利用導(dǎo)數(shù)研究不等式

1、無利用導(dǎo)數(shù)研究不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式)()(xgxf在區(qū)間上恒成立的基本方法：（1）構(gòu)造函數(shù))()()(xgxfxh（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或函數(shù)的值域、最值證明0)(xh注意：（1）適用于適用于不等式兩邊都含有單個變量x時，證明不等式Dxxgxf),()(（2）不適用于不適用于不等式兩邊分別是兩個不相關(guān)的變量的情況，如：maxmin2121)()(,),()(xgxfDxxxgxf（如果不存在最值則使用值域的端點值比較）1、教材 99 頁 B 組利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗證：(1), 0(,sinxxx（2）) 1 , 0(, 02xxx（3）

2、0,1xxex（4）0,lnxexxx無2、 設(shè)a為實數(shù)， 函數(shù)axexfx22)(，Rx(1) 求)(xf的單調(diào)區(qū)間與極值.(2) 求證：當(dāng)12lna且0 x時，122axxex無附加題：1、 （2011 新課標(biāo)文） （21） （本小題滿分 12 分）已知函數(shù)ln( )1axbf xxx，曲線( )yf x在點(1,(1)f處的切線方程為230 xy。（）求a、b的值；（）證明：當(dāng)0 x ，且1x 時，ln( )1xf xx.無利用導(dǎo)數(shù)研究方程解（函數(shù)零點）的情況利用導(dǎo)數(shù)研究方程解（函數(shù)零點）的情況研究函數(shù))(xf的零點問題常常與研究對應(yīng)方程0)(xf的實根問題相互轉(zhuǎn)化：（1）已知含參函數(shù))

3、(xf存在零點（即至少一個零點） ，求參數(shù)范圍問題，一般可作為代數(shù)問題求. 即對方程0)(xf參變分離，得到)(xga 的形式，則所求a的范圍就是)(xg的值域.（2）當(dāng)研究函數(shù))(xf的零點個數(shù)問題，即方程0)(xf的實根個數(shù)問題時，也常要進(jìn)行參變分離，得到)(xga 的形式，然后借助數(shù)形結(jié)合（幾何法）思想求解.無1、已知函數(shù)0, 13)(3aaxxxf（1）求)(xf的單調(diào)區(qū)間；（2）若)(xf在1x處取得極值，直線my 與)(xfy 的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍.的取值范圍求實數(shù)有兩個不同的交點，與若曲線的解析式求取得極值函數(shù)時，和且當(dāng)是常數(shù)，、已知函數(shù)mxmxxgxfyxfx

4、fxxabaRxxbxaxxf)02( ,3)()()2(;)() 1 (.)(21),0,( ,)(223無不等式恒成立與存在性問題不等式恒成立與存在性問題題型一：在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題加以求解，方法可采用“分離參數(shù)法”或“不分離參數(shù)法”直接移項構(gòu)造函數(shù).（1）若函數(shù))(xf在區(qū)間 D 上存在最小值min)(xf和最大值max)(xf，則不等式axf)(在區(qū)間 D 上恒成立axfmin)(；不等式axf)(在區(qū)間 D 上恒成立axfmin)(；不等式bxf)(在區(qū)間 D 上恒成立bxfmax)(；不等式bxf)(在

5、區(qū)間 D 上恒成立bxfmax)(；無（2）若函數(shù))(xf在區(qū)間 D 上不存在最大（小）值，且值域為),(nm，則不等式axf)(（或axf)(）在區(qū)間 D 上恒成立am ；不等式bxf)(（或bxf)(）在區(qū)間 D 上恒成立bn ；提醒：提醒：（1） “分離參數(shù)法” ，使得構(gòu)造的函數(shù)中不含參數(shù)，避免了對參數(shù)的分類討論；（2）對于不等式驗證區(qū)間端點值成立的情形，一般采用“不分離參數(shù)法” ，它比“分離參數(shù)法”操作上簡單.希望同學(xué)們視不同情形，選擇不同方法。1、已知函數(shù)xxxfln)(（1）求)(xf的最小值；（2）若對于所有1x都有1)( axxf，求實數(shù)a的取值范圍.無2、已知函數(shù))( ,ln

6、)(Raxaxxf（1）當(dāng)1a時，求函數(shù))(xf在1x處的切線方程；（2）求函數(shù))(xf的單調(diào)區(qū)間；（3）若在區(qū)間, e上，1)(xf恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.無3、設(shè)函數(shù)xxeexf)(（1）證明：)(xf的導(dǎo)數(shù)2)(/xf；（2）若對所有0 x都有axxf)(，求實數(shù)a的取值范圍.無4、已知函數(shù))0( ,2121ln)(2aRaxxaxf且（1）求函數(shù))(xf的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實數(shù)a，使得對任意 , 1x，都有?0)(xf若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.無題型二：不等式有解有解問題（1）若函數(shù))(xf在區(qū)間 D 上存在最小值min)(xf和最大值max)(xf，則不

7、等式)(xfa 在區(qū)間 D 上有解max)(xfa ；不等式)(xfa 在區(qū)間 D 上有解max)(xfa ；不等式)(xfa 在區(qū)間 D 上有解min)(xfa ；不等式)(xfa 在區(qū)間 D 上有解min)(xfa ；（2）若函數(shù))(xf在區(qū)間 D 上不存在最大（?。┲?，且值域為),(nm，則不等式)(xfa （或)(xfa ）在區(qū)間 D 上有解na ；不等式)(xfb （或)(xfb ）在區(qū)間 D 上有解mb ；例題：已知函數(shù))(1)(,ln)(Raxaxgxaxxf若在e, 1上存在一點0 x，使得)()(00 xgxf成立，求實數(shù)a的取值范圍.無題型三：不等式兩邊分別是兩個不相關(guān)的變

8、量的情況（1）對bax,1，總存在nmx,2，使得)()(21xgxfmin2min1)()(xgxf（2）對bax,1，nmx,2，使得)()(21xgxfmin2max1)()(xgxf（3）對bax,1，nmx,2，使得)()(21xgxfmax2min1)()(xgxf（4）對bax,1，nmx,2，使得)()(21xgxfmin2max1)()(xgxf例題：已知函數(shù))( ,ln2) 12(21)(2Raxxaaxxf（1）求函數(shù))(xf的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)xxxg2)(2，若對任意的,2 , 0(1x均存在,2 , 0(2x使得)()(21xgxf，求a的取值范圍.無附加題：（2013 福建文）22（本小題滿分 14 分）