連續(xù)時間信號與系統(tǒng)傅里葉分析課程

1、2022年3月6日星期日1主要內容主要內容傅里葉級數和傅里葉級數的性質傅里葉級數和傅里葉級數的性質傅里葉變換和傅里葉變換的性質傅里葉變換和傅里葉變換的性質周期信號和非周期信號的頻譜分析周期信號和非周期信號的頻譜分析卷積定理和連續(xù)時間卷積定理和連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的頻系統(tǒng)的頻域分析域分析2022年3月6日星期日2概述概述時域與變換域轉換的對應關系時域與變換域轉換的對應關系時域時域連續(xù)連續(xù)離散離散變換域變換域變換域變換域 非周期非周期周期周期時域時域時域時域實部實部虛部虛部變換域變換域變換域變換域 偶對稱偶對稱 奇對稱奇對稱時域時域2022年3月6日星期日3第第3章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析章連

2、續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析引言引言連續(xù)周期信號的傅里葉級數表示連續(xù)周期信號的傅里葉級數表示 練習一練習一2022年3月6日星期日4第第3章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析連續(xù)非周期信號的傅里葉變換連續(xù)非周期信號的傅里葉變換 練習二練習二2022年3月6日星期日5第第3章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質 連續(xù)周期信號的傅里葉變換連續(xù)周期信號的傅里葉變換 練習三練習三2022年3月6日星期日6第第3章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析卷積定理卷積定理 連續(xù)連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響

3、應與理想濾波系統(tǒng)的頻率響應與理想濾波器器 練習四練習四2022年3月6日星期日7第第3章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析連續(xù)時間連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的頻域求解系統(tǒng)的頻域求解練習五練習五2022年3月6日星期日83.0 引言引言傅里葉生平傅里葉生平v1768年年3月月21日生于法國日生于法國v1807年提出年提出“任何周期信號任何周期信號都可用正弦函數級數表示都可用正弦函數級數表示”v拉格朗日反對發(fā)表拉格朗日反對發(fā)表v1822年首次發(fā)表在年首次發(fā)表在“熱的分熱的分析理論析理論”中中v1829年狄里赫利第一個給年狄里赫利第一個給出收斂條件出收斂條件2022年3月6日星期

4、日93.0 引言引言傅里葉的兩個最主要的貢獻傅里葉的兩個最主要的貢獻v“周期信號都可表示為成諧波關系的周期信號都可表示為成諧波關系的正弦信號的加權和正弦信號的加權和”傅里葉的第一個主要論點傅里葉的第一個主要論點v“非周期信號都可用正弦信號的加權非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示積分表示”傅里葉的第二個主要論點傅里葉的第二個主要論點2022年3月6日星期日103.0 引言引言時域分析時域分析v基本信號：單位沖激信號基本信號：單位沖激信號(t) 頻域分析頻域分析v基本信號：正余弦信號基本信號：正余弦信號sin t或虛指數信號或虛指數信號 ej t v傅里葉變換，自變量為傅里葉變換，自變量為 j

5、 復頻域分析復頻域分析v基本信號：復指數信號基本信號：復指數信號 est v拉氏變換拉氏變換, 自變量為自變量為 s = +j Back2022年3月6日星期日113.1 連續(xù)周期信號的傅里葉級數表示連續(xù)周期信號的傅里葉級數表示函數的正交性函數的正交性正交函數集正交函數集jinjidttgtgnikdttgttjiitti且, 2, 1,0)()(, 2, 1)(2121221212, 1)(0)()(221ttiittikdttgdttgtg2022年3月6日星期日123.1 連續(xù)周期信號的傅里葉級數表示連續(xù)周期信號的傅里葉級數表示函數的正交分解函數的正交分解v不完備分解不完備分解v完備分解

6、完備分解)()()()(2211tgctgctgctfnn)()()()(2211tgctgctgctfnn2022年3月6日星期日133.1 連續(xù)周期信號的傅里葉級數表示連續(xù)周期信號的傅里葉級數表示三角函數完備正交函數集三角函數完備正交函數集v三角函數是基本函數三角函數是基本函數v建立了時間與頻率兩個基本物理量之建立了時間與頻率兩個基本物理量之間的聯系間的聯系v三角函數是簡諧信號，簡諧信號容易三角函數是簡諧信號，簡諧信號容易產生、傳輸、處理產生、傳輸、處理v三角函數信號通過線性時不變系統(tǒng)后，三角函數信號通過線性時不變系統(tǒng)后，仍為同頻三角函數信號，僅幅度和相位仍為同頻三角函數信號，僅幅度和相位

7、有變化，計算更方便有變化，計算更方便2022年3月6日星期日143.1 連續(xù)周期信號的傅里葉級數表示連續(xù)周期信號的傅里葉級數表示三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數指數形式的傅里葉級數指數形式的傅里葉級數周期信號的波形對稱性與諧波特性的周期信號的波形對稱性與諧波特性的關系關系 典型周期信號的傅里葉級數典型周期信號的傅里葉級數關于傅里葉級數的有關結論關于傅里葉級數的有關結論周期信號的頻譜及其特點周期信號的頻譜及其特點Back2022年3月6日星期日153.1.1 三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數三角函數在三角函數在區(qū)間區(qū)間(t0, t0+T)內相互正交內相互正交nmTnmtdtmtn

8、Ttt20coscos0000nmTnmtdtmtnTtt20sinsin00000sincos0000Ttttdtmtn2022年3月6日星期日1610100sincos2)(nnnntnbtnaatf3.1.1 三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數三角函數集三角函數集cosn 0t, sinn 0t|n=0, 1, 2, 是完是完備正交函數集備正交函數集一般表達式一般表達式直流直流分量分量基波分量基波分量n =1 諧波分量諧波分量n1T202022年3月6日星期日17v直流分量直流分量v余弦分量余弦分量v正弦分量正弦分量TttdttfTa00)(1203.1.1 三角形式的傅里葉級數三

9、角形式的傅里葉級數TttntdtntfTa000cos)(2TttntdtntfTb000sin)(22022年3月6日星期日183.1.1 三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數狄里赫利條件狄里赫利條件v在一個周期內有有限個間斷點在一個周期內有有限個間斷點v在一個周期內有有限個極值點在一個周期內有有限個極值點v在一個周期內能量有限即絕對可積在一個周期內能量有限即絕對可積v一般周期信號都滿足這些條件一般周期信號都滿足這些條件Tttdttf002)(2022年3月6日星期日193.1.1 三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數周期信號的三角函數正交集表示周期信號的三角函數正交集表示100co

10、s2)(nnntncctf100)sin(2)(nnntnddtf2022年3月6日星期日203.1.1 三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數幾種系數的關系幾種系數的關系000dca22nnnnbadcnnnnndcasincosnnnnndcbcossinnnnbatannnnabtanBack2022年3月6日星期日21復指數函數集復指數函數集 是完備正交集是完備正交集 表達式的推導表達式的推導3.1.2 指數形式的傅里葉級數指數形式的傅里葉級數ntjnneFtf0)(v由歐拉公式得由歐拉公式得v其中其中v由前知由前知10100sincos2)(nnnntnbtnaatf)(0Znet

11、jnTtttjnndtetfTF000)(12022年3月6日星期日223.1.2 指數形式的傅里葉級數指數形式的傅里葉級數兩種傅氏級數的系數間的關系兩種傅氏級數的系數間的關系22000caF)(21nnjnnjbaeFFn)(21nnjnnjbaeFFn引入了負頻率引入了負頻率2022年3月6日星期日233.1.2 指數形式的傅里葉級數指數形式的傅里葉級數兩種傅氏級數的系數間的關系兩種傅氏級數的系數間的關系(續(xù)續(xù))nnnnnnnnnnnnnnjnnnnjnnnjnnbFjFFjaFFFabFcFecjbaFecjbaeFFcaFnnnIm2)(Re2arctan2121)(2121)(212

12、2000ReIman-bnbncndnF-nFnnn2022年3月6日星期日243.1.2 指數形式的傅里葉級數指數形式的傅里葉級數復指數傅里葉級數的特點復指數傅里葉級數的特點v引入了負頻率變量，沒有物理意義，引入了負頻率變量，沒有物理意義，只是數學推導只是數學推導v cn是實數，是實數，Fn 一般是復數一般是復數v 當當 Fn 是實數時，可用是實數時，可用Fn的正負表示的正負表示0和和相位，相位， 幅度譜和相位譜合一幅度譜和相位譜合一nntjnntjnntnFeFeF0cos2200Back2022年3月6日星期日2510100sincos2)(nnnntnbtnaatf3.1.3 波形對稱

13、性與諧波特性波形對稱性與諧波特性三種對稱性三種對稱性偶函數項偶函數項2)(nTtftf)()(tftf)()(tftfv偶對稱偶對稱v奇對稱奇對稱v奇諧函數奇諧函數:半周期奇對稱半周期奇對稱v任意周期函數有任意周期函數有:奇函數項奇函數項2022年3月6日星期日263.1.3 波形對稱性與諧波特性波形對稱性與諧波特性v三角表示式三角表示式v周期偶函數：只含直流和余弦項周期偶函數：只含直流和余弦項100cos2)(nntnaatf200cos)(4TntdtntfTa0nb2nnnaFFv復指數表示式復指數表示式v其中其中an是實數是實數v其中其中Fn是實數是實數ntjnneFtf0)(2022

14、年3月6日星期日273.1.3 波形對稱性與諧波特性波形對稱性與諧波特性偶函數實例：周期三角函數偶函數實例：周期三角函數tOET2T-T-2Tf (t)2T.2TtttEEtf0202025cos513cos31cos42)(2022年3月6日星期日283.1.3 波形對稱性與諧波特性波形對稱性與諧波特性周期奇函數：只含正弦項周期奇函數：只含正弦項10sin)(nntnbtf0na200sin)(4TntdtntfTbjbFFnnn2v三角表示式三角表示式v其中其中bn是實數是實數v指數表示式指數表示式v其中其中Fn是純虛數是純虛數ntjnneFtf0)(2022年3月6日星期日293.1.3

15、 波形對稱性與諧波特性波形對稱性與諧波特性v奇函數實例：周期鋸齒波奇函數實例：周期鋸齒波f (t)OTt-E-TE2T.2T2TtttEtf0003sin312sin21sin2)(2022年3月6日星期日303.1.3 波形對稱性與諧波特性波形對稱性與諧波特性v沿時間軸移半個周期沿時間軸移半個周期v 上下反轉上下反轉v 波形不變波形不變v半周期反對稱半周期反對稱奇諧函數奇諧函數2)(Ttftf2022年3月6日星期日313.1.3 波形對稱性與諧波特性波形對稱性與諧波特性奇諧函數的示例波形奇諧函數的示例波形E-ET.f (t)O-T2T2Tt.2T2022年3月6日星期日323.1.3 波形

16、對稱性與諧波特性波形對稱性與諧波特性奇諧函數的傅氏級數奇諧函數的傅氏級數v奇諧函數的偶次諧波的系數為奇諧函數的偶次諧波的系數為0)(0為偶數nbann)(sin)(4cos)(4200200為奇數ntdtntfTbtdtntfTaTnTn2022年3月6日星期日333.1.3 波形對稱性與諧波特性波形對稱性與諧波特性v沿時間軸移半個周期沿時間軸移半個周期v波形不變波形不變v半周期對稱半周期對稱偶諧函數偶諧函數2)(Ttftf2022年3月6日星期日343.1.3 波形對稱性與諧波特性波形對稱性與諧波特性偶諧函數的示例波形偶諧函數的示例波形tTTEf (t).2T2TO2022年3月6日星期日3

17、53.1.3 波形對稱性與諧波特性波形對稱性與諧波特性偶諧函數的傅氏級數偶諧函數的傅氏級數v偶諧函數的奇次諧波的系數為偶諧函數的奇次諧波的系數為0)(0為奇數nbann)(sin)(4cos)(4200200為偶數ntdtntfTbtdtntfTaTnTnBack2022年3月6日星期日363.1.4 典型周期信號的傅里葉級數典型周期信號的傅里葉級數周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號周期鋸齒脈沖信號周期鋸齒脈沖信號周期三角脈沖信號周期三角脈沖信號周期半波余弦信號周期半波余弦信號周期全波余弦信號周期全波余弦信號Back2022年3月6日星期日373.1.4.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號信號

18、波形信號波形主值周期表達式主值周期表達式-TTEOt22f (t)2T.22)(1tutuEtf2022年3月6日星期日383.1.4.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數復指數形式的傅里葉級數復指數形式的傅里葉級數 100cos22)(ntnnSaTETEtfntjnenSaTEtf02)(02022年3月6日星期日3922c21c23c00c0-2042|Fn|.O42n4-242.O3.1.4.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號頻譜頻譜 2022年3月6日星期日403.1.4.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號頻譜特點頻譜特點v離散頻譜，譜線間

19、隔為基波頻率離散頻譜，譜線間隔為基波頻率0，脈沖周期脈沖周期T越大，譜線越密。越大，譜線越密。v各分量的大小正比于脈沖幅度各分量的大小正比于脈沖幅度E和和脈沖寬度脈沖寬度 ，反比于信號周期，反比于信號周期T。v各譜線的幅度按包絡線各譜線的幅度按包絡線 變化。變化。過零點為過零點為v主要能量在第一過零點內。帶寬主要能量在第一過零點內。帶寬m22B2Sa2022年3月6日星期日413.1.4.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號周期矩形的頻譜變化規(guī)律周期矩形的頻譜變化規(guī)律v若若T不變，不變， 改變時的情況改變時的情況v若若不變，不變， T改變時的情況改變時的情況-T TEOt2f2(t)2T-2T

20、.22442.TE|F2n|O0302040-0-20-30-4044.-TTOt2T-2TEf1(t).O44TE2|F1n|0302040-0-20-30-40-T TEOt2f2(t)2T-2T.22442.TE|F2n|O0302040-0-20-30-40.2.-TTOt2T-2TEf3(t)22442.TE2|F3n|O0302040-0-20-30-402022年3月6日星期日423.1.4.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號TT/4-T/4)(tf.5cos513cos31cos2)(000tttEtf)(TnSaTEFnntjnneFtf0)(特例：對稱方波特例：對稱方波2

21、022年3月6日星期日433.1.4.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號對稱方波的頻譜變化規(guī)律對稱方波的頻譜變化規(guī)律TT/4-T/4003050503003nnFnF)(tfBack2022年3月6日星期日443.1.4.2 周期鋸齒脈沖信號周期鋸齒脈沖信號周期鋸齒波：奇函數周期鋸齒波：奇函數f (t)OT-E-TE.t2T2T2T101sin1) 1()(nntnnEtfkTkTtuTkTtukTtTEtf22)()(Back2022年3月6日星期日453.1.4.3 周期三角脈沖信號周期三角脈沖信號周期三角函數：偶函數周期三角函數：偶函數tnnnEEtfn0212cos2sin142)(

22、2kTkTtuTkTtuTkTtEtf2221)(f (t)OT-TE.t2T2TBack2022年3月6日星期日463.1.4.4 周期半波余弦信號周期半波余弦信號周期半波余弦信號：偶函數周期半波余弦信號：偶函數tnnnEEtfn01cos2cos112)(2kTkTtuTkTtuTkTtEtf442cos)(ET-Tt2T2T.f (t)OBack2022年3月6日星期日473.1.4.5 周期全波余弦信號周期全波余弦信號周期全波余弦信號：偶函數周期全波余弦信號：偶函數tnnEEtEtfnn012102cos141) 1(42cos)(ET-Tt2T2T.f (t)OBack2022年3月

23、6日星期日483.1.5 關于傅里葉級數的有關結論關于傅里葉級數的有關結論 隨著隨著n絕對值增加，絕對值增加，an、bn、cn、dn、Fn的絕對值總體趨勢是衰減的的絕對值總體趨勢是衰減的(但不但不一定單調衰減一定單調衰減)；對于有限項傅里葉級數，隨著迭加項對于有限項傅里葉級數，隨著迭加項數的增加，傅里葉級數與原信號的均數的增加，傅里葉級數與原信號的均方差逐漸減小，但在間斷點處的誤差方差逐漸減小，但在間斷點處的誤差仍然較大，存在仍然較大，存在Gibbs現象；現象； 2022年3月6日星期日493.1.5 關于傅里葉級數的有關結論關于傅里葉級數的有關結論 高頻分量為信號中變化快的部分，主高頻分量為信號中變化快的部分，主要影響信號跳變沿；低頻分量為信號要影響信號跳變沿；低頻分量為信號中變化慢的部分，主要影響信號峰、中變化慢的部分，主要影響信號峰、谷強度的高低；谷強度的高低；若信號若信號f(t)為偶函數，則級數中只有為偶函數，則級數中只有an項，所有項，所有bn=0；若信號；若信號f(t)為奇函數，為奇函數，則