二次函數(shù)知識點總結與典型例題

1、二次函數(shù)知識點總結及典型例題一、二次函數(shù)的概念和圖像 1、二次函數(shù)的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：有開口方向；有對稱軸；有頂點。3、二次函數(shù)圖像的畫法-五點法：二、二次函數(shù)的解析式 二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：（2）頂點式：（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根和存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。三、拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線

2、對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：時，對稱軸為軸所在直線；（即、同號）時，對稱軸在軸左側；（即、異號）時，對稱軸在軸右側. （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：，拋物線經過原點; ,與軸交于正半軸；,與軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 .四、二次函數(shù)的性質 1、二次函數(shù)的性質函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0 y 0 x y 0 x 性質（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x<時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側

3、，即當x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，五、二次函數(shù)與一元二次方程的關系一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標。因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點。當>0時，圖像與x軸有兩個交點；當=0時，圖像與x軸有一個交點；當<0時，圖像與x軸沒有交點

4、。補充：函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減六、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內，若在此范圍內，則當x=時，；若不在此范圍內，則需要考慮函數(shù)在范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當時，當時，；如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當時，當時，。典型例題1.已知函數(shù)，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（ ）A0B1C2D32. 如圖為拋物線的圖像，A、B、C 為拋物線與坐標軸的交點，且OA=OC=1，則下列關系中正確的是 （ ）Aab=1B ab=1C

5、 b<2aD ac<0 3.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象是（ ）.4.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經過點（1，0），（1，2），當隨的增大而增大時，的取值范圍是 （1,-2）-15.在平面直角坐標系中，將拋物線繞著它與y軸的交點旋轉180°，所得拋物線的解析式是（ ）A BC D6.已知二次函數(shù)的圖像如圖，其對稱軸，給出下列結果，則正確的結論是（ ）A B C D 7拋物線上部分點的橫坐標，縱坐標的對應值如下表：x21012y04664從上表可知，下列說法中正確的是（填寫序號）拋物線與軸的一個交點為（3,0）； 函數(shù)的最大值為6；拋物

6、線的對稱軸是； 在對稱軸左側，隨增大而增大8. 如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（2，4），過點A作ABy軸，垂足為B，連結OA(1)求OAB的面積；(2)若拋物線經過點A求c的值；將拋物線向下平移m個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在OAB的內部（不包括OAB的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）9已知二次函數(shù)y=x2+x的圖像如圖（1）求它的對稱軸與x軸交點D的坐標；（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設平移后的拋物線與x軸、y軸的交點分別為A、B、C三點，若ACB=90°，求此時拋物線的解析式； （3）設（2）中平移后的拋物線的頂點為M，以AB為直徑

7、，D為圓心作D，試判斷直線CM與D的位置關系，并說明理由10.如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB在x軸上，AB10，以AB為直徑的O與y軸正半軸交于點C，連接BC，AC.CD是O的切線，ADCD于點D，tanCAD，拋物線過A，B，C三點.（1）求證：CADCAB；（2）求拋物線的解析式；判定拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由；（3）在拋物線上是否存在一點P，使四邊形PBCA是直角梯形.若存在，直接寫出點P的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由.11.如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD= 90°，BC與y軸相交于點M，且M是BC的

8、中點，A、B、D三點的坐標分別是A（-1，0），B( -1，2)，D( 3，0)，連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON，若拋物線y=ax2+bx+c經過點D、M、N（1）求拋物線的解析式（2）拋物線上是否存在點P使得PA= PC若存在，求出點P的坐標；若不存在請說明理由。（3）設拋物線與x軸的另個交點為E點Q是拋物線的對稱軸上的個動點，當點Q在什么位置時有最大？并求出最大值。ABCDOENMxy圖12如圖，拋物線y=x2+bx2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；判斷ABC的形狀，證明你的結論；點M(m，0)是x軸上的一個動點，當CM+DM的值最小時，求m的值13.在平面直角坐標系中，如圖1，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過矩形頂點B、C.（1）當n1時，如果a=1，試求b的值；（2）當n2時，如圖2，在矩形OABC上方作一邊