2020屆河南省頂級名校高三1月教學(xué)質(zhì)量測評數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、第1 1頁共 2020 頁2020 屆河南省頂級名校高三 1 月教學(xué)質(zhì)量測評數(shù)學(xué)（文）試一、單選題1 1 設(shè)z 2 5i 3 i，則；z()A A .5悩B B.7290C C.70D D.35【答案】B B【解析】化簡得到z 11 13i，再計算模長得到答案 【詳解】依題意，z （2 5i）（3 i） 6 2i 15i5 11 13i，故|z|,121 169,290. .故選：B.B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算、復(fù)數(shù)的概念，考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想2 2 已知集合U x Z| 3 x 8,euM 2,1,3,4,7,N 2, 1,2,4,5,7,則M N的元素個數(shù)為（）A A .

2、 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D. 4 4【答案】C C【解析】計算U 2, 1,0,1,234,5,6,7,M 1,0,2,5,6，再計算M N得到答案 【詳解】U 2, 1,0,1,234,5,6,7，貝y M 1,0,2,5,6，故M N 1,2,5,則M N的元素個數(shù)為 3.3.故選：C.C.【點睛】本題考查集合的表示、集合的運算，考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想412.93 3 己知a46,b log5,c，則（）4213A A. a a b b c cB B.a c bC C.b c aD D.cab第2 2頁共 2020 頁【答案】B B第3 3頁共 2020 頁

3、對數(shù)的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題. .4 4. 20192019 年 1010 月 1 1 日，為了慶祝中華人民共和國成立7070 周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當?shù)氐拇逦瘯?，這三幅十字繡分別命名為鴻福齊天”、國富民強”、興國之路”，為了弄清 國富民強”這一作品是誰制作的，村 支書對三人進行了問話，得到回復(fù)如下： 小明說： 鴻福齊天”是我制作的；小紅說： 國富民強”不是小明制作的，就是我制作的；小金說： 興國之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則鴻福齊天”的制作者是（）A A .小明B B.小紅C C .小金

4、D D .小金或小明【答案】B B【解析】將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證【詳解】依題意，三個人制作的所有情況如下所示：1 12 23 34 45 56 6鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅【解析】先將三個數(shù)通過指數(shù),對數(shù)運算變形604b log4212.9【詳因為a所以a故選：B.B.【點log?10,041再判斷. .2.9601，log5；21log51 0,0 c4本題主要考查指數(shù)、【答案】A A第 3 3 頁共 2020 頁若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，貝 y y則 3 3 滿足 故鴻福齊天”的

5、制作者是小紅，故選：B.B.【點睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想, ZV/仝U T4 4 滿足；若小金的說法正確,屬于基礎(chǔ)題. .)2第5 5頁共 2020 頁【解析】 根據(jù)圖象特征，先判斷奇偶性，再用特殊值進一步確定【詳解】故函數(shù) f f (x)(x)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，排除 C C；2 2而f ( )0,排除 B B；f(2 )0,排除 D.D.205故選：A.A.【點睛】本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，還考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題 6 6 為了了解公司 800800 名員工對公司食堂組建的需求程度，將這些員工編號為 1,2,3,1,2,3,8

6、00800,對這些員工使用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取100100 人征求意見，有下述三個結(jié)論：若 2525 號員工被抽到，則 105105 號員工也會被抽到；若3232 號員工被抽到，則 1 1 到 100100號的員工中被抽取了 1010 人；若 8888 號員工未被抽到，則 1010 號員工一定未被抽到；其 中正確的結(jié)論個數(shù)為()A A 0 0B B. 1 1C C 2 2D D 3 3【答案】B B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和性質(zhì)，依次判斷每個選項得到答案【詳解】105 25將這800人分為100組，每組8人，即分段間隔為8；因為飛一10，故正確;若 3232 號員工被抽到，則 1 1 到

7、100100 號的員工中被抽取的號碼為8 8, 1616, 2424, 3232, 4040, 4848,5656, 6464, 7272, 8080, 8888, 9696,共計 1212 人，故錯誤；若 8888 號員工未被抽到，則 1010 號員工可能被抽到，故 錯誤. .故選：B.B.【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，考查數(shù)學(xué)建模能力以及必然與或然思想7 7己知向量a (m,1),b,b ( ( 1,2)1,2)，若(a 2b) b，則：與b夾角的余弦值為()2后2 713c6后6用A A B B.C C D D 13136565依題意,f( x) sx2(x) cos( x)20. 2sin

8、 x x cosxx 20f (x)，第6 6頁共 2020 頁【答案】B B第7 7頁共 2020 頁rr r【解析】先由向量a (m,1), b b ( ( 1,2)1,2)，求得a 2b (m 2, 3)，再利用【詳解】因為向量a所以a 2b (m 2, 3),r又因為(a所以m 26 0,解得m 8,所以r rcos a b102 13VAJOCl, u5 6513故選:B.B.【點睛】本題考查向量的坐標運算、向量的數(shù)量積應(yīng)用， 還考查運算求解能力以及轉(zhuǎn)化化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題. .38 8 .若tan()3,tan小sin2則2()si n()1A.-7B B. 7 71C C.7D

9、 D.7 7【答案】B B、1【解析】利用和差公式計算tantan()，再化簡得到答案【詳解】故選：B.B.【點睛】 本題考查誘導(dǎo)公式、兩角差的正切公式，考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想9 9 框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，實際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學(xué)模型r2b)(1,2)(1,2),tan tan(tan( ) tan1 ta n( ) tan.3sin -2cossin(sintan第8 8頁共 2020 頁之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，其中輸入Xi15，x216，x318，x420，x522，X624，X725

10、，則圖中空白框中應(yīng)填入()c Si-6 SSi-6,S 7SA A i6,SB B.C C.i 6,S7SD D .，77【答案】A A【解析】依題意問題是S17X12022x220X7202，然后按直到型驗證即可【詳解】根據(jù)題意為了計算7 7 個數(shù)的方差， 即輸出的1222Sx1207x220 x720,觀察程序框圖可知，應(yīng)填入i 6,SS,7故選：A.A.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題. .2 21010 己知雙曲線C:X2占1(a 0,b 0)的左、右焦點分別為Fi,F2，點M(,m). .a b若線段F2M與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足

11、為N，且 小OF?的面積是AMON的2 2 倍，則雙曲線C的離心率為()4第9 9頁共 2020 頁A A 、2【答案】B B【解析】不妨設(shè)m 0,NF2即為雙曲線的焦點到漸近線的距離，故B B. ,3NF?b，計算得到2.2 2a c2.2c【詳不妨設(shè)m 0,因為NOF?的面積是MON的 2 2 倍，故2SMOF23SNOF2,a不妨設(shè)m 0,則直線MF2: y (x c)，故mbac而2MF23 NF2，則22 2*cc23b，即3a2c2，故故選：B.B.【點本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查運算求解能力1111 在AABC中，角代B,C所對的邊分別為a,b,c. .若tanC.7,c2a

12、，b 3.2時，則 從BC的面積為()【答案】B B3、78【解析】計算sinC、14 c 2.D,cosC,sin B44査,利用正弦定理計算得到8再計算面積得到答案【詳因為tanCsinCcosC、7，且sin2Ccos2C2解得sinC -4,cosC4而c 2a,asin Ac，所以si nAsi nC2sC故sinB sin(A C) sin(AC)347 sin AcosC cosAs inC -84，化簡得到答案第1010頁共 2020 頁因為工,b 3 2，故a 2,sin A sin B故SABC1absinC12 3.2土 耳2242故選：B.B.【點睛】本題考查解三角形，

13、考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想Q Xi, yi在橢圓C上，其中橢圓C的離心率的取值范圍為（A A .0，-B B.（0，、6 2C C.（乎，、3 1D D.（0八3 1【答案】C C【解析】設(shè)PFin,PF2m,計算-1,m1，得到2-,43，計算得到3nn m 3答案 【詳解】設(shè)PFin,PF2m,由Xi0, yi0知m n,由P Xi, yi,QXi,yi在橢圓C上,|PQ | 2 OF2可知四邊形PFQF2為矩形,QFiQF2；QFi73PFi可得由橢圓的定義可得2a, m2n224c，平方相減可得mn4 c2所以mn廠可得a22c2, e22X y1212 .己知橢圓C :221

14、(aa bb 0）的左、右焦點分別為Fi, F2，點P Xi, yi,2OF，屠1寫，則yi0,若|PQ|3第1111頁共 2020 頁4c22a.3 C、31)2,所以e -, .3 1,a所以e,3 1. .故選：C.C.【點睛】本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查運算求解能力二、填空題1313 .曲線匚空在(0,0)處的切線方程為e【答案】2x【解析】求導(dǎo)y2(2x 2) x 2x，計算2，得到切線方程. .【詳解】(2x 2)exyxe2xe2x(2x 2)x22xxexo2,故所求切線方程為y 2x. .故答案為：y 2x. .【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力1414 設(shè)S

15、n為正項等比數(shù)列an的前n項和，若S24,S S42020 ,則an【答案】2* 13【解析】記數(shù)列an的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列公式計算得到答案【詳解】記數(shù)列an的公比為q，顯然4q2qq25,解得q而an0，故q=2，故S2aia?3a)解得ai彳，故an2n2* 13第1212頁共 2020 頁第1313頁共 2020 頁【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想1515.函數(shù)f(x) tan60 sin 2x 2j3sin2x在 ,上的值域為 _【答案】,63,2、337【解析】化簡得到f(x) ,6sin 2x ,3,2x,，得到答案4444【

16、詳解】f (x)3sin 2x.3 2、3sin2x.3 73sin 2x 3cos2x .3用sin2x43，37J2當x,時，2x,，故sin 2x1,244442故辰n 2x 73 76 73,2 734故答案為：.6、32、3. .【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查運算求解能力1616 己知四棱錐P ABCD中的外接球O的體積為36, PAPA 3 3 ,PA平面ABCD,四邊形ABCD為矩形，點M在球O的表面上運動，則四棱錐M ABCD體積的最大值為_【答案】814【解析】 設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c，且c 3，由于a2b227,得到(ab)max才，再計算體積的最

17、大值得到答案. .【詳解】43R 36，故R 3,3將四棱錐P ABCD補成長方體，可知外接球的直徑為長方體的體對角線,故答案為:2n第1414頁共 2020 頁設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c，且c 3，由于a1 2b227,又a3 4b52ab,當且僅當ab乙6時等號成立，此時(ab)max27,2 2要使得四棱錐M ABCD的體積最大，只需點M為平面ABCD的中心0與球心0所1求a的值；2求A地區(qū) 200200 家實體店該品牌洗衣機的月經(jīng)濟損失的眾數(shù)以及中位數(shù)；3 不經(jīng)過計算，直接給出 A A 地區(qū) 200200 家實體店經(jīng)濟損失的平均數(shù)x x 與 60006000 的大小關(guān)系. .

18、【答案】(1 1)0.00009; (2 2)眾數(shù)為 30003000,中位數(shù)為3000; (3 3)x6000【解析】(1 1)根據(jù)概率和為 1 1 計算得到答案. .在的直線與球的交點，又00第1515頁共 2020 頁故M ABCD體積的最大值為1 273381. .3224【點睛】本題考查組合體與球，考查空間想象能力以及計算能力 三、解答題1717 .由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟損失，現(xiàn)將A地區(qū) 200200 家實體店該品牌洗衣機的月經(jīng)濟損失統(tǒng)計如圖所示. .第1616頁共 2020 頁(2)計算眾數(shù)和中位數(shù)得到答案. .(3)直接根據(jù)概

19、率分布直方圖得到答案. .【詳解】(1) 依題意，(0.00015 0.0002 a 0.00006) 2000 1，解得a 0.00009. .(2)由圖可知，A地區(qū) 200200 家實體店該品牌洗衣機的月經(jīng)濟損失的眾數(shù)為30003000，第一塊小矩形的面積30.3，第二塊小矩形的面積S 0.4，故所求中位數(shù)在2000,4000)之間，所求中位數(shù)為20000.5 0.33000. .0.0002(3)直接根據(jù)概率分布直方圖得到：X 6000. .【點睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運算求解能力以及必然與或然思想1818 .記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且印0=4, 5530

20、. .(1)(1) 求數(shù)列 a an的通項公式以及前n項和Sn；(2)(2)記數(shù)列2an 4an的前n項和為 T Tn，求滿足Tn0的最小正整數(shù)n的值. .【解析】(1 1)計算a82,d色0色1，得到通項公式和Sn. .10 8(2 2)化簡2an 4ann 6 2n 2，利用分組求和法得到 衛(wèi)丄丄)纟-2 2算得到答案. .【詳解】(1 1)記數(shù)列an的公差為d,S1530，故15a830，即2. .故d業(yè)魚1，故ana10(n 10)d 4 n 10 n 6,10 82n(n 1) n11n5n2 2 2(2(2)依題意，2an 4ann 6 2n 2【答案】(1 1)ann 6, &a

21、mp;11n2(2) 5 5n(n 1)dna2第1717頁共 2020 頁MA【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、等比數(shù)列的前n項和公式，考查運算求解能力以及函數(shù)與方程思想 1919 四棱錐S S ABCABCD D如圖所示， 其中四邊形ABCD是直角梯形，AB AD,1AD DC,SA平面ABCD,DA DC AB,AC與BD交于點G，直線SC與平面ABCD所成角的余弦值為 土，點M在線段SA上. .5 5Tnn 6)212。L2n 2n(n 11)2n1_22，1時,1 10 21122時,2 9 22123時,3 8 23124時,T44 7 2412當ir 5n(n31

22、，所以Tn20. .故滿足Tn0的最小正整數(shù)n的值為5 5第1818頁共 2020 頁(2 2)若DA 1，求點A到平面SCD的距離 【答案】(1 1)1； (2 2)上 3 323【解析】(1)連接MG，設(shè)DC 1,AB 2，根據(jù)線面平行得到SC/MG，得到答案 (2 2)在平面 SADSAD 內(nèi)作AN SD于點N，證明AN平面SCD，再計算長度得到答案 【詳解】(1 1)連接MG. .因為AB AD,AD DC，故AB/CD 設(shè)DC 1,AB 2，得竺竺2GC DC 因為SC/平面MBD，平面SACI平面MBD MG,SC平面 SACSAC，(2(2)在平面 SADSAD 內(nèi)作AN SD于

23、點N，因為SA平面ABCD，所以DC SA，又DC AD,SA AD A，得DC平面 SAD.SAD.因為AN平面 SADSAD，所以CD AN. .又SDI CD D，所以AN平面SCD. .因為直線SC與平面ABCD所成角的余弦值為 空，5 5故SC/MG，故SMMACGAG第1919頁共 2020 頁則SA乎，而AD停AD，得SD乎，AN于， 即點A到平面SCD的距離為即sin ASC255又AC.2，故SC第2020頁共 2020 頁【點睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想 (1(1)判斷函數(shù) f(x)f(x)在(0,2(0,2 ) )上的

24、單調(diào)性;1(2)若0 a，求證：當x (0,)時，f(x) a In. .x【答案】(1 1)單調(diào)遞減；(2 2)證明見解析證明 g(x),g(x), 0 0 在(0,2(0,2 ) )上恒成立，得到答案sin x(2 2)先證明當x (0,)時，01，再證明當0 a時，一alnx 1,xx得到答案 【詳解】xcosx sin x(1)f (x)-x令g(x) xcosx sinx，貝U g (x) xsinx,故當x (0,)時，g (x)0，當x ( ,2 )時，g (x)0,2020 .己知函數(shù)f(X)sinxx【解析】(1 1)求導(dǎo)得到f(X)xcosx sinx，令g(x)xcosx

25、 sinx第2121頁共 2020 頁故g(X)maxg( )0,故 g(x),g(x), 0 0 在(0,2(0,2 ) )上恒成立，故 f f (X),(X), 0 0 ,第2222頁共 2020 頁即函數(shù) f(x)f(x)在(0,2(0,2 ) )上單調(diào)遞減 1sin x(2 2)依題意，f(x) aln , alnx0. .x xxsin xF面證明：當x (0,)時，o1；當o a時，一alnx 1；xxh(x) x si nx,則h (x) 1 cosx 0，所以h(x) x si nx在(0,)上單調(diào)遞增,h(x) h(0)0，則x sinx 0，sin x .又x 0,sinx

26、 0，則01，xaax令s(x) alnx，貝U s(x)22，xx x x若x0，即0a,1，則s(x)在(0,)上單調(diào)遞減，故as(x) s( )1 aln 1. .綜上所述，當0 a時，一alnx 1,xsin x1則一aln x0,即f (x) a ln. .xxx【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思想22121 .己知橢圓C : y21的左、右焦點分別為F1,F2，點M, N在橢圓C上. .51(1)若線段MN的中點坐標為2,，求直線MN的斜率；3(2)若M,N,0三點共線，直線NF1與橢圓C交于N,P兩點，求APMN面積的最大值，【答案】(1 1

27、) ； (2 2) 、55由s(x) 0，得s(x)的極小值點為x0若x0(0,)，則1 aaa則s X。X。aln x0a aln a1，故s(x) aln x 1,x，2第2323頁共 2020 頁(2)顯然直線NF1的斜率不為 0 0， 設(shè)直線NF1:xmy2,N X1，y1,P X2, y2，聯(lián)立XmyX25y22消去x整理得5,y24 my顯然20 m210，故y1y24m51m25故PMN的面積SPMN2SOPNOF1y1y2m25令、孑t，其中tT，SPMN4 5tt24當且僅當t 2，即m,3時等號成立，即PMN面積的最大值為【點本題考查直線與橢圓的關(guān)系、基本不等式，考查運算求

28、解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想X2222 .在平面直角坐標系xOy中，曲線 G G 的參數(shù)方程為y2 2cos（為參數(shù)），2sin以原點為極點，X軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2CO44s in2【解析】（J設(shè)M為，,N X2, y2，代入橢圓方程相減得到答案(2)設(shè)直線NF1:Xmy 2, N,P，聯(lián)立方程得到y(tǒng)4m72十，1Y1Y2廠，得到m 5SPMN4、5 . m21m2計算得到答案 【詳(1(1)設(shè)M Xi, yi,N X2, y2，則2X12y2兩式相減，可得X1X2X-!5X2yiy2yiy2即4X1X2解得% y?X1x26，即直線MN的斜率為5第2424頁

29、共 2020 頁（）求曲線C1的極坐標方程以及曲線C2的直角坐標方程；（2）若直線l : y kx與曲線Ci、曲線C2在第一象限交于P,Q兩點，且|0P| 2|0Q|,點M的坐標為（2,0），求AMPQ的面積. .2、2【詳解】4cosX24y24，即一4因為4cos4sin2，故2cos2 . 2sin(2)將0代入22cos44s in241 3sin20 0代入p 4cos，得P4cos0,【答案】（1 1）Ci的極坐標方程為4cosx22，C2的直角坐標方程為7y 1（2）【解析】（1 1）先把曲線Ci的參數(shù)方程消參后, 轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用x cos , y sin求得極坐標方程2cos4，化為4si n2 2,2.2cos4 sin4，再利用xcos,ysin求得曲線C2的普通方程