2020屆江蘇省百校聯(lián)考高三上學(xué)期第三次考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1 1頁(yè)共 2525 頁(yè)2020 屆江蘇省百校聯(lián)考高三上學(xué)期第三次考試數(shù)學(xué)試題一、填空題1 1若A 1,2,3,4,5,B 3,4,5,6，則下圖中陰影表示的集合為 _【答案】3,4,5【解析】 根據(jù)韋恩圖表示的是AI B，再利用交集的定義計(jì)算即可 【詳解】解：韋恩圖表示的是AI B，由A 1,2,3,4,5,B 3,4,5,6，則AI B 3,4,5故答案為：3,4,5【點(diǎn)睛】本題考查交集的運(yùn)算，韋恩圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2 2.已知命題p :- 1 x1,xx0 m 1,m 0,m 0時(shí)，討論函數(shù) f f (x)(x)單調(diào)性，分析 f f (x)(x)的零點(diǎn)，進(jìn)而得出m的取值范圍.【詳解】

2、解：(1)f1112m 1 1 mIn11-m ,22函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)為f x x m 1mx函數(shù)yfx在x1處的切線(xiàn)的斜率為f 1“m小1 m 10,1函數(shù)yfx在x1處的切線(xiàn)的方程為y1m.2由函數(shù)yx在x 1處的切線(xiàn)與函數(shù)y g x相切,2mx所以4m2(2)設(shè)函數(shù)2mxIn x所以當(dāng)m2時(shí),2,2,上單調(diào)遞增 由題意xmin222 m 2 I n2點(diǎn)為(X(X。, y yo) ),xo0,y。yo(2(2)由題知任意 x x 22 ,2x02m 01 1) ),f (x) g (x)恒成立，一 x x2(m(m 1)x1)x mlnxmlnx x x22mx2mx 恒2 2 一成立，可得

3、出，令I(lǐng)nxInx x xh(x)h(x)1 12x x x x2 2_, , x xInxInx x x22) )，只需m小于h(x)的最小聯(lián)立得x22mx0. .12第2323頁(yè)共 2525 頁(yè)第2424頁(yè)共 2525 頁(yè)單調(diào)遞增. .所以m2 In 2當(dāng)m 2時(shí)，當(dāng)x 2,m時(shí),0,函數(shù)x在2,m上單調(diào)遞減;上單調(diào)遞增 由題意xminm12m2m m m I n m 0,1即1-m2In m0. .又因?yàn)閙2,11 m2In m 0不成立 0,函數(shù)x在m,x4m的取值范圍為綜上所述,m當(dāng)x m,時(shí),(3)f 2 In 2x2m 1 x m當(dāng)0m 1時(shí)，若x0,m0,m,f x 0,fx單

4、調(diào)遞增;若xm,1,f x0,fx單調(diào)遞減；若x1,f x0,f x單調(diào)遞增 所以fx的極大值為f m12m m 1 mmIn mxxx22mm m In m 0，所以函數(shù)f x的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)0時(shí)，若x0,1,f x單調(diào)遞減;所以min(1)min占八、 、-(2)minm InftIn t,21時(shí)，函數(shù)f x的圖象與x軸至多有一個(gè)交20,20時(shí),3m 1 In m21,第2525頁(yè)共 2525 頁(yè)【點(diǎn)睛】2020.已知數(shù)列an，若對(duì)任意的n,m N*,n m，存在正數(shù)k使得|anami k |n m|,則稱(chēng)數(shù)列an具有守恒性質(zhì)，其中最小的k稱(chēng)為數(shù)列an的守 恒數(shù)，記為P. .

5、(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列且公差為d (d 0)，前n項(xiàng)和記為Sn. .1證明：數(shù)列a.具有守恒性質(zhì)，并求出其守恒數(shù) . .2數(shù)列Sn是否具有守恒性質(zhì)？并說(shuō)明理由 1(2)若首項(xiàng)為1 1 且公比不為 1 1 的正項(xiàng)等比數(shù)列an具有守恒性質(zhì)，且p，求公比2q值的集合 1【答案】(1 1)見(jiàn)解析，P d 數(shù)列Sn不具有守恒性質(zhì) 見(jiàn)解析(2)-2)-2【解析】(1 1)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列an具有守恒性質(zhì)可得結(jié)論；gt12 3tt 2tInIn 20,所以當(dāng)12，0時(shí)，In所以fmm m21Inm所以存在X1m,1,f X10. .r214/2m In2f eem 1 ee222e e12

6、e2m0,2所以存在X21,fX20. .(3 3)當(dāng)m0時(shí)，fx12xx22 2e me 2m只有一個(gè)零點(diǎn),綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為0. .本題考查導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用，恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.第2626頁(yè)共 2525 頁(yè)數(shù)列&不具有守恒性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)可得結(jié)論;(2 2)討論q 1，0 q 1，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和不等式的性質(zhì)，構(gòu)造數(shù)列，運(yùn)用 單調(diào)性，即可得到所求范圍.【詳解】所以對(duì)任意n,m所以數(shù)列an具有守恒性質(zhì)，且守恒數(shù)pSnSmd22n md印 一n mkn mkdn md a1 1 12222(i)若q 1，等比數(shù)列an遞增，不妨設(shè)n m，則q

7、n即qn 1kn qm1km,*n 1解：(1 1)因?yàn)閍n是等差數(shù)列且公差為d，所以ana1anamai1 da1m 1 dd n m恒成立,假設(shè)數(shù)列SnSn %2，所以存在實(shí)所以數(shù)列(2(2)顯然因?yàn)閿?shù)列則當(dāng)n則當(dāng)nan2 k a1時(shí),矛盾;2 k a12時(shí),d不具有守恒性質(zhì). .0且q1，因?yàn)閍11，所以an具有守恒性質(zhì),a1所以對(duì)任意n, m N,n m，存在正數(shù)k使得anam即存在正數(shù)k n m對(duì)任n, mm都成立. .第2727頁(yè)共 2525 頁(yè)設(shè)bnq kn，由*式中的m,n任意性可知，數(shù)列bn不遞增, 所以bn 1bnqn 1q 1 k 0對(duì)任意n N*恒成立. .k1 log

8、qk1而當(dāng)n 1 logq廠(chǎng)，b.1b. qn1q 1 k qq1q 1 k 0，所以q 1不符題意 (iiii )若0 q 1，則數(shù)列an單調(diào)遞減，不妨設(shè)n m，則qm 1qn 1k n m, 即qm1km qn1kn,*n 1設(shè)cnq kn，由*式中的m,n任意性可知，數(shù)列Cn不遞減，所以Cn 1Cnqn 1q 1 k 0對(duì)任意n N*恒成立，所以k qn 11 q對(duì)任意n N*恒成立，顯然，當(dāng)0 q1，nN*時(shí)，f n qn 11 q單調(diào)遞減， 所以當(dāng)n 1時(shí)，f n qn11 q取得最大值f 1 1 q，所以k 1 q. .111又p，故1 q，即q2221綜上所述，公比q的取值集合為

9、. .【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.2121.已知線(xiàn)性變換T1是順時(shí)針?lè)较蜻x擇 9090。的旋轉(zhuǎn)變換，其對(duì)應(yīng)的矩陣為M，線(xiàn)性變x x 2ya換T：對(duì)應(yīng)的矩陣為N，列向量X. .y yb(1) 寫(xiě)出矩陣M,N；4(2) 已知N %収，試求a,b的值. .20 11 2【答案】(1 1)M,N. . (2 2)a 2,b 8. .1 00 1第2828頁(yè)共 2525 頁(yè)【解析】(1 1)通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換的特征得出結(jié)論即可；1144(2 2)因?yàn)镹1M1X，所以X MN，再按照矩陣的乘法法則

10、計(jì)算可得；2 2第2929頁(yè)共 2525 頁(yè)線(xiàn)性變換T2：y2y對(duì)應(yīng)的矩陣為N，故(2)Q N1M1XX MN0112 410 0 12所以a 2，8. .【點(diǎn)本題考查矩陣變換及計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題2222 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為3J t為參數(shù))，曲線(xiàn)3 3tx cosC2的參數(shù)方程(1(1)求曲線(xiàn) G G 的直角坐標(biāo)方程和 C2C2 的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2(2)點(diǎn)P,Q分別為曲線(xiàn)G,C2上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PQ長(zhǎng)度最小時(shí)，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo). .【答(1)曲線(xiàn)G的直角坐標(biāo)方程為,3x y 6 0,曲線(xiàn)C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為121. .( 2 2)臥12 2【解(D消去參數(shù)t得到曲線(xiàn)C1的直角坐

11、標(biāo)方程，根據(jù)sin cos 1消去參數(shù)得到C2的普通方程;(2)設(shè)Q cos , 1 sin利用點(diǎn)到線(xiàn)的距離公式，再利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值；【詳解】解：(1 1)曲線(xiàn)G的直角坐標(biāo)方程為3x y 6 0,【詳解】解：(1)因?yàn)榫€(xiàn)性變換Ti是順時(shí)針?lè)较蜻x擇 9090。的旋轉(zhuǎn)變換，其對(duì)應(yīng)的矩陣為M，故cosMcossin 2sin2第3030頁(yè)共 2525 頁(yè)2 2曲線(xiàn)C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x y 11. .(2)設(shè)Q cos , 1 sin，則點(diǎn)Q到曲線(xiàn)Ci的距離7 2 sin cos cos sin 7 2sin3332 2x cos 2k此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為y 1 sin 2k6所以點(diǎn)Q

12、的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題【答案】見(jiàn)解析【解析】利用柯西不等式證明即可;【詳解】當(dāng)sin31時(shí)，即2k孑k乙本題考查參數(shù)方程化為普通方程,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用， 輔助角公式及三角函數(shù)2323.設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證:(b c)2(c a)2(a b)24(a b c). .7 sin ,3 cos2第3131頁(yè)共 2525 頁(yè)證明：因?yàn)閎,c都是正數(shù),所以abba第3232頁(yè)共 2525 頁(yè)2 2c a a b4 a b c. .bc【點(diǎn)睛】本題考查柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2424 .在四棱錐P ABCD中，CD平面PAD,PAD是正三角形，DC/AB,（1 1）求平

13、面PAB與平面PCD所成的銳二面角的大??；（2 2）點(diǎn)E為線(xiàn)段CD上的一動(dòng)點(diǎn)， 設(shè)異面直線(xiàn)BE與直線(xiàn)PA所成角的大小為 ， 當(dāng)cos 5時(shí)，試確定點(diǎn)E的位置 5【答案】（1 1） （2 2）E的位置可以是C，也可以是D. .3【解析】（1 1）以 0D0D 所在直線(xiàn)為x軸，OFOF 所在直線(xiàn)為y軸，0P所在直線(xiàn)為 Z Z 軸建立 空間直角坐標(biāo)系O xyz，利用空間向量法求出二面角;（2 2）由點(diǎn)E為線(xiàn)段CD上的一動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)E 1,t,0，t 2,0，利用空間向量法表 示出異面直線(xiàn)BE與直線(xiàn)PA所成的角的余弦值，從而求出t的值，即可確定E的位置 【詳解】解：（1 1 ）取AD的中點(diǎn)為O，在平面A

14、BCD內(nèi)作OF/DC，交BC于點(diǎn)F. .因?yàn)镻AD是正三角形，所以PO AD. .又因?yàn)镃D平面PAD，PO平面PAD，所以PO CD. .又因?yàn)锳DI CD D，PO平面ABCD，由CD平面PAD，OF /DC，所以直線(xiàn)OF平面PAD. .2所以b ca第3333頁(yè)共 2525 頁(yè)如圖，以 0D0D 所在直線(xiàn)為x軸，OFOF 所在直線(xiàn)為y軸，0P所在直線(xiàn)為 z z 軸建立空間直角坐標(biāo)系0 xyz. .1,0,0,B 1, 1,0,C 1, 2,0,D1,0,0,P 0,0, .3,LUMPA1,0,uuu.3，PB1, 1,3. .ur設(shè)平面PAB的法向量n1X1,%,乙,所以u(píng)ur ur

15、uuu irPA n10，PB nX1X1忌0y13z101,則n 3,0,同理得平面PCD的法向量匕3,0,1，設(shè)平面則cos又因?yàn)樗詉r uun1n2iriUPAB與平面PCD所成的銳二面角為，12PAB與平面PCD所成的銳二面角的大小為所以平面(2(2)由點(diǎn)E為線(xiàn)段CD上的一動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)E 1,t,0，t 2,0，uuu所以BEuuuL2,t 1,0，PA 1,0,由異面直線(xiàn)BE與直線(xiàn)PA所成角的大小為 ，第3434頁(yè)共 2525 頁(yè)所以E的位置可以是C，也可以是【點(diǎn)睛】2525 .在直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)C : y22px( p的距離為 6 6,點(diǎn)Q為其準(zhǔn)線(xiàn)I上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

16、Q作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A, B. .(1) 求拋物線(xiàn)C的方程；(2) 當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，證明：QAB為等腰直角三角形. .(3)證明：QAB為直角三角形. .【答案】(1 1)y28x(2 2)見(jiàn)解析(3 3)見(jiàn)解析【解析】(1 1)根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知， 到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，得到4衛(wèi)62求出參數(shù)P即可求出拋物線(xiàn)的解析式；(2)由(1 1)可得Q 2,0，由題意知切線(xiàn)的斜率存在且不為0 0,設(shè)為k，所以切線(xiàn)方程為y k x 2，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)0求出k的值，即可求出A、B的坐標(biāo)，即可得證；(3)設(shè)點(diǎn)Q 2,y。，由題意知切線(xiàn)的斜率

17、存在且不為0 0,設(shè)為k，所以切線(xiàn)方程為y k x 2 y。，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)0求出k*2的值，即可得證；【詳解】解：(1 1)根據(jù)題意可得4衛(wèi)6，得p 4,2所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y 8x. .(2 2)拋物線(xiàn)C:y28x的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x 2,得cosuuu uuuBE PA11 in 11 inBE PA2.t 122所以t 124.5，解得t0或2. .本題考查利用屬于中檔題0)上一點(diǎn)P(4, m)至y焦丿F第3535頁(yè)共 2525 頁(yè)所以點(diǎn)Q 2,0，由題意知切線(xiàn)的斜率存在且不為0 0，設(shè)為k,所以切線(xiàn)方程為y k x 2y k x 22 2 2 2由方程組2，得k2x24k28 x 4k20，y28x2所以4k28 16k464 64k20，解