 0),半徑為 2,兩圓外切，所以|a 3|= 3, /a = 0, 6,故 a 的值為 0 或 6.314.如果復(fù)數(shù) z 滿足關(guān)系式 z+= 2+ i,那么 z 等于_4+_ .【解析】 設(shè) z= a+ bi(a, b R),則=a bi, = a2+ b2,所以 a + bi + a2+ b2= 2 + i,a + yj a2

13、+ b2= 2 ,a = 4 ,3所以得：S解得：彳4所以 z= 3+ i.P =1,Jb = 1a+ b15.已知 2a= 5b= 10 ,則一 =_1_.ab頁(yè)8第n已知函數(shù) f(x) = asin x+ bcos x,0, x R, f(x)的最大值是 2,且在 x = 處的切線與直線x-y = 0平行.(1)求a、n由(1)有 f(x) = , 3sin x+ cos x = 2sinjx+, 6 分18.(本題滿分 12 分)如圖，已知三棱柱 ABC ABC 的側(cè)棱垂直于底面，AB = AC, / BAC = 90，點(diǎn) M, N 分別是 AB和 B C 的中點(diǎn)。(1)證明：MN /平

14、面 AA C C;設(shè) AB=入 AA 當(dāng)入為何值時(shí)，CN 丄平面 A MN，試證明你的結(jié)論.b 的值;1f(x)的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的2，縱坐標(biāo)不變已知g“+ 7 =芳(1)fx) = acos x bsin x, 1 分- a2+ b2= 2由已知有：(2)先將g(x)的圖象,【解n，n，求 cos 2a的值.6 2I a=3,解之得：丫nnb=1acos o bsin = 1b=1.6 6n,再將其向右平移石個(gè)單位得到函數(shù)因?yàn)閷?f(x)的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的12，縱坐標(biāo)不變，n再將其向右平移 匚個(gè)單位得到函數(shù) g(x)的圖象,6則 g(x) = 2sinn “2x-6

15、，8分則 cosn10a+ 4 = 13，an ：1厶八2 +3 =-云10分 n n2a+3丿-r12 1535j31211 1I11 1t13 十 13 2 =26COS 2a=cos鳥得sin12=COS7n； 5it i厶兒2a+ =153,且2少七n !n2a+3cos3+sin2a+ sin2 a33.12 分頁(yè)9第【解析】(1)取 A B 的中點(diǎn) E,連接 ME , NE.因?yàn)辄c(diǎn) M , N 分別是 A B 和 B C 的中點(diǎn)，所以 NE/A C : ME /AA :頁(yè)10第又 AC面 AACC, AA面 AACC,所以 ME/平面 AA C C, NE/平面 AA C C,所以

16、平面 MNE /平面 AA C C,因?yàn)?MN 平面 MNE ,所以 MN /平面 AA C C.6 分連接 BN,設(shè) A A = a,貝UAB=a由題意知 BC = 2 入aNC= BN=a6 7 8+尙2, 三棱柱 ABC A B C 的側(cè)棱垂直于底面，平面 A B C 丄平面 BB C C,AB= AC,點(diǎn) N 是 B C 的中點(diǎn)，:AN 丄平面 BB C C, .CNIA N.要使 CN 丄平面 A MN ,只需 CN JBN 即可，.CN2+ BN2= BC2, 2 a2+ *爲(wèi)2= 2 為2治 2,當(dāng)= 2 時(shí)，CN 丄平面 A MN.12 分19.(本題滿分 12 分)某地 11

17、0 歲男童年齡 片(單位：歲)與身高的中位數(shù) yi(單位：cm)(i = 1, 2,，10)如下表所示:X/歲12345678910y/cm76.588.596.8104.1111.3117.7124130135.4140.2對(duì)上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.I4ISI WI2Ul|Uicio319701.丄4I :.*1T 2 H錯(cuò)誤！(Xi)(yi)112.4582.503947.71566.85=112.456.87X5.5卻4.67,所以 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程是=6.87X+ 74.67.4 分若 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程是=6.87X+ 74.67

18、,所以 x= 11 時(shí)，=150.24;2若回歸方程是=0.30 x + 10.17X+ 68.07,所以 x= 11 時(shí)，=143.64;因?yàn)閨143.64 145.3|= 1.66|150.24 145.3|= 4.94,所以回歸方程=0.30 x2+ 10.17X+ 68.07 擬合效果更好.8 分6 求 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程(回歸方程系數(shù)精確到0.01);7 某同學(xué)認(rèn)為方程y= px2+ qx+ r 更適合作為 y 關(guān)于 x 的回歸方程模型，他求得的回歸方程是=0.30X2+10.17X + 68.07.經(jīng)調(diào)查，該地 11 歲男童身高的中位數(shù)為145.3 cm.與(1)中的線性

19、回歸方程比較，哪個(gè)回歸方程的擬合效果更好？8 從 6 歲10 歲男童中每個(gè)年齡階段各挑選一位男童參加表演(假設(shè)該年齡段身高的中位數(shù)就是該男童的身高)再?gòu)倪@ 5 位男童中任挑選兩人表演“二重唱”，則“二重唱”男童身高滿足|y yj|w6, (i, j =6, 7, 8, 9, 10)的概率是多少？參考公式：=,= 【解(1)因?yàn)?10=5.5,566.8582.5P.87,頁(yè)11第設(shè) 6 歲10 歲男童挑選的 5 位男童身高分別為 a, b, c, d, e,則從中任挑選兩人表演 “二重唱” 有 10 種選法：(a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b,

20、 d), (b, e), (c, d), (c, e), (d, e);兩男童 身高的中位數(shù)滿足|yiyj| 1),以 H 為圓心，HA 為半徑的圓方程為：OM 方程：(x 4)2+ y2= 1.得：直線 AB 的方程為(2x m2 4)(4 m2) (2y m)m = m4 7m2+ 14.15當(dāng) x = 0 時(shí)，直線 AB 在 y 軸上的截距 t = 4m _(m 1),t 關(guān)于 m 的函數(shù)在1 , +旳單調(diào)遞增，tmin= 11.12 分、”V14 X1法二：設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2), -kMA=, -kHA=,X1 4y1可得，直線 HA 的方程為(4 X1)x y

21、+ 4x1 15= 0 ,(135.4, 140.2),故概率是3P|yi_yj6= 10.12 分y2),yH y1yH y2 =,XH X1XH X2y2 y1y2 y1kEF= 2X2 X1y2 y1y2+ y1法二：當(dāng)/AHB 的角平分線垂直 x 軸時(shí)，點(diǎn) H(4, 2), HB = 60 可得 kHA= . 3 , kHB= 3 , 直線 HA 的方程為 y=J3x 4 近+ 2 ,|y=/3x 4 也+ 2 ,聯(lián)立方程組 ly2=x,詁 336佻+2= y , -yE=飛帀6同理可得 yF=311八=6分得，3y2 y_ 4,3+ 2 = 0,13 4.3XE= 3 .13+ 4、

22、31XF=3, kEF= 4.6 分242242HM2= m4 7m2+ 16, HA2= m4 7m2+ 15.(x m2)2+ (y m)2= m4 7m2+ 15, 頁(yè)13第同理，直線 HB 的方程為(4 X2)x y2y+ 4x2 15= 0 ,頁(yè)14第2 2.(4 Xi)yo yiyo+ 4xi 15= 0, (4 X2)y y2yo+ 4x2 15 = 0,直線 AB 的方程為(4 y0)x yoy+ 4y0 15 = 0,15令 x = 0,可得 t = 4yo (yo1),yot 關(guān)于 yo的函數(shù)在1 , +旳單調(diào)遞增，tmin= 11.13 分21.(本題滿分 12 分)已知函數(shù) f(x)= ax2+ bx+ 1 在 x= 3 處的切線方程為 y = 5x 8.(1)求函數(shù) f(x)的解析式；若關(guān)于 X 的方程 f(x)= kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù) k 的值；數(shù)列an滿足 2a1= f(2), an+1= f(an), n N,證明： an+1an11 1 1 1 S=+.+1,又 an+1= f(an) = an an+ 1.22an+1 an= an 2an+ 1 = (an 1) 0,