2020屆遼寧省大連市高三下學期第一次模擬考試數(shù)學(文)試題(解析版)

1、第1 1頁共 2020 頁2020 屆遼寧省大連市高三下學期第一次模擬考試數(shù)學（文）試題一、單選題1 1 設集合A x| 2 x 3,B 1,0,1,2,3，則集合Al B為（ ）A A .2,1,0,1,2B B. -1,0,1,2C C.1,0,1,2,D D.2, 1,0,1,2,3【答案】B B【解析】直接判斷集合B有哪些兀素在集合A中即可 【詳解】因為集合A x|2x3,B1,0,1,2,3,所以集合A B1,1 ,2故選：B B【點睛】本題考查了集合的交集運算，屬于容易題 2 2 .已知復數(shù) z z 滿足 1 1 i i z z 2 2，則復數(shù) z z 的虛部為（）A A .1B

2、B.1C C.iD D.i【答案】B B【解析】設za bi,(a,b R),由1 i z2z(2 z)abii(2 a bi),a bi b(a2)ab,b1，故選 B Bba 23 3 下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在0,是增函數(shù)的是（）A A .y In XB B.yCOSXC C.y x2D D.y x3【答案】A A【解析】對于A選項： 函數(shù)y In X是偶函數(shù)且函數(shù)y In X為增函數(shù)； 對于B選項: 函數(shù)y cosx是偶函數(shù)但當x 0,時不是增函數(shù)；對于C選項：函數(shù)y x2是第2 2頁共 2020 頁偶函數(shù)，但當x 0,時為減函數(shù)；對于D選項：函數(shù)y X3是奇函數(shù). .【詳解】對于A選項

3、：因為函數(shù)y In x中自變量x含有絕對值，所以是偶函數(shù)，當x 0時，函數(shù)y In x In x為增函數(shù)，故正確；對于B選項：根據(jù)函數(shù)y cosx的圖像可知它是一個偶函數(shù)，但當x 0,時有增有減，故錯誤；對于C選項：函數(shù)yx2是開口向下的二次函數(shù)是偶函數(shù)，但當x 0,時為減函數(shù)，故錯誤；對于D選項：函數(shù)y x3是奇函數(shù)，故錯誤；故選：A A【點睛】本題考查了對函數(shù)的奇偶性以及在區(qū)間的單調(diào)性進行判斷，屬于較易題4 4 .設Sn為等差數(shù)列aj的前n項和，若a4a512，則的值為（）A A . 1414B B. 2828C C. 3636D D . 4848【答案】D D【解析】利用等差數(shù)列的前n項

4、和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出 【詳解】因為Sn為等差數(shù)列an的前n項和，所以S88 a1 a84 a1a824 a4a548故選：D D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項和公式的計算以及等差數(shù)列性質(zhì)的應用，屬于較易題. .5 5. PM2PM2 . 5 5 是衡量空氣質(zhì)量的重要指標，我國采用世衛(wèi)組織的最寬值限定值，即 PM2PM2. 5 5日均值在35 g/m3以下空氣質(zhì)量為一級，在3575 g/m3空氣質(zhì)量為二級，超過75 g/m3為超標，如圖是某地 1 1 月 1 1 日至 1010 日的 PM2PM2. 5 5 （單位：g/m3）的日均第3 3頁共 2020 頁值，則下列說法正確的是

5、（A A . 1010 天中 PMPM 2 2 . 5 5 日均值最低的是 1 1 月 3 3 日B B 從 1 1 日到 6 6 日 PM2PM2. 5 5 日均值逐漸升高C C 這 1010 天中恰有 5 5 天空氣質(zhì)量不超標D D .這 1010 天中 PM2PM2. 5 5 日均值的中位數(shù)是 4343【答案】D D【解析】 根據(jù)給的圖，列出對應的數(shù)據(jù)，即可得到 【詳解】對于A選項：1010 天中 PM2PM2. 5 5 日均值最低的是 1 1 月 1 1 日，故A選項不正確；對于B選項：前兩天的均值到前三天的均值是減少的，故B選項不正確；對于C選項：不超過75 g/m3有 8 8 天，

6、故C選項不正確；對于D選項：因為這十天的數(shù)據(jù)從小到大排列后為：3030, 3232, 3434, 4040, 4141, 4545, 4848, 6060, 7878, 8080,可得到它的中位數(shù)為 4343,故D選項正確故選：D【點睛】本題考查了根據(jù)折線圖像得到數(shù)據(jù)，解決一些數(shù)據(jù)有關問題，屬于較易題26 6.已知拋物線y 4x上點B（在第一象限）到焦點F距離為 5 5,則點B坐標為（）A A.1,1B B .2,3C C .4,4D D .4,.3【答案】C C【解析】先根據(jù)拋物線定義可得到B點的橫坐標，再代入拋物線方程即可 【詳解】設B Xo,y, y0,因為點B到焦點F距離為 5 5 即

7、BF 5, ,根據(jù)拋物線定義：BF x0- X）1 5,2第4 4頁共 2020 頁解得：x04,代入拋物線方程y24x,【答案】D D第 4 4 頁共 2020 頁得yo4即B 4,4故選：C C【點睛】 本題考查了利用拋物線定義求拋物線上點的坐標，屬于較易題irrLTrITr urr7 7.設非零向量m,n,則“mn”是“|m2n| |m 2門|”的（）件的定義進行判斷即可【詳解】故選：C.C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，同時考查向量的數(shù)量積，屬于基礎題為（ ）A A .充分而不必要條件B B 必要而不充分條件C C .充分必要條件D D .既不充分也不必要條件【答案】C

8、 C【解析】將| m 2n |urI m2n|兩邊平方化簡可得m n0，再結合充分條件和必要條irr ur若| m 2n| |m2n|，|m 2n|2ur r2| m2n|2LT2所以mir r4m nr24nLT2LTr m4m nr2LTr4n，即，則m，即m24mrr1T2LTrrn4所以ir(m2n)2LTr_IT(m 2n),即| m2n |2| m 22,所以IT|mr u2n| |m2n |，故充分性成立，所以“ urmn”是“為2r| |m 2n|的充分必要條件. .8 8.如圖是函數(shù)f x 2sin( x )(0,-）的部分圖象，貝U,的值分別【答案】D D第 4 4 頁共

9、2020 頁B B. 1 1,A A . 1 1,第7 7頁共 2020 頁【解析】根據(jù)圖像由一到是半個周期即T 26 63232T，從而可求出的值，再由最高點，2代入計算即可. .6【詳解】T 2由題意可得一23622即T解得：2，因為函數(shù)f x 2sin x (0,-)圖象的最高點為 一，226所以有：sin 21，6即2k , k Z，32解得：2k , k Z，6因為 一，2n所以-6故選：D D【點睛】本題考查了利用函數(shù)的部分圖像求函數(shù)的解析式，屬于較易題【詳解】因為an 12Sn1Sn 1Sn,62，可得到周期9 9.設數(shù)列an的前n項和為Sn.若a!1,an 12Sn1,nN*，

10、則5值為(A A . 363363【答案】B BB B. 121121C C. 8080D D. 4040【解析】根據(jù)an與Sn的關系可得an 12Sn1 Sn 1Sn,禾 U 用構造法可判斷出數(shù)列Sn1是等比數(shù)列，從而可求出數(shù)列2Sn1的通項公式，即可求出Ss的值 2第8 8頁共 2020 頁所以有：Sn即得到數(shù)列Sn是以公比為3 3 的等比數(shù)列,所以有：Sn即Sn2 3n3n25時有S5351243故選:【點睛】本題考查了1010 .已知a1A A .4【答案】【解析】式即可. .【詳解】因為所以當且僅當故選：D D【點睛】an與Sn的關系求通項公式，利用構造法求通項公式，屬于較難題B B

11、.根據(jù)已知條件，用b即a b 2ab 1，則a b的最小值為（bb乘以 1 1，可得a4,時等號成立本題考查了利用基本不等式求和的最小值，巧用了1111.已知a,b是兩條直線,1，再展開利用基本不等b“1 1 的乘積，屬于一般題. .,是三個平面，則下列命題正確的是（第9 9頁共 2020 頁C C .若, ,1a,則aD D.若II,aII，貝UaII【答案】 C C【解析】 對于A選項：當all,bll ,allb，則ll或;對于B選項：當I a，則a;對于D選項：當/ , all，則all或a. .【詳解】對于A選項: 當all , bll , allb，則/或，故A選項不止確;對于B選

12、項: 當，a，則all或a，故B選項不正確；對于C選項：根據(jù)線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)可知C選項正確；對于D選項：當 ，a ，則all或a，故D選項不正確；故選：C C【點睛】本題考查了線面之間的平行與垂直關系，考查了學生的邏輯推理能力，屬于一般題. .1212 .某人 5 5 次上班途中所花的時間（單位 ：分鐘）分別為 x x,y y，1010，1111，9 9 已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 1010,方差為 2 2,則|x y|的值為（）A A . 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D. 4 4【答案】D D【解析】 根據(jù)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 10,10,方差為 2 2 可求得x,

13、y, ,再求I X y I即可 【詳解】由題, ,x y 1011 95 10 50, ,即x y 20. .E 122 222又x 10y 1010 1011 109 102, ,52即x 10y1028. .代入x y20有202 2y 10y 108, ,解得y8或yx 12x12 故y 8或y812 故Ix yi4故選 :D DA A .若aii,bII, a iib則IIB.若，則aII,a，則all或a；對于C選項：由線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)可知若第1010頁共 2020 頁2 2【解析】雙曲線令告a b1 a 0,b0的漸近線方bx,a【點睛】本題主要考查了平均數(shù)與方程

14、的綜合運算，屬于基礎題二、填空題x y 0,1313 .已知x,y滿足約束條件x 0,則z x y的最大值為 _ .y 2【答案】4 4；【解析】根據(jù)已知條件畫出約束條件的可行域，再平移目標函數(shù)直線即可求出目標函數(shù)的最大值 【詳解】x y 0,因為x,y滿足約束條件x 0,y 2當目標直線過B 2,2時目標函數(shù)z x y有最大值 4 4故答案為：4 4【點睛】本題考查了線性規(guī)劃，利用數(shù)形結合求目標函數(shù)的最值，屬于較易題2 21414 .若雙曲線 務每1 a 0,b0的漸近線方程為y x，則雙曲線的離心率為a b【答案】2所以得到可行域（如圖）第1111頁共 2020 頁K根據(jù)題意知一a雙曲線的

15、離心率e故答案為：2. .2 2點睛：在雙曲線厶a bc(1)離心率為一,a(2)焦點為c,0，其中a2b2c2；(3)漸近線為：y x. .a【答案】23【解析】根據(jù)已知條件把f 6化成4f，再根據(jù)當x 1,2時，f x2入即可. .【詳解】因為對任意的x 1,恒有f 2x 2f x成立,3所以有：f6 f 2 3 2f 3 2f 2 -4f衛(wèi)22又因為當x1,2時，f x 2 x,所以f3223 1,2 2所以f 634f一22故答案為：2【點睛】1515 .定義在 1,1,上的函數(shù)f x滿足下列兩個條件1 1)對任意的x 1,恒有f 2x2f x成立；(2 2)當x1,2時，f x2 x

16、則f 6的值是2. .1a 0,b0中,K1，所以一1. .第1212頁共 2020 頁本題考查了求抽象函數(shù)的函數(shù)值，屬于較易題1616 已知矩形ABCD中，點AB 8 ,AD 6，沿對角線BD折疊成空間四邊形則空間四邊形ABCD的外接球的表面積為 _. .【答案】100【解析】先根據(jù)已知條件可確定球心為矩形對角線的交點，然后求出球的半徑，利用球 的表面積公式即可得到答案 【詳解】在RtAABD中，BDAD2AB2. 628210，由題意知，球心到四個頂點的距離相等，1所以球心為對角線AC，BD的交點，且半徑R - BD 5，2所以空間四邊形ABCD的外接球的表面積S4伙24 冗102100n

17、故答案為：100【點睛】本題主要考查空間四邊形的外接球，球的表面積計算，同時考查空間想象能力，屬于中 檔題 三、解答題21717 .設函數(shù)f(x) 2sin xcosx 2cos (x ).4(I)求f X的單調(diào)遞增區(qū)間；B(n)在銳角VABC中，角A,B,C，的對邊分別為a,b,c,若f0,2a、3,c 1，求b.【答案】(I) k ,k kZ . (n)1 144【解析】(I)(I)利用正弦，余弦的二倍角公式對函數(shù)f(x)f(x)進行化簡得到:f (x) 2sin2x 1，再利用整體代入法即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(II)(II)由(I)(I)得到的f (x) 2sin 2x1可計算出仁

18、三)0中角B的值，結合條件中a,c的值，利用余弦定理即可求出b. .【詳解】ABCD,第1313頁共 2020 頁解：(I)由題意可知2f x 2sinxcosx 2cos x2sinxcosxcos2x 144第1414頁共 2020 頁1 sin 2x sin2x 1 2sin2 x 1,由2k 2x 2k k z,2 2Bi(n)由f2sinB 10，可得sinB -,22由題意知 B B 為銳角，B B - -,6 6由余弦定理b2a2c22accosB a2c2. 3ac 1，b 1【點睛】本題考查了利用二倍角公式對三角函數(shù)進行化簡，利用余弦定理求三角形邊長的大小，屬于較易題 181

19、8 .某中學高三(3)(3)班有學生 5050 人，現(xiàn)調(diào)查該班學生每周平均體育鍛煉時間的情況，得到如下頻率分布直方圖，其中數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：0,20,2 ,(2,4,(4,6,(6,8,(8,10,(10,12(1)(1)從每周平均體育鍛煉時間在0,4的學生中，隨機抽取 2 2 人進行調(diào)查，求這 2 2 人的每周平均體育鍛煉時間都超過 2 2 小時的概率；(2)(2)已知全班學生中有 40%40%是女姓，其中恰有 3 3 個女生的每周平均體育鍛煉時間不超過4 4 小時，若每周平均體育鍛煉時間超過4 4 小時稱為經(jīng)常鍛煉， 問：有沒有 90%90%的把握說明，經(jīng)常鍛煉與否與性別有關？附：2n (

20、ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)sin2x cos 2x所以f x的單調(diào)遞增區(qū)間是k ,kk Z44第1515頁共 2020 頁P(20)0.1000.1000.0500.0500.0100.0100.0010.00102.7062.7063.8413.8416.6356.63510.82810.8283【答案】（1 1）2 2 ； （2 2）沒有 90%90%的把握說明，經(jīng)常鍛煉與否與性別有關 10【解析】（1 1）用列舉法求出所有可能的基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型計算公式求解即可;又恰有 3 3 個女生的每周平均體育鍛煉時間不超過4 4 小時，所以男生有 2 2 人每周

21、平均體育鍛煉時間不超過4 4 小時，因此經(jīng)常鍛煉的女生有50 40% 3 17人，男生有30 228人. .所以2 2列聯(lián)表為：男生女生小計經(jīng)常鍛煉282817174545（2 2）根據(jù)已知條件，求出經(jīng)常鍛煉和不經(jīng)常鍛煉男生、女生的人數(shù)，寫出2 2列聯(lián)表，計算2，查對臨界值，作出判斷即可 【詳解】（1 1）由已知，鍛煉時間在0,20,2，（2,4中的人數(shù)分別是50 0.02 2 2（人）；50 0.03 2 3（人）分別記0,20,2中 2 2 人為a1,a2，（2,4中 3 3 人為b1.b2.b3，則隨機抽取 2 2 人調(diào)查的所有基本 事件有如下情況：a1.a2.a1.b1.a1.b2.a

22、1.b3.a2.b1共 1010 種，所以，這 2 2 人的每周平均體育鍛煉時間都超過（2 2）由已知可知，不超過 4 4 小時的人數(shù)為：a2, b2, a2,b3, db ,2 2 小時的概率P10500.02 2500.03 2第1616頁共 2020 頁不經(jīng)常鍛煉2 23 35 5第1717頁共 2020 頁小計303020205050250 (28 3 2 17)225所以20.9262.706,30 20 45 527所以沒有 90%90%的把握說明，經(jīng)常鍛煉與否與性別有關 【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的面積即為相應的頻數(shù)，古典概型概率的計算和獨立性檢驗的應用，屬于基礎題. .

23、1919.如圖所示，三棱柱ABC A1B1C1中，側面BBiCiC為菱形，CBBi60,A在側面BB1C1C上的投影恰為B1C的中點O,E為AB的中點. .若AC與平面BB1C1C所成角為45，且BC 2，求E到平面ACCd的距離. .【答案】(1 1)證明見解析(2)42)47【解析】(1)(1)連結BC1, ACAC1，由O,E分別為BC1,AB中點，可得OE/AG，再由線面平行的判定定理即可證出；因為OE / /平面ACC1A1，所以要求ACC1A1的距離即可，利用等體積法由【詳解】E到平面ACC1A1的距離，只要求出O到平面V三棱錐O ACC1V三棱錐A OCC1，即可求出答案. .第

24、1818頁共 2020 頁(1)(1)證明：連結BC1, ACAC1,第1919頁共 2020 頁所以OE / /AG，因為OE平面ACC1Ai,ACi平面ACCiAi,所以OE/ /平面ACCJA. .因為AO平面BBiCiC，所以ACO 45因為側面BB1C1C為菱形，BC 2，CBB160，所以BBiC是等邊三角形，所以BiC 2，又O為BiC的中點,因為O,E分別為BC1,AB中點，第2020頁共 2020 頁所以OC 1，所以在RtVAOC中，AO 1,AC .2,在RtAAOC1中，AC1, AO2OC；. 12(.3)在ACC1中，AC, 2，CC1AC1【點睛】本題主要考查線面

25、平行的判定定理，等體積法求點到面的距離，同時考查轉(zhuǎn)化與化歸的所以Sues2亍獲（22）2又SAOCC1-OC1OC -2 2設O到平面ACC1的距離為d，因為V三棱錐O ACC1V三棱錐A OCC1，所以1 13dACC13AOSOCC1，即所以d 3，又OE/平面ACC1A，7所以E到平面ACC1A1的距離為. .7第2121頁共 2020 頁思想，屬于中檔題3_ _2020 .己知過點P 1,2的曲線C的方程為.(x 1)2y2. 1)2y22a(1)(1)求曲線C的標準方程；己知點F 1,0，A為直線x 4上任意一點，過1 1- -的最小值即可.t t【詳解】2 2所以C的標準方程為1.

26、 .43設B花，,D X2,y2,由題意知，直線BD的斜率不為 0 0,可設BD的方程為x my 1,D，求器!最大直. .2【答案】(1)(1) L L42y31；(2)(2) 1 1【解析】(1)(1)將點P的坐標代入曲線C的方程可求出a的值，再由曲線C方程的幾何意義即可求出曲線C的方程;設B X1,y1，D X2, y2，設直線BD的方程為x my 1，令x 4即可求出點A坐標，再由兩點間距離公式即可求出|AF將直線BD的方程為x my 1與橢圓C的方程聯(lián)立消去x，利用根與系數(shù)關系求出如y2,yy，由弦長公式即可求出|BD|,進而可求出空4于，令t|AF| 3m24|BD | 4t11，

27、則| AF | 3t214廠，只需tF作AF的垂線交曲線C于點B，求出 3t3t(1)(1)將P1,3代入曲線C的方程得由橢圓定義可知曲線C的軌跡為以1,0,1,0為焦點的橢圓,第2222頁共 2020 頁則AF的方程為y m(x 1)，所以A(4, 3m),所以| AF |.(41)2( 3m 0)3 . m21，第2323頁共 2020 頁1，得(3m24)y26my 901|BD|(1)(1)求k,b的值；(2)(2)當k0時，若有kx1b f(X2)成立，求證：X2花0.k 22【答案】 (1)(1)2； (2)(2)證明見解析b 442【解析】 (1)(1)求f (x),判斷其單調(diào)性

28、并結合零點存在性定理可求出函數(shù)f f (x)(x)的零點,kxkx b.b.y y根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出在零點切線的斜率,根據(jù)點斜式方程即可求出切線方程，再與x將直線BD與橢圓C的方程聯(lián)立x2my2yT所以6m3m249y1兀=，y1 y2K所以|BD|m21yiy212 m213m24，所以|BD|AF|3m2，令t1,所以|BD|AF|4t3t21f(t) 3t因為f (t)2t2所以f(t)3t1在1,)上單調(diào)遞增,所以f(t)3tf(1)4，所以|AF |3t1 t所以竺的最大值為 1.1.|AF|【點本題主直線與橢圓的位置關系及弦長公式，同時考查函數(shù)最值的求法，屬于中檔題 2121

29、已知函數(shù)f (X)2sinx22 x，曲線 f(x)f(x)在函數(shù)零點處的切線方程為y y kxkx b b比較對b的值;構造函數(shù)F(x) (22 )x 2sinx2 x，由F(x)單調(diào)性可知2F(x) F(0) 0，從而可得(2 2 )x 2sin x x22 x，進而可得(22 )x22sin x2x222 x2,再結合(22 u)x12sin2x2x22n2,即可證出x2x10. .【詳解】(1)(1) 由題意得：因為f (x)22sin x x 2 x,定義域為xR. .f (x) 2cosx 2x 2因為f (x)2sin x 20,所以f (x)在x R上為減函數(shù) . .因為f (

30、0)220，f( )20所以由零點存在定理可知，f (x)在x (0, )上必存在一點x0使fx00所以當x,x0時，f (x)0, 即 f f (x)(x) 在x,x0上為增函數(shù),當xx0,時，f (x)0,即 f f(x)(x)在x X0,上為減函數(shù)，所以 f f (x)(x)極大值f x0,故 f(x)f(x) 至多有兩個零點,又因為f (0)0，f(2 )0,故x0，x 2是 f(x)f(x)的兩個零點，所以由f (0)22,f(2 ) 22,所以兩切線方程為：y (2 2 )x或y (2 2 )x 4 42k 2 2 k 2 2所以 或2b 0 b 4 422由已知得(2 2 u)x

31、12sin x2x22n2,設F(x) (2 2 )x 2sin x x22 xF (x)2 2cos x 2x，因為F (x) 2sin x 20,所以F (x)2 2cosx 2x在x R上為增函數(shù)，因為F (0)0，所以當x (,0)時，F(xiàn)(x)F(x) 0 0,即F(x)在(，0)上為減函數(shù),當x 0,)時，F(xiàn) F (x)(x)A0 0 ,F(x)在0,)上為增函數(shù)，所以F(x) F(0) 0,即(2 2 )x 2sinx x22 x,第 1717 頁 共 2020 頁11|3第2525頁共 2020 頁所以C上的點P到I的距離為丨2cos2.3sin一74cos 14cos11所以(2 2 )x22sin x2x；2 x2(2 2 )x1,所以X2Xi，所以X2Xi0. .【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點存在性定理，在一點處的切線方程，構造函數(shù)證明不等式，屬于難題 2222 .在直角坐標系xOy中，已知點A( 1,0)，B(1,0)B(1,0)，動點M (x, y)滿足直線AM與BM的斜率之積為4 記M的軌跡為曲線C. .以坐標原點0為極點，x軸的正半軸為極軸建 立極坐標系，直線I的極坐標方程為2 cos ,3 sin 110. .(1)(1)求C和I的直角坐標方程；求C上的點到I距離的最小值 2【答案】(1)(1)x2y1(