2020屆河南省頂級名校高三1月教學(xué)質(zhì)量測評數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、第1 1頁共 2020 頁2020 屆河南省頂級名校高三 1 月教學(xué)質(zhì)量測評數(shù)學(xué)（文）試一、單選題1 1 設(shè)z 2 5i 3 i，則；z()A A .5悩B B.7290C C.70D D.35【答案】B B【解析】化簡得到z 11 13i，再計(jì)算模長得到答案 【詳解】依題意，z （2 5i）（3 i） 6 2i 15i5 11 13i，故|z|,121 169,290. .故選：B.B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的概念，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想2 2 已知集合U x Z| 3 x 8,euM 2,1,3,4,7,N 2, 1,2,4,5,7,則M N的元素個數(shù)為（）A A .

2、 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D. 4 4【答案】C C【解析】計(jì)算U 2, 1,0,1,234,5,6,7,M 1,0,2,5,6，再計(jì)算M N得到答案 【詳解】U 2, 1,0,1,234,5,6,7，貝y M 1,0,2,5,6，故M N 1,2,5,則M N的元素個數(shù)為 3.3.故選：C.C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示、集合的運(yùn)算，考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想412.93 3 己知a46,b log5,c，則（）4213A A. a a b b c cB B.a c bC C.b c aD D.cab第2 2頁共 2020 頁【答案】B B第3 3頁共 2020 頁

3、對數(shù)的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題. .4 4. 20192019 年 1010 月 1 1 日，為了慶祝中華人民共和國成立7070 周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯@三幅十字繡分別命名為鴻福齊天”、國富民強(qiáng)”、興國之路”，為了弄清 國富民強(qiáng)”這一作品是誰制作的，村 支書對三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下： 小明說： 鴻福齊天”是我制作的；小紅說： 國富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的；小金說： 興國之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則鴻福齊天”的制作者是（）A A .小明B B.小紅C C .小金

4、D D .小金或小明【答案】B B【解析】將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證【詳解】依題意，三個人制作的所有情況如下所示：1 12 23 34 45 56 6鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅【解析】先將三個數(shù)通過指數(shù),對數(shù)運(yùn)算變形604b log4212.9【詳因?yàn)閍所以a故選：B.B.【點(diǎn)log?10,041再判斷. .2.9601，log5；21log51 0,0 c4本題主要考查指數(shù)、【答案】A A第 3 3 頁共 2020 頁若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，貝 y y則 3 3 滿足 故鴻福齊天”的

5、制作者是小紅，故選：B.B.【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想, ZV/仝U T4 4 滿足；若小金的說法正確,屬于基礎(chǔ)題. .)2第5 5頁共 2020 頁【解析】 根據(jù)圖象特征，先判斷奇偶性，再用特殊值進(jìn)一步確定【詳解】故函數(shù) f f (x)(x)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，排除 C C；2 2而f ( )0,排除 B B；f(2 )0,排除 D.D.205故選：A.A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，還考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題 6 6 為了了解公司 800800 名員工對公司食堂組建的需求程度，將這些員工編號為 1,2,3,1,2,3,8

6、00800,對這些員工使用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取100100 人征求意見，有下述三個結(jié)論：若 2525 號員工被抽到，則 105105 號員工也會被抽到；若3232 號員工被抽到，則 1 1 到 100100號的員工中被抽取了 1010 人；若 8888 號員工未被抽到，則 1010 號員工一定未被抽到；其 中正確的結(jié)論個數(shù)為()A A 0 0B B. 1 1C C 2 2D D 3 3【答案】B B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和性質(zhì)，依次判斷每個選項(xiàng)得到答案【詳解】105 25將這800人分為100組，每組8人，即分段間隔為8；因?yàn)轱w一10，故正確;若 3232 號員工被抽到，則 1 1 到

7、100100 號的員工中被抽取的號碼為8 8, 1616, 2424, 3232, 4040, 4848,5656, 6464, 7272, 8080, 8888, 9696,共計(jì) 1212 人，故錯誤；若 8888 號員工未被抽到，則 1010 號員工可能被抽到，故 錯誤. .故選：B.B.【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，考查數(shù)學(xué)建模能力以及必然與或然思想7 7己知向量a (m,1),b,b ( ( 1,2)1,2)，若(a 2b) b，則：與b夾角的余弦值為()2后2 713c6后6用A A B B.C C D D 13136565依題意,f( x) sx2(x) cos( x)20. 2sin

8、 x x cosxx 20f (x)，第6 6頁共 2020 頁【答案】B B第7 7頁共 2020 頁rr r【解析】先由向量a (m,1), b b ( ( 1,2)1,2)，求得a 2b (m 2, 3)，再利用【詳解】因?yàn)橄蛄縜所以a 2b (m 2, 3),r又因?yàn)?a所以m 26 0,解得m 8,所以r rcos a b102 13VAJOCl, u5 6513故選:B.B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積應(yīng)用， 還考查運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題. .38 8 .若tan()3,tan小sin2則2()si n()1A.-7B B. 7 71C C.7D

9、 D.7 7【答案】B B、1【解析】利用和差公式計(jì)算tantan()，再化簡得到答案【詳解】故選：B.B.【點(diǎn)睛】 本題考查誘導(dǎo)公式、兩角差的正切公式，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想9 9 框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，實(shí)際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學(xué)模型r2b)(1,2)(1,2),tan tan(tan( ) tan1 ta n( ) tan.3sin -2cossin(sintan第8 8頁共 2020 頁之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，其中輸入Xi15，x216，x318，x420，x522，X624，X725

10、，則圖中空白框中應(yīng)填入()c Si-6 SSi-6,S 7SA A i6,SB B.C C.i 6,S7SD D .，77【答案】A A【解析】依題意問題是S17X12022x220X7202，然后按直到型驗(yàn)證即可【詳解】根據(jù)題意為了計(jì)算7 7 個數(shù)的方差， 即輸出的1222Sx1207x220 x720,觀察程序框圖可知，應(yīng)填入i 6,SS,7故選：A.A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題. .2 21010 己知雙曲線C:X2占1(a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2，點(diǎn)M(,m). .a b若線段F2M與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足

11、為N，且 小OF?的面積是AMON的2 2 倍，則雙曲線C的離心率為()4第9 9頁共 2020 頁A A 、2【答案】B B【解析】不妨設(shè)m 0,NF2即為雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離，故B B. ,3NF?b，計(jì)算得到2.2 2a c2.2c【詳不妨設(shè)m 0,因?yàn)镹OF?的面積是MON的 2 2 倍，故2SMOF23SNOF2,a不妨設(shè)m 0,則直線MF2: y (x c)，故mbac而2MF23 NF2，則22 2*cc23b，即3a2c2，故故選：B.B.【點(diǎn)本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力1111 在AABC中，角代B,C所對的邊分別為a,b,c. .若tanC.7,c2a

12、，b 3.2時(shí)，則 從BC的面積為()【答案】B B3、78【解析】計(jì)算sinC、14 c 2.D,cosC,sin B44査,利用正弦定理計(jì)算得到8再計(jì)算面積得到答案【詳因?yàn)閠anCsinCcosC、7，且sin2Ccos2C2解得sinC -4,cosC4而c 2a,asin Ac，所以si nAsi nC2sC故sinB sin(A C) sin(AC)347 sin AcosC cosAs inC -84，化簡得到答案第1010頁共 2020 頁因?yàn)楣?b 3 2，故a 2,sin A sin B故SABC1absinC12 3.2土 耳2242故選：B.B.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，

13、考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想Q Xi, yi在橢圓C上，其中橢圓C的離心率的取值范圍為（A A .0，-B B.（0，、6 2C C.（乎，、3 1D D.（0八3 1【答案】C C【解析】設(shè)PFin,PF2m,計(jì)算-1,m1，得到2-,43，計(jì)算得到3nn m 3答案 【詳解】設(shè)PFin,PF2m,由Xi0, yi0知m n,由P Xi, yi,QXi,yi在橢圓C上,|PQ | 2 OF2可知四邊形PFQF2為矩形,QFiQF2；QFi73PFi可得由橢圓的定義可得2a, m2n224c，平方相減可得mn4 c2所以mn廠可得a22c2, e22X y1212 .己知橢圓C :221

14、(aa bb 0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi, F2，點(diǎn)P Xi, yi,2OF，屠1寫，則yi0,若|PQ|3第1111頁共 2020 頁4c22a.3 C、31)2,所以e -, .3 1,a所以e,3 1. .故選：C.C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力二、填空題1313 .曲線匚空在(0,0)處的切線方程為e【答案】2x【解析】求導(dǎo)y2(2x 2) x 2x，計(jì)算2，得到切線方程. .【詳解】(2x 2)exyxe2xe2x(2x 2)x22xxexo2,故所求切線方程為y 2x. .故答案為：y 2x. .【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力1414 設(shè)S

15、n為正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S24,S S42020 ,則an【答案】2* 13【解析】記數(shù)列an的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列公式計(jì)算得到答案【詳解】記數(shù)列an的公比為q，顯然4q2qq25,解得q而an0，故q=2，故S2aia?3a)解得ai彳，故an2n2* 13第1212頁共 2020 頁第1313頁共 2020 頁【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想1515.函數(shù)f(x) tan60 sin 2x 2j3sin2x在 ,上的值域?yàn)?_【答案】,63,2、337【解析】化簡得到f(x) ,6sin 2x ,3,2x,，得到答案4444【

16、詳解】f (x)3sin 2x.3 2、3sin2x.3 73sin 2x 3cos2x .3用sin2x43，37J2當(dāng)x,時(shí)，2x,，故sin 2x1,244442故辰n 2x 73 76 73,2 734故答案為：.6、32、3. .【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力1616 己知四棱錐P ABCD中的外接球O的體積為36, PAPA 3 3 ,PA平面ABCD,四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)M在球O的表面上運(yùn)動，則四棱錐M ABCD體積的最大值為_【答案】814【解析】 設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c，且c 3，由于a2b227,得到(ab)max才，再計(jì)算體積的最

17、大值得到答案. .【詳解】43R 36，故R 3,3將四棱錐P ABCD補(bǔ)成長方體，可知外接球的直徑為長方體的體對角線,故答案為:2n第1414頁共 2020 頁設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c，且c 3，由于a1 2b227,又a3 4b52ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab乙6時(shí)等號成立，此時(shí)(ab)max27,2 2要使得四棱錐M ABCD的體積最大，只需點(diǎn)M為平面ABCD的中心0與球心0所1求a的值；2求A地區(qū) 200200 家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失的眾數(shù)以及中位數(shù)；3 不經(jīng)過計(jì)算，直接給出 A A 地區(qū) 200200 家實(shí)體店經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)x x 與 60006000 的大小關(guān)系. .

18、【答案】(1 1)0.00009; (2 2)眾數(shù)為 30003000,中位數(shù)為3000; (3 3)x6000【解析】(1 1)根據(jù)概率和為 1 1 計(jì)算得到答案. .在的直線與球的交點(diǎn)，又00第1515頁共 2020 頁故M ABCD體積的最大值為1 273381. .3224【點(diǎn)睛】本題考查組合體與球，考查空間想象能力以及計(jì)算能力 三、解答題1717 .由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將A地區(qū) 200200 家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示. .第1616頁共 2020 頁(2)計(jì)算眾數(shù)和中位數(shù)得到答案. .(3)直接根據(jù)概

19、率分布直方圖得到答案. .【詳解】(1) 依題意，(0.00015 0.0002 a 0.00006) 2000 1，解得a 0.00009. .(2)由圖可知，A地區(qū) 200200 家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失的眾數(shù)為30003000，第一塊小矩形的面積30.3，第二塊小矩形的面積S 0.4，故所求中位數(shù)在2000,4000)之間，所求中位數(shù)為20000.5 0.33000. .0.0002(3)直接根據(jù)概率分布直方圖得到：X 6000. .【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解能力以及必然與或然思想1818 .記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且印0=4, 5530

20、. .(1)(1) 求數(shù)列 a an的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和Sn；(2)(2)記數(shù)列2an 4an的前n項(xiàng)和為 T Tn，求滿足Tn0的最小正整數(shù)n的值. .【解析】(1 1)計(jì)算a82,d色0色1，得到通項(xiàng)公式和Sn. .10 8(2 2)化簡2an 4ann 6 2n 2，利用分組求和法得到 衛(wèi)丄丄)纟-2 2算得到答案. .【詳解】(1 1)記數(shù)列an的公差為d,S1530，故15a830，即2. .故d業(yè)魚1，故ana10(n 10)d 4 n 10 n 6,10 82n(n 1) n11n5n2 2 2(2(2)依題意，2an 4ann 6 2n 2【答案】(1 1)ann 6, &a

21、mp;11n2(2) 5 5n(n 1)dna2第1717頁共 2020 頁MA【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算求解能力以及函數(shù)與方程思想 1919 四棱錐S S ABCABCD D如圖所示， 其中四邊形ABCD是直角梯形，AB AD,1AD DC,SA平面ABCD,DA DC AB,AC與BD交于點(diǎn)G，直線SC與平面ABCD所成角的余弦值為 土，點(diǎn)M在線段SA上. .5 5Tnn 6)212。L2n 2n(n 11)2n1_22，1時(shí),1 10 21122時(shí),2 9 22123時(shí),3 8 23124時(shí),T44 7 2412當(dāng)ir 5n(n31

22、，所以Tn20. .故滿足Tn0的最小正整數(shù)n的值為5 5第1818頁共 2020 頁(2 2)若DA 1，求點(diǎn)A到平面SCD的距離 【答案】(1 1)1； (2 2)上 3 323【解析】(1)連接MG，設(shè)DC 1,AB 2，根據(jù)線面平行得到SC/MG，得到答案 (2 2)在平面 SADSAD 內(nèi)作AN SD于點(diǎn)N，證明AN平面SCD，再計(jì)算長度得到答案 【詳解】(1 1)連接MG. .因?yàn)锳B AD,AD DC，故AB/CD 設(shè)DC 1,AB 2，得竺竺2GC DC 因?yàn)镾C/平面MBD，平面SACI平面MBD MG,SC平面 SACSAC，(2(2)在平面 SADSAD 內(nèi)作AN SD于

23、點(diǎn)N，因?yàn)镾A平面ABCD，所以DC SA，又DC AD,SA AD A，得DC平面 SAD.SAD.因?yàn)锳N平面 SADSAD，所以CD AN. .又SDI CD D，所以AN平面SCD. .因?yàn)橹本€SC與平面ABCD所成角的余弦值為 空，5 5故SC/MG，故SMMACGAG第1919頁共 2020 頁則SA乎，而AD停AD，得SD乎，AN于， 即點(diǎn)A到平面SCD的距離為即sin ASC255又AC.2，故SC第2020頁共 2020 頁【點(diǎn)睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想 (1(1)判斷函數(shù) f(x)f(x)在(0,2(0,2 ) )上的

24、單調(diào)性;1(2)若0 a，求證：當(dāng)x (0,)時(shí)，f(x) a In. .x【答案】(1 1)單調(diào)遞減；(2 2)證明見解析證明 g(x),g(x), 0 0 在(0,2(0,2 ) )上恒成立，得到答案sin x(2 2)先證明當(dāng)x (0,)時(shí)，01，再證明當(dāng)0 a時(shí)，一alnx 1,xx得到答案 【詳解】xcosx sin x(1)f (x)-x令g(x) xcosx sinx，貝U g (x) xsinx,故當(dāng)x (0,)時(shí)，g (x)0，當(dāng)x ( ,2 )時(shí)，g (x)0,2020 .己知函數(shù)f(X)sinxx【解析】(1 1)求導(dǎo)得到f(X)xcosx sinx，令g(x)xcosx

25、 sinx第2121頁共 2020 頁故g(X)maxg( )0,故 g(x),g(x), 0 0 在(0,2(0,2 ) )上恒成立，故 f f (X),(X), 0 0 ,第2222頁共 2020 頁即函數(shù) f(x)f(x)在(0,2(0,2 ) )上單調(diào)遞減 1sin x(2 2)依題意，f(x) aln , alnx0. .x xxsin xF面證明：當(dāng)x (0,)時(shí)，o1；當(dāng)o a時(shí)，一alnx 1；xxh(x) x si nx,則h (x) 1 cosx 0，所以h(x) x si nx在(0,)上單調(diào)遞增,h(x) h(0)0，則x sinx 0，sin x .又x 0,sinx

26、 0，則01，xaax令s(x) alnx，貝U s(x)22，xx x x若x0，即0a,1，則s(x)在(0,)上單調(diào)遞減，故as(x) s( )1 aln 1. .綜上所述，當(dāng)0 a時(shí)，一alnx 1,xsin x1則一aln x0,即f (x) a ln. .xxx【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思想22121 .己知橢圓C : y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)M, N在橢圓C上. .51(1)若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為2,，求直線MN的斜率；3(2)若M,N,0三點(diǎn)共線，直線NF1與橢圓C交于N,P兩點(diǎn)，求APMN面積的最大值，【答案】(1 1

27、) ； (2 2) 、55由s(x) 0，得s(x)的極小值點(diǎn)為x0若x0(0,)，則1 aaa則s X。X。aln x0a aln a1，故s(x) aln x 1,x，2第2323頁共 2020 頁(2)顯然直線NF1的斜率不為 0 0， 設(shè)直線NF1:xmy2,N X1，y1,P X2, y2，聯(lián)立XmyX25y22消去x整理得5,y24 my顯然20 m210，故y1y24m51m25故PMN的面積SPMN2SOPNOF1y1y2m25令、孑t，其中tT，SPMN4 5tt24當(dāng)且僅當(dāng)t 2，即m,3時(shí)等號成立，即PMN面積的最大值為【點(diǎn)本題考查直線與橢圓的關(guān)系、基本不等式，考查運(yùn)算求

28、解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想X2222 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 G G 的參數(shù)方程為y2 2cos（為參數(shù)），2sin以原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2CO44s in2【解析】（J設(shè)M為，,N X2, y2，代入橢圓方程相減得到答案(2)設(shè)直線NF1:Xmy 2, N,P，聯(lián)立方程得到y(tǒng)4m72十，1Y1Y2廠，得到m 5SPMN4、5 . m21m2計(jì)算得到答案 【詳(1(1)設(shè)M Xi, yi,N X2, y2，則2X12y2兩式相減，可得X1X2X-!5X2yiy2yiy2即4X1X2解得% y?X1x26，即直線MN的斜率為5第2424頁

29、共 2020 頁（）求曲線C1的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l : y kx與曲線Ci、曲線C2在第一象限交于P,Q兩點(diǎn)，且|0P| 2|0Q|,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,0），求AMPQ的面積. .2、2【詳解】4cosX24y24，即一4因?yàn)?cos4sin2，故2cos2 . 2sin(2)將0代入22cos44s in241 3sin20 0代入p 4cos，得P4cos0,【答案】（1 1）Ci的極坐標(biāo)方程為4cosx22，C2的直角坐標(biāo)方程為7y 1（2）【解析】（1 1）先把曲線Ci的參數(shù)方程消參后, 轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用x cos , y sin求得極坐標(biāo)方程2cos4，化為4si n2 2,2.2cos4 sin4，再利用xcos,ysin求得曲線C2的普通方程