倒立擺數(shù)學(xué)模型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1單級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立：小車由電機(jī)通過同步帶驅(qū)動(dòng)在滑桿上來回運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿平衡。電機(jī)編碼器和角編碼器向運(yùn)動(dòng)卡反饋小車和擺桿位置（線位移和角位移）。導(dǎo)軌截面成H型，小車在軌道上可以自由滑動(dòng)，其在軌道上的有效運(yùn)行長度為1米。軌道兩端裝有電氣限位開關(guān)，以防止因意外失控而撞壞機(jī)構(gòu)。圖1 單級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型倒立擺系統(tǒng)的模型參數(shù)如下：M 小車質(zhì)量 1.096Kg； m 擺桿質(zhì)量 0.109Kgb 小車摩擦系數(shù) 0.1N/m /sec I 擺桿質(zhì)量 0.0034kg*m*m 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度 0.25m T 采樣頻率 0.005s下面N和P為小車與擺桿相互作用力

2、的水平和垂直方向的分量。分析小車水平方向所受的合力，可得到方程為： (1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： （2）把這個(gè)等式代入（1）式中，得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： （3） 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)擺桿垂直方向的合力進(jìn)行分析，得到下面的方程： （4）力矩平衡方程如下： （5）方程中力矩的方向，由于，故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： （6）假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即，則可進(jìn)行近似處理：用代表被控對(duì)象的輸入力，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： （7）對(duì)方程（7）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到： （8）（推到時(shí)假設(shè)初始條件為0）則，擺桿角度和小車位

3、移的傳遞函數(shù)為： 將上述參數(shù)代入，擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)為： 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： 將上述參數(shù)代入，擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：將上述參數(shù)代入，擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：將上述參數(shù)代入，以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為： 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式： 將上述參數(shù)代入，以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：2系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性分析對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)： 系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組是線性無關(guān)的，或n×n維

4、矩陣的秩為n。系統(tǒng)的輸出可控條件為：當(dāng)且僅當(dāng)矩陣的秩等于輸出向量y的維數(shù)。應(yīng)用以上原理對(duì)輸入為加速度輸出為擺桿與豎直方向的角度的夾角時(shí)的系統(tǒng)進(jìn)行可控性分析： 帶入上式，計(jì)算得： 帶入數(shù)值得：令得系統(tǒng)的開環(huán)特征方程為（0，0，5.42，-5.42）系統(tǒng)狀態(tài)可控性矩陣的秩=4=系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩=2=系統(tǒng)輸出向量y的維數(shù)，所以系統(tǒng)可控?？捎^測(cè)性矩陣的秩=4=矩陣A的維數(shù)，所以系統(tǒng)可觀測(cè)。系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)位于s又半平面上，有兩個(gè)極點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。2.3 系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析上面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，先對(duì)其進(jìn)行階躍性分析，在Matlab中鍵入以下指令：>> clear;A=0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0; B=0 1 0 3'C=1 0 0 0; 0 1 0 0; D=0 0'>> step(