2020屆安徽省皖江聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)(理)(解析版)

1、在a,b，滿足xo 1=0”的（）第 1 1 頁共 2020 頁2020 屆安徽省皖江聯(lián)盟高三上學(xué)期12 月聯(lián)考試題 數(shù)學(xué)（理）一、單選題1 1 復(fù)數(shù) z z 滿足1 -2iZ Z= =：4 4 3i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z z 的模等于（）A A -5B B. 、5C C 2 - 5D D 4 55 5【答案】B B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)和求解直接解得結(jié)果即可 【詳解】|1-2i|45故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的求解，涉及到復(fù)數(shù)模的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題x_112 2 已知全集為R，集合A = 2,1,0,1,2,B = jx|亍，則A（CuB）的元素個(gè)數(shù)為（）A A 1 1B

2、B. 2 2C C 3 3D D 4 4【答案】C C【解析】 解分式不等式求得集合B，根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義求得集合A CUB，進(jìn)而得到元素個(gè)數(shù) 【詳解】；B=X v 0 = x 2 v x仆 二Cu B = x2-或x蘭訃Ix+2JAn CuB-2,1公，有3個(gè)元素故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合元素個(gè)數(shù)的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和補(bǔ)集的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題 第2 2頁共 2020 頁3 3已知函數(shù)f x在區(qū)間a,b上可導(dǎo)，則函數(shù)f x在區(qū)間a,b上有最小值”是 存第3 3頁共 2020 頁A A 充分不必要條件B B.必要不充分條件 C C.充要條件 必要條件【答案】A A【解析】由

3、開區(qū)間最小值點(diǎn)必為極小值點(diǎn)可知極小值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值為0 0,充分性成立；利用3f x i=x可驗(yàn)證出必要性不成立，由此得到結(jié)論【詳解】:a,b為開區(qū)間 最小值點(diǎn)一定是極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為 0 0-充分性成立3當(dāng)f X =X，X。=0時(shí)，X。=0，結(jié)合幕函數(shù)圖象知f x無最小值，必要性不 成立函數(shù)f X在區(qū)間a,b上有最小值”是存在X0 a,b，滿足冷=0”的充分 不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，涉及到導(dǎo)數(shù)極值與最值的相關(guān)知識(shí)；關(guān)鍵是能夠明確極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為 0 0，但導(dǎo)數(shù)值為 0 0 的點(diǎn)未必是極值點(diǎn) 4 4. 20112011 年國際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布，將每年的

4、3 3 月 1414 日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié)，來源于中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率。公元 263263 年，中國數(shù)學(xué)家劉徽用 割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，計(jì)3927算到圓內(nèi)接 30723072 邊形的面積，得到的圓周率是. .公元 480480 年左右，南北朝時(shí)期的1250數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7 7 位的結(jié)果，給出不足近似值 3.14159263.1415926 和過35522剩近似值 3.14159273.1415927，還得到兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)值，密率和約率 。大約在公元 5305301137周率的近似值中，最接近真實(shí)值的是（）3927355A A.B.B.- -1250113【答案】B B【解

5、析】 依次計(jì)算出每個(gè)近似值，與圓周率作對比找到最接近真實(shí)值的項(xiàng)【詳解】D D .既不充分也不年，印度數(shù)學(xué)大師阿耶波多算出圓周率約為.9.8684(:3.14140096). .在這 4 4 個(gè)圓D D.9.8684第4 4頁共 2020 頁3927355223.1416,3.141592,3.1428579.8684=3.14140096 12501137 由圓周率的值可知，最接近真實(shí)值的為113故選：B【點(diǎn)睛】本題考查圓周率的相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確計(jì)算出各個(gè)近似值，屬于基礎(chǔ)題25 5 .已知函數(shù)y = f x x是奇函數(shù)，且f 1=1，則f -1 =()A A.-3B B.-1C C. 0

6、 0D D.2【答案】A A【解析】由奇函數(shù)定義可得f -X X2- - f x -x2，代入x = 1可求得結(jié)果【詳解】2 2 2y = f x x為奇函數(shù).f -x x = - f x?-xf -1 1f 1 -1一2f -1 i=-3故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性求解函數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確得到函數(shù)所滿足的關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題 6 6 .已知數(shù)列3n的通項(xiàng)為an=丄，對任意N*，都有an -，則正數(shù)k的取n k值范圍是()A A.k乞5B B.k 5C C.4 k= ：5D D .5 k 6【答案】D Dk +1【解析】將an整理為1，結(jié)合反比例函數(shù)單調(diào)性和恒成立的an-可得到

7、不等n k式組，解不等式組求得結(jié)果 【詳解】n +1 n -k +k +1,丄k +1an =- =-=1十-nn-kn-kn-k,5-k0,k為正數(shù)且an-as恒成立，解得：5 k 616 kA0第5 5頁共 2020 頁故選：D第6 6頁共 2020 頁【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列中的最小項(xiàng)求解參數(shù)范圍問題，函數(shù)單調(diào)性來求解的問題，進(jìn)而得到關(guān)于所求參數(shù)的不等式9504095040,則判斷框中應(yīng)填（【答案】B B【解析】 運(yùn)行程序，根據(jù)輸出結(jié)果可判斷出輸出時(shí)=7，由此可確定判斷框條件【詳解】按照程序框圖運(yùn)行程序，輸入i =12,sum = 1 = 95040則sum = 1 12=12=9504

8、0,i =12-1 =11，循環(huán)sum = 12 11=132=95040,i=11-1=10，循環(huán)sum = 132 10 = 1320 = 95040,i =10-1 =9，循環(huán)sum = 1320 9 =11880 = 95040,i=9-1=8，循環(huán)sum=11880 8 =95040,i=8-1=7，輸出sumi =8滿足判斷條件，i=7不滿足判斷條件判斷框中應(yīng)填i一8?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的輸出結(jié)果補(bǔ)全框圖的問題,結(jié)果是，變量具體的取值，由此確定需補(bǔ)充的條件 關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為結(jié)合反比例A A 8?B B.i _8?C C 7?關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確確定輸出7

9、7 如圖所示的程序輸出的結(jié)果為8 8 .函數(shù)f x = cos2x 2sinx在丨-二，二1上的圖象是（）第7 7頁共 2020 頁【答案】A A【解析】 利用f0和f0可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)得到結(jié)果V)I 2 丿【詳解】fcosi TH打2sin1 - 2 = -3：0，可排除D. .2 . 2故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，此類問題通常采用排除法，排除依據(jù)通常為：奇偶性、特殊位置的符號(hào)、單調(diào)性 9 9矩形ABCD中，AB=4,BC =3，沿AC將ABCD矩形折起，使面BAC_面 DACDAC ,則四面體A- -BCD的外接球的體積為()125125125125A A .B B.C C.D

10、D .69123【答案】A A【解析】 因?yàn)樗拿骟wA - BCD的外接球的球心到各頂點(diǎn)的距離相等，設(shè)AC與BD的 交點(diǎn)為O點(diǎn)，在矩形ABCD中，可得OA = OB = OC = OD，當(dāng)沿AC翻折后，上述 等量關(guān)系不會(huì)發(fā)生改變，故得到球心，進(jìn)而解得半徑和體積?！驹斀狻拷猓涸O(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O點(diǎn)，在矩形ABCD中，可得OA =OB =OC =OD,當(dāng)沿AC翻折后，上述等量關(guān)系不會(huì)發(fā)生改變，因?yàn)樗拿骟wA-BCD的外接球的球心到各頂點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)O即為球心，在Rt ABC中，ACAC = = ABAB2+ + BCBC2= = 5 5，5故R = OA = OB = OC = OD =,2=

11、COSH；2s in2一1 *2=10,可排除B,C第8 8頁共 2020 頁4125ir所以球的體積為v =4二R二,36故選 A.A.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，解決問題的關(guān)鍵是要能準(zhǔn)確找出球的球心與半徑，屬于中檔題。191010 .已知正數(shù)a,b滿足a b10,則a b的最小值是（）a bA A . 2 2B B. 3 3C C. 4 4D D . 5 5【答案】A Afl 9）【解析】 令a b二x，用x表示出a b，結(jié)合基本不等式可求得la b 丿x2-10 x 10，結(jié)合a,b為正數(shù)，即x 0可解出不等式的解，進(jìn)而得到最小值 【詳解】19設(shè)a b =x，貝U10 -xa

12、bx 10-x = a b 190臾b_10 2,9a b=16（當(dāng)且僅當(dāng)la b丿b aV b a9a b，即b = 3a時(shí)取等號(hào)）b ax2-10 x 16乞0且x 0，解得：2X8，即2ab 8-a b的最小值為2故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解最值的問題；關(guān)鍵是能夠通過整體構(gòu)造的方式求得a b整體滿足的不等關(guān)系，進(jìn)而通過解不等式求得取值范圍11111.點(diǎn)P x,y是曲線C:y x 0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線與x軸、xy軸分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，I PA = PB；也OAB的面積為定值；曲線C上存在兩點(diǎn)M,N使得OMN是等邊三角形；曲線C上存在兩點(diǎn)M,N使

13、得OMN是等腰直角三角形，其中真命題的個(gè)數(shù)是（）第9 9頁共 2020 頁【答案】D D求得S.AOB二2，從而可知正確;在比值等于、2和上2的時(shí)刻，從而知 正確. .2【詳解】122a 2，正確;2a過原點(diǎn)作傾斜角等于15和75的2條射線與曲線的交點(diǎn)為M , N.OMN為等邊三角形，正確;當(dāng)直線OM的傾斜角從90減少到45：的過程中，的值從變化到 0 0ONON在此變化過程中必然存在OM的值為,2和一2的時(shí)刻，此時(shí)OMN為等腰直角三角ONON2形，正確. .B B. 2 2【解析】設(shè)點(diǎn)Pa,1a 0,得到切線方程后求得A, B坐標(biāo)，進(jìn)過原點(diǎn)作傾斜角等于15和75的2條射線與曲線交于M ,N，

14、由對稱性可知 正確;過原點(diǎn)作2條夾角等于45的射線與曲線交于M,N，由OMONON的值的變化過程，可知存a 0，由二厶 得切線方程:x1y- aA 2a,0，B 0,-V. a丿P a,丄aAB中點(diǎn)，” I PA PB，正確;1SJAOB=2OA OB由對稱性可0M = ON，又N MON =60過原點(diǎn)作2條夾角等于45的射線與曲線交于點(diǎn)M , N第1010頁共 2020 頁-真命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)故選：D【點(diǎn)睛】 本題考查直線與曲線相切、相交相關(guān)命題的判斷，涉及到定值、等量關(guān)系、存在性問題的判斷；判斷本題中的存在性問題的關(guān)鍵是在確定射線傾斜角的夾角的前提下，尋找符合題意的點(diǎn)的位置 時(shí)-444-j

15、 44斗呻1212 .若平面向量a,b,C滿足=3，b =2，c=1，且（a + b）c = a，b + 1，則ab的最大值為（）A A.3.2 1B B.3、2 1c c.2.3-1D D.2.3 1【答案】D D【解析】利用數(shù)量積的定義通過已知等式得到a b a b，利用平方運(yùn)算可求得a b的范圍；利用a艮戸2可將 I I 表示為與a b有關(guān)的形式，進(jìn)而可求 得最值. .【詳解】由（a+b）c=a b+1得：ab+1=（a+b）”cwa+bc=甘+勺故選：D【點(diǎn)睛】運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算的形式，結(jié)合平面向量數(shù)量積運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)來進(jìn)行求解二、填空題1313.若銳角 a a，卩滿足cos。=4,

16、cos（a + P ） =3,則sin P = 55【答案】252爲(wèi)2.2：二 13 2；.ab212當(dāng)ab=-2、/3時(shí),|= J13+4V3 =max=2 3 1本題考查平面求解此類模長問題通常采用平方運(yùn)算，將模長a -b取得最大值21第1111頁共 2020 頁4334【解析】因 cos ,cos，故 sin ,sin（、：.）=5555填答案 25。1414 .黎曼函數(shù)(RiemannfunctionRiemannfunction )是一個(gè)特殊函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出,黎曼函數(shù)定義在0,11上，其定義為:0,當(dāng) X =0,1 或者 0,1 上的無理數(shù)f x是定義在R上的奇函數(shù)，

17、且f X f 2-X=0，當(dāng)x 10,1 時(shí),f 2和f的值，代入求得結(jié)果. .【詳解】由f x f 2-x =0知：f x關(guān)于1,0對稱又f x為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱f x為周期函數(shù)，周期T= 4【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、對稱性和周期性的綜合應(yīng)用問題，涉及到新定義運(yùn)算的求解；關(guān) 鍵是能夠通過熟練掌握周期性與對稱性的關(guān)系，即兩個(gè)相鄰的對稱軸(對稱中心)之間 距離為半個(gè)周期 10一310-23102丄丄丄310310730故答案為:73016sin：=sin（ * 亠）一-=sin（二亠 W）cos ： -cos（隈亠 ）9-，應(yīng)252525R （x ）= pi,當(dāng) x=qpp,q 都是正

18、整數(shù)，q是不可以再約分的真分?jǐn)?shù)P，若函數(shù)f xi；= R x，則10f A10【答案】30【解析】由已知得到f x關(guān)于1,0對稱，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可確定f x為周期是4的周期函數(shù)，進(jìn)而將所求式子化簡為-f2匕丿3f兀；由黎曼函數(shù)的解析式可確定第1212頁共 2020 頁1515 .如圖，正方體ABCD -ABiCiDi的一個(gè)截面經(jīng)過頂點(diǎn)A,C及棱AB!上點(diǎn)K,其將正方體分成體積比為2：i的兩部分，則KS的值為_ ,KB【答案】2【解析】作出平面ACK截正方體所得的截面， 可知為等腰梯形；設(shè)KB1=x，可利用x表示出BiE,BF,BF，利用切割的方式可表示出三棱臺(tái)ABC-KBiE的體積，利用體積建

19、立方程求得KBi，進(jìn)而得到A K，作比得到結(jié)果 【詳解】設(shè)平面ACK與線段BiCi交于點(diǎn)E，則截面ACEK為等腰梯形，延長兩腰AK,EC交 于點(diǎn)F，如下圖所示：三棱臺(tái)ABC -KBiE的體積：iii (ix1iS.ABCBF -SBiEKBi- ii -x2x- x2x i33i -x i-x.丿6又正方體體積V=i：ii=i x xi,解得：3362設(shè)正方體棱長為i，設(shè)KBi= x，貝yBiE = x，BF =i BiFii -x丁_ /a第1313頁共 2020 頁3_V5_,45-1 3-45AK 23-45 751AK八二廠 両5 一廠話一廠丁2【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體體積的相關(guān)問題

20、的求解，關(guān)鍵是能夠利用切割的方式，利用變量表示出三棱臺(tái)的體積，進(jìn)而利用體積構(gòu)造方程求得變量的值；本題同樣可直接采用棱臺(tái)的體積公式來求解棱臺(tái)的體積 1616 等腰ABC中AB = AC，三角形面積S等于 2 2,則腰AC上中線BD的最小值等 于. .【答案】.3.324【解析】由三角形面積公式可得到AB2，進(jìn)而得到AD2;利用余弦定理可表sin A示出BD2，結(jié)合輔助角公式整理可得BD2sin A 4cosA二-BD416sin A：；曲v-5，根據(jù)正弦型函數(shù)值域可知.BD416 -5，解不等式求得結(jié)果. .【詳解】由三角形面積公式知：S二丄AB AC si nA二21AB2sin A = 22

21、24AB sin A22241tBD = AB2AD -2AB AD cos A =-sin A sin ABD2si nA 4cosA = , BD416si nA =5 BD416 -5，解得：BD一，3故答案為：,3,3【點(diǎn)睛】本題考查三角形中最值問題的求解， 涉及到三角形面積公式、余弦定理和輔助角公式的 應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠利用三角形面積公式和余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系， 從而結(jié)合正弦型函數(shù) 的值域構(gòu)造出不等關(guān)系. .AD2亠221sin A4cos A 5 - 4cos Asin A si nA第1414頁共 2020 頁三、解答題1第1515頁共 2020 頁當(dāng)n = 1時(shí)，ai= 1符合a

22、n二-an=Vn n +1丿Sn2n(2)由（1 1）知:bn2nn 1 n!（n+1）!丿Tn丄丄.丄2! 2!3!n!-1 -1：1=2 i1-I (n +1)!Tn：-2又an0bnTn-T1=2* 1- I 2!丿綜上所述:仁Tn： ：1717 .已知正數(shù)數(shù)列an/滿足ai= 1, Sn=a*. .求:an ?的通項(xiàng)公式和Sn；令bn（其中 n n! ! =1=1 2 2n n ），數(shù)列 4?的前n項(xiàng)和為T，證明：仁T：2. .n!Qn【答案】（1 1）, ,（2 2）證明見解析n +1【解析】（1 1）當(dāng)n _2時(shí)，利用an=Sn可得到遞推關(guān)系式，利用累乘法可求得an，2驗(yàn)證首項(xiàng)后可

23、知an；利用裂項(xiàng)相消法可求得Sn；可求得Tn的范圍，進(jìn)而證得結(jié)論【詳解】（2 2）由（1 1）可得bn,利用裂項(xiàng)相消法求得Tn；根據(jù)數(shù)列為正數(shù)數(shù)列和不等式的知識(shí)(1(1)當(dāng) n n-2且N“時(shí),二n2an -n -1篤n整理可得:ann -1an Jn -2an 2a3a2ann 1an _2an J3a2n 1 n n -1-an0n 1 !=2 1 -(n +1)!丿第 I I1616頁共 2020 頁【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、 裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和的問題；涉及到an與Sn關(guān)系的應(yīng)用、累乘法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)；求解數(shù)列前n項(xiàng)和的關(guān)鍵是能夠根據(jù)通項(xiàng)公式的形式進(jìn)行準(zhǔn)確裂

24、項(xiàng)，進(jìn)而前后相消求得結(jié)果1818 .如圖，在多面體ABCD AB1G1GD1中，側(cè)棱AA|，BBi，CCCCi，DD1都和平面ABCD垂直，AD / /BC,AB = BC = CD = BBi= DDi= 2,AAj = AD = 4,CCi= 1. .(1)(1) 證明：平面BCiDi_平面ABBiA；(2)(2) 求直線BiC和平面BiCiDi所成角的正弦值。i【答案】(I I)證明見解析,(2 2)-4【解析】(I I)取AD中點(diǎn)E,由四邊形BBIDID為平行四邊形可知BD / BIDI；分別利用長度關(guān)系和線面垂直的性質(zhì)得到AB _ BD,BBi_ BD，由此得到BD_平面ABBIAI

25、，即BQ_平面ABBiAi，由面面垂直判定定理證得結(jié)論；(2 2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與平面所成角的向量求法可求 得結(jié)果 【詳解】(I I)取AD中點(diǎn)E，連接BE,BD11:BBi/DDi且BBi=DDi四邊形BBiDiD為平行四邊形 BD/BiDii7BC/AD,DESAD=BC=2四邊形BCDE為平行四邊形1 BEBE = =CDCD = =2 2B E ADAB_BD2第1717頁共 2020 頁：BB1_平面ABCD,BD平面ABCD. BEj_B D又AB,BBi二平面ABB1A1,AB? BBiBBD _平面ABBiAiV BD /B1D1. B1D平面AB

26、B1A1，又二平面B1C1D1平面B1C1D1 I平面ABB1A1(2(2)以 B B 為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則B 0,0,2，C -1八3,0，G -1, ,3,1,D 0,2.3,2T _BCm-1, .3,-2，BG二-1八3,-1, 二0,2一3,0設(shè)平面B1C1D1的法向量x,y,zn BQ二-x亠-,3y _z二0則：；，令x=1，jn B1D1= 2 J3y = 0設(shè)直線B1C與平面B1C1D1所成角為-直線BQ與平面B1C1D1所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中面面垂直關(guān)系的證明、空間向量法求解直線與平面所成角； 涉及到線面垂直的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用等知識(shí)

27、；關(guān)鍵是能夠找到另一個(gè)平面的垂線， 利用平行關(guān)系的傳遞性找到所證平面內(nèi)的另一個(gè)面的垂線佃.“ABC內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，設(shè)A=2B，CD平分 ACBACB 交AB于點(diǎn)D.(1)(1)證明：a2-b2二be；若a =6，b=4，求CD的長. .【答案】(1 1)證明見解析，(2)(2)32則y = 0，z = 1. n =1,0,-11 _ 1一2224第1818頁共 2020 頁a sin A【解析】（u利用正弦定理可代入已知條件和余弦定理化簡得到b sin B22222a c =b a c -b，整理可得到a c-b = b c-b c b；當(dāng)b = c時(shí)，利用角的大小關(guān)系可知為

28、等腰直角三角形，利用勾股定理可整理出結(jié)果；當(dāng)整理等式得到結(jié)果；（2 2）根據(jù)（1 1）可得c,利用角平分線定理可求得AD,BD；由cos. ADC cos BDC =0，結(jié)合余弦定理可構(gòu)造關(guān)于CD的方程，解方程求得結(jié)果【詳解】（1 1）由正弦定理得：2 2 2a sin A sin 2Ba cb2cos B =b sin B sin Bac.a2c二ba2c2 b2，即：a2c= a2b bc2-b22a cb二b cjb c b當(dāng)b = c時(shí)，B B= = C C. B = C，Ab2c2= a，即a2-b2=c2=lc42當(dāng)b = c時(shí)，a2二b c b=bc b2，即a2_b2二be(2

29、(2)由(1 1)得：62-42=4c，即c = 5CACB根據(jù)角平分線定理可得：AD = 2，BD = 3AD BD設(shè)CD二x，由ADC BDC=加得：角平分線CD的長等于3.2【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正余弦定理、角平分線定理的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠利用互補(bǔ)角余弦互為相反數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合余弦定理構(gòu)造關(guān)于所求長度的方程，進(jìn)而解方程求得結(jié)果 2020 .已知函數(shù)f x = In x,g x = kx. .2 （x T b = c時(shí)，可直接cos ADC cos BDC =4 x2-164x9 宀 366x=0，解得:第1919頁共 2020 頁當(dāng)x 1時(shí)，比較f x與的大??；X +1r

30、eee2若f X與g x的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A為， ,B X2,y2，證明：XM2e. .第2020頁共 2020 頁【答案】(1 1)f x2X; (2 2)證明見解析x + 1_2 x1，由h x - 0可知h x在 1,1,；上是增函數(shù),x 1進(jìn)而得到h x h 1=0，得到所求大小關(guān)系；(2 2)分別將兩交點(diǎn)坐標(biāo)代入ln x二kx，作和、作差分別表示出k，從而建立起等量關(guān)Xi2 (_ x? )X +X2 .系；根據(jù)(1 1)中結(jié)論可得In，代入ln xiIn X2Inxi-1n x?屜+ x2捲 _X2可整理得到所證結(jié)論. .【詳解】22 | x -12 | x -1X-1(0令hx

31、=fxIn x，則h x20 x+1x+1x(x + 1 ).h x在 1,1,；上是增函數(shù) h hX h 1 =0，即In X 2X，x+12 x-1X 1【點(diǎn)睛】 本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用單調(diào)性比較大小、不等式的證明問題;證明不等式的關(guān)鍵是能夠利用變量k得到為公2的關(guān)系，進(jìn)而利用證明過的不等關(guān)系來 進(jìn)行放縮整理 2121.如圖， 在四棱錐P-ABCD中， 側(cè)棱PA_底面ABCD,AD/BC,AB _ AD,PA = AB =BC=3,AD =2，點(diǎn)M在棱PB上，且BM=窗2. .【解(2(2)不妨設(shè)X1X2 : X1，貝y 1X2由題設(shè)In x-iIn x2二kx2% x

32、2I x 廠xrx2Ixi由(1 1)的結(jié)論知:11X2.X1=lnx2*X2% x2In x-iIn x2=X旦In人-1n X2.獨(dú)2生=2X1X2e2X|_x2X2片_X2X1x2第2121頁共 2020 頁證明：AM /平面PCD；（2 2）求平面AMC與平面PCD所成銳二面角的余弦值. .【答案】（1 1）證明見解析, ,（2 2）21【解析】（1 1）作MN /BC交PC于N，通過證明四邊形 AMNDAMND 為平行四邊形可得到AM /DN，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2 2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果 【詳解】（1）由題意知：.PAB

33、是等腰直角三角形，P3.2，則PM=2.2作MN /BC交PC于N，連接DNPM _2 _ MN _ MN PB 3,2BC 3又MN/BC，AD/BC，AD=MN=2四邊形 AMNDAMND 為平行四邊形.AM /DN又DN平面PCD，AM二平面PCD . AM /平面PCD（2 2）由PA_底面ABCD，可得PA_AB，PA_AD又AB_AD，可知AB,AD,AP兩兩互相垂直以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.MN =2第2222頁共 2020 頁第2323頁共 2020 頁則A 0,0,0,C 3,3,0,D 0,2,0,TT.AM二2,0,1,AC = 3,3,0,PD設(shè)平面AMC的法向量為m= x, y, zm AM = 2x z=o則，令x=1，得y -1,z一2. m = 1, -1,-2m弼=3x 3y=0設(shè)平面PCD的法向量為n=捲，力，乙m PD = 3%|3y!-3乙=0則，令yi= 3，得乙=2,% - -1. n =1,3,2J n PC = 2 y| - 3z| = 0【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、 空間向量法求解二面角的問題； 易錯(cuò)點(diǎn)是在 利用空間向量法求解